వివిధ పోటీ పరీక్షల్లోని సిలబస్‌లో నూతనంగా చేర్చిన ‘దత్తాంశ విశ్లేషణ’ అనే అంశంపై ప్రశ్నలు అడుగుతున్నారు. ఇందులో భాగంగా అభ్యర్థికి అంకగణిత సగటు, మధ్యగతం, బాహుళకం, వ్యాప్తి, క్రమవిచలనం, విస్తృతి లాంటి అంశాలపై ప్రాథమిక అవగాహన ఉండాలి.
ఆధునిక డిజిటల్‌ యుగంలో గణాంకాల ప్రాముఖ్యం పెరుగుతోంది. ప్రభుత్వాలు కార్యాచరణ ప్రణాళికలను రూపొందించడానికి దత్తాంశ సేకరణ, విశ్లేషణ అత్యంత ఆవశ్యకం. ఈ నేపథ్యంలో అభ్యర్థికి ఒక దత్తాంశాన్ని విశ్లేషించగల శక్తి, నిర్ణాయక శక్తి, సంబంధిత అంశానికి చెందిన పూర్వ జ్ఞానం, సమస్యాపూరిత ఆలోచన ఉండాలి. ఏదైనా అంశాన్ని పరిశీలించి, విపులీకరించే సామర్థ్యాన్ని అంచనావేయడానికి దత్తాంశ విశ్లేషణ ఉపయోగపడుతుంది.
ఏదైనా ఒక అంశానికి సంబంధించిన దత్తాంశాన్ని సేకరించిన తర్వాత దాన్ని సులభంగా విశ్లేషించాలి. దత్తాంశంలోని అన్ని విషయాల ప్రాముఖ్యతను అందరికీ అర్థమయ్యేలా సంక్షిప్తం చేసి, దాన్ని నిష్పత్తులు, సగటుల ద్వారా పరిశీలించి, పరిశీలన ఫలితాలను సక్రమంగా విపులీకరించడాన్నే ‘దత్తాంశ విశ్లేషణ’ అంటారు.
కేంద్రస్థానపు కొలతలు: ఎక్కువ మొత్తంలో ఉన్న దత్తాంశాన్ని క్లుప్తీకరించడానికి ఉపయోగపడే కొలతలను కేంద్రస్థానపు కొలతలు అంటారు.
* దత్తాంశంలోని అన్ని రాశులకు ప్రాతినిధ్యం వహిస్తూ, వాటి స్వభావాన్ని తెలిపే రాశిని సగటు లేదా సరాసరి అంటారు. కేవలం సగటును తెలుసుకోవడం ద్వారా మొత్తం దత్తాంశ స్వభావాన్ని అంచనావేయవచ్చు.
* సగటు దత్తాంశంలోని కనిష్ఠ రాశి కంటే ఎక్కువగా, గరిష్ఠ రాశి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. అందుకే దాన్ని ‘కేంద్రస్థానపు కొలత’గా వ్యవహరిస్తారు.
సగటు రకాలు
1) గణితపు సగటు
2) స్థానపు సగటు
గణితపు సగటు: దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకొని ఒక గణిత సూత్రం ద్వారా రాబట్టిన సగటు.
ఇవి మూడు రకాలు
1) అంకమధ్యమం/అంకగణిత సగటు
2) గుణ మధ్యమం
3) హరాత్మక మధ్యమం
స్థానపు సగటు: దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా కేవలం దత్తాంశంలోని రాశులను ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చిన తర్వాత వాటి స్థానాలపై ఆధారపడుతుంది. లేదా దత్తాంశంలో ఎన్నిసార్లు పునరావృతమైంది అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కాబట్టి దీన్ని ‘స్థానపు సగటు’ అంటారు.
ఇది రెండు రకాలు
1) మధ్యగతం లేదా మధ్యంతర సగటు
2) బాహుళకం
* కాబట్టి సగటు స్థూలంగా అయిదు రకాలు.
విస్తరణ మానాలు: కేంద్రస్థాన విలువకు, విభాజనంలో గల అంశాలకు ఉన్న తేడా లేదా విచలనం తెలుసుకునే మానాన్ని విచలన మానం లేదా విస్తరణ మానం అంటారు.
విస్తరణ మానాలు రెండు రకాలు అవి:
1) దూరపు కొలమానాలు
2) సమాన కొలమానాలు
దూరపు కొలమానాలు: ఎంపిక చేసిన పరిశీలన మధ్య దూరం ఆధారంగా విస్తరణను అధ్యయనం చేసినట్లయితే వాటిని దూరపు కొలమానాలు అంటారు. వ్యాప్తి, చతుర్థాంశక విచలనం, శతాంశాల వ్యాప్తిలను దూరపు కొలమానాలు అంటారు.
