* ఒక రైలు నిలబడి ఉన్న మనిషి లేదా సిగ్నల్ స్తంభాన్ని దాటింది అంటే తన పొడవును తాను దాటినట్లు (దూరం = రైలు పొడవును తీసుకోవాలి).
* ఒక రైలు ఒక ప్లాట్‌ఫారాన్ని లేదా వంతెనను దాటింది అంటే తన పొడవుతో పాటు ప్లాట్‌ఫారం పొడవును దాటినట్లు (దూరం = రైలు పొడవు + ప్లాట్‌ఫారం పొడవును తీసుకోవాలి).
* రెండు రైళ్లు ఒకే దిశలో లేదా వ్యతిరేక దిశలో ఒకదాన్ని మరొకటి దాటింది అంటే తమ పొడవులు తాము దాటాయి. (దూరం = రెండు రైళ్ల పొడవులు తీసుకోవాలి.)
వేగం: (i) రెండు రైళ్లు వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణిస్తే వేగాలను కలపాలి.
(ii) రెండు రైళ్లు ఒకేదిశలో ప్రయాణిస్తే వేగాలను తీసివేయాలి.
* A, B అనే బిందువుల నుంచి రెండు రైళ్లు ఒకే సమయంలో బయలుదేరి, అవి కలుసుకున్న తర్వాత తమ గమ్యస్థానాలను చేరుకోవడానికి వరుసగా a, b సెకన్లు పడితే, వాటి వేగాల మధ్య నిష్పత్తి = 
* కి.మీ./గం. వేగాన్ని మీ./సె.లోకి మార్చాలంటే 5/18తో గుణించాలి.
* మీ./సె. వేగాన్ని కి.మీ./గంటల్లోకి మార్చాలంటే 18/5తో గుణించాలి.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. 100 మీ. పొడవున్న రైలు గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే రైల్వేలైన్ దగ్గర నిలబడి ఉన్న ఒక మనిషిని ఎంత సమయంలో దాటుతుంది?
ఎ) 10 సె. బి) 12 సె. సి) 14 సె. డి) 16 సె.
సాధన: 
జవాబు: బి
2. ఒక రైలు గంటకు 60 కి.మీ వేగంతో ప్రయాణిస్తూ ఒక స్తంభాన్ని 9 సెకన్లలో దాటింది. అయితే రైలు పొడవు ఎంత?
ఎ) 120 మీ. బి) 180 మీ. సి) 324 మీ. డి) 150 మీ.
సాధన: రైలు పొడవు అంటే దూరం
దూరం = కాలం × వేగం
= 9 × 60 × 
(మీ./సె.లోకి మార్చాలంటే తో గుణించాలి)
రైలు పొడవు = 150 మీ.
జవాబు: డి
3. 200 మీ. పొడవైన రైలు ఆగి ఉన్న ఒక మనిషిని 24 సెకన్లలో దాటింది. అయితే దాని వేగం కి.మీ./గంటలో ఎంత?
ఎ) 30 Kmph బి) 36 Kmph సి) 45 Kmph డి) 54 Kmph
సాధన: 
(కి.మీ./గంటల్లోకి మార్చాలంటే 
తో గుణించాలి)
జవాబు: ఎ
4. 360 మీ. పొడవైన రైలు గంటకు 45 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే, 140 మీ. పొడవైన వంతెనను ఎంత సమయంలో దాటుతుంది?
ఎ) 48 సె. బి) 45 సె. సి) 42 సె. డి) 40 సె.
సాధన: 
సె.
జవాబు: డి
5. 130 మీ. పొడవున్న రైలు గంటకు 45 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తూ ఒక వంతెనను 30 సెకన్లలో దాటితే, వంతెన పొడవు ఎంత?
ఎ) 200 మీ. బి) 225 మీ. సి) 245 మీ. డి) 250 మీ.
సాధన: వంతెన పొడవు అంటే దూరం
దూరం = కాలం × వేగం
= 30 × 45 × 
= 25 × 15 = 375
వంతెన పొడవు = 375 - 130 = 245 మీ.
జవాబు: సి
6. ఒక రైలు గంటకు 72 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తూ 250 మీ. పొడవున్న ప్లాట్‌ఫారాన్ని 26 సెకన్లలో దాటితే రైలు పొడవు ఎంత?
ఎ) 270 మీ. బి) 260 మీ. సి) 240 మీ. డి) 230 మీ.
సాధన: రైలు పొడవు అంటే దూరం
దూరం = కాలం × వేగం
= 26 × 72 ×
= 26 × 20 = 520
రైలు పొడవు = 520 - 250 = 270 మీ.
జవాబు: ఎ
7. 300 మీ. పొడవైన రైలు ఆగివున్న ఒక మనిషిని 18 సెకన్లలో, ఒక ప్లాట్‌ఫారాన్ని 39 సెకన్లలో దాటగలదు. అయితే ప్లాట్‌ఫారం పొడవు ఎంత?
ఎ) 320 మీ. బి) 350 మీ. సి) 650 మీ. డి) నిర్వచించలేం
సాధన: ప్లాట్‌ఫారం పొడవు అంటే దూరం.
దూరం = కాలం × వేగం. ఇందులో వేగం ఇవ్వలేదు కాబట్టి ఇప్పుడు వేగాన్ని సూత్రం నుంచి లెక్కించాలి.
(అడ్డగుణకారం చేస్తే)
300 × 39 = 18 (300 + x)
11700 = 5400 + 18x
11700 - 5400 = 18x
18x = 6300
x = 350 మీ.
సంక్షిప్త పద్ధతి:
18 ---------- 300
21 ---------- ? (39 - 18)
× 300 = 350 మీ.
జవాబు: బి
8. ఒక రైలు ఒక స్తంభాన్ని 15 సెకన్లలో, 100 మీ. పొడవున్న ఒక ప్లాట్‌ఫారాన్ని 25 సెకన్లలో దాటితే, రైలు పొడవు ఎంత?
ఎ) 50 మీ. బి) 150 మీ. సి) 200 మీ. డి) నిర్వచించలేం
సాధన: రైలు పొడవు అంటే దూరం కావాలి.
దూరం = కాలం × వేగం. ఇందులో వేగం ఇవ్వలేదు. కాబట్టి వేగాన్ని సూత్రం నుంచి లెక్కించాలి.
(అడ్డగుణకారం చేస్తే)
25x = 15x + 1500
25x - 15x = 1500
10x = 1500
10x = 1500
x = 
= 150
సంక్షిప్త పద్ధతి:
10 ---------- 100
× 100 = 150 మీ.
జవాబు: బి
9. ఒక రైలు వరుసగా 162 మీ., 120 మీ. పొడవైన ప్లాట్‌ఫారాలను 18, 15 సెకన్లలో దాటితే, ఆ రైలు పొడవు ఎంత?
ఎ) 70 మీ. బి) 80 మీ. సి) 90 మీ. డి) 100 మీ.
సాధన: రైలు పొడవు x మీ. అనుకుందాం.
(అడ్డగుణకారం చేస్తే)
15x + 2430 = 18x + 