సమాన కొలమానాలు: కేంద్రస్థానపు కొలతల నుంచి విచలనాలను అధ్యయనం చేసినట్లయితే వాటిని కేంద్రస్థానపు కొలమానాలు అంటారు. ఈ పద్ధతిలో మాధ్యమిక, ప్రామాణిక విచలనాలను అధ్యయనం చేయవచ్చు.
అంకమధ్యమం (Arithmetic mean)
* దత్తాంశంలోని అన్ని అంశాల విలువల మొత్తాన్ని వాటి సంఖ్యతో భాగించగా వచ్చిన విలువను అంకమధ్యమం లేదా అంకగణిత సగటు అంటారు.
* x1, x2, x3 .........., xn రాశుల అంకమధ్యమం
లాభాలు:
* శ్రేణి నుంచి అంకమధ్యమాన్ని గణిస్తే అందరికీ ఒకే విలువ వస్తుంది.
* ఇది దత్తాంశంలోని అన్ని అంశాలపై ఆధారపడుతుంది.
* గణించడం సులభం.
* దత్తాంశంలోని రెండు అంశాలను పోల్చడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది.
లోపాలు:
* ఎక్కువ, తక్కువ విలువల ప్రభావం సగటుపై తేలికగా ఉంటుంది.
* దత్తాంశంలో ఏ విలువ తెలియకపోయినా దీన్ని గణించలేం.
* పరిశీలన ద్వారా అంచనావేయలేం.
ఉమ్మడి అంకమధ్యమం: రెండు విభిన్న సమూహాల అంకమధ్యమాలు తెలిసినప్పుడు, ఆ రెండు సమూహాలకు కలిపి అంకమధ్యమాన్ని కనుక్కుంటారు. దీన్నే ఉమ్మడి అంకమధ్యమం అంటారు.
మొదటి సమూహంలో రాశుల సంఖ్య = n1
వీటి అంకమధ్యమం = x1
రెండో సమూహంలో రాశుల సంఖ్య = n2
వీటి అంకమధ్యమం = x2
భారిత అంకమధ్యమం: దత్తాంశంలో ఆయా రాశులకు సమప్రాధాన్యం లేనట్లయితే భారిత సగటును ఉపయోగిస్తాం.
రాశులు = x1, x2, x3, ......, xn
వాటి భారాలు = w1, w2, w3, ........., wn
1. ఒక దత్తాంశం యొక్క అంకమధ్యమం 1.5 అయితే కింది పట్టికలో లోపించిన పౌనఃపున్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: పట్టికలో ఇవ్వని పౌనఃపున్యాల మొత్తం = 20 - (6 + 5 + 2)
= 20 - 13 = 7
... ఇవ్వని పౌనఃపున్యాలను f, (7 - f) అనుకుంటే
2. ఒక కంపెనీలోని పురుష ఉద్యోగుల సరాసరి వేతనం రూ.520, మహిళా ఉద్యోగుల సరాసరి వేతనం రూ.420. ఆ కంపెనీలో మొత్తం ఉద్యోగుల సరాసరి వేతనం రూ.500. అయితే ఆ కంపెనీలో పనిచేస్తున్న పురుష, మహిళా ఉద్యోగుల శాతం ఎంత?
3. మొదటి వరుస తొమ్మిది ప్రధాన సంఖ్యల సగటు ఎంత?
సాధన: మొదటి తొమ్మిది వరుస ప్రధాన సంఖ్యలు = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
4. నాలుగు వరుస బేసి సంఖ్యల సగటు 56 అయితే వాటిలో అతి చిన్న సంఖ్య?
సాధన: నాలుగు వరుస బేసి సంఖ్యలు x, (x + 2), (x + 4), (x + 6) అనుకుంటే
5. ఏడు వరుస సరి పూర్ణసంఖ్యల సగటు 10 అయితే వాటిలో పెద్ద సంఖ్య?
సాధన: వరుస సరి పూర్ణసంఖ్యల సగటు వాటి మధ్య సంఖ్య అవుతుంది. కాబట్టి ఏడు వరుస సరి పూర్ణసంఖ్యల్లో మధ్య సంఖ్య 10 అవుతుంది. ఏడు వరుస సరి పూర్ణసంఖ్యల క్రమం - - - 10 - - -.
దత్తాంశం నుంచి 10కి ముందు గల సరి పూర్ణాంకాలు 4, 6, 8.
10కి తర్వాత గల సరి పూర్ణాంకాలు 12, 14, 16.
... ఏడు వరుస సరి పూర్ణాంకాల క్రమం 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
... వీటిలో పెద్ద సంఖ్య 16.
6. f(x) = 3x + 2 అనే ప్రమేయం x యొక్క అన్ని విలువలకు నిర్వచితమైంది.
x = {-1, 0, 2, 5, 9} అయితే f(x) సగటు ఎంత?
సాధన: f(x) = 3x + 2
f(−1) = 3(−1) + 2 = −3 + 2 = −1
f(0) = 3(0) + 2 = 2
f(2) = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8
f(5) = 3(5) + 2 = 15 + 2 = 17
f(9) = 3(9) + 2 = 27 + 2 = 29
7. i = 2j = 5k అయితే i యొక్క సరాసరి i, j, k పదాల్లో కనుక్కోండి.
సాధన: i = 2j = 5k (దత్తాంశం ప్రకారం)
8. ఒక దత్తాంశంలోని నాలుగు అంశాల్లో మొదటి అంశం రెండో అంశానికి 2 రెట్లు, మూడో అంశం మొదటి అంశానికి 3 రెట్ల కంటే 2 అధికం; నాలుగో అంశం మూడో అంశానికి 5 రెట్లు. అయితే నాలుగు అంశాల సరాసరి x పదాల్లో?
సాధన: దత్తాంశం నుంచి మొదటి అంశం x అనుకుంటే
రెండో అంశం = 2x
మూడో అంశం = 3x + 2
నాలుగో అంశం = 5(3x + 2) = 15x + 10
9. ఒక తరగతిలో ఉన్న 50 మంది విద్యార్థుల సగటు వయసు 7 సంవత్సరాలు. అయితే వారి మొత్తం వయసు ఎంత?
సాధన: మొత్తం వయసు = సరాసరి వయసు × మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య
= 50 × 7
= 350 సంవత్సరాలు
10. ఒక కంపెనీలో పది మంది వ్యక్తుల సగటు జీతం నెలకు రూ.20,000. ఆ కంపెనీలో పనిచేస్తున్న ప్రతివ్యక్తి సగటు జీతం రెట్టింపయితే కొత్త సగటు జీతం ఎంత?
సాధన: పది మంది వ్యక్తుల సగటు జీతం రూ.20,000
పది మంది వ్యక్తుల జీతం రెట్టింపయితే సగటు జీతం = 20000 × 2
= రూ.40,000
పది మంది వ్యక్తుల మొత్తం జీతం = 40,000 × 10
= రూ.4,00,000
11. ఒక దత్తాంశంలో అయిదు సంఖ్యల మొత్తం 555, మొదటి రెండు సంఖ్యల సగటు 75, మూడో సంఖ్య 115. అయితే చివరి రెండు సంఖ్యల సగటు ఎంత?
సాధన: దత్తాంశంలో అయిదు సంఖ్యల మొత్తం = 555
మొదటి రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 2 × 75
= 150
మూడో సంఖ్య = 115
... చివరి రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 555 - 150 - 115
= 555 - 265
= 290
12. ఒక పదక్రీడలో 100 చతురస్రాకారపు గడులు ఉన్నాయి. ప్రతి గడిలోనూ ఒక పదం, ఒక సంఖ్య ఉన్నాయి. వాటిలో 1 అంకె గలవి 60 గడులు, 2 అంకెలు గలవి 20 గడులు, 4 అంకెలు గలవి 12 గడులు, 8 అంకెలు గలవి 4 గడులు, 10 అంకెలు గలవి 2 గడులు, 0 విలువ గల గడులు 2. అయితే ఆ గడుల సగటు విలువ ఎంత?
సాధన: దత్తాంశం నుంచి
100 చతురస్రాకారపు గడుల మొత్తం
విలువ = (1 × 60) + (2 × 20) + (4 × 12) + (8 × 4) + (10 × 2) + (0 × 2)
= 60 + 40 + 48 + 32 + 20 + 0
= 200
13. ఒక శ్రేణిలో F, G, H లు మూడు వరుస సంఖ్యలు. ఈ శ్రేణిలో ప్రతి సంఖ్య దాని ముందున్న సంఖ్యకు రెండు రెట్లు. ఆ మూడు సంఖ్యల అంకమధ్యమం 21 అయితే ఆ సంఖ్యలేవి?
సాధన: దత్తాంశం నుంచి F, G, H లు మూడు వరుస సంఖ్యలు, ప్రతి సంఖ్య వాటి ముందున్న సంఖ్యకు రెండు రెట్లు.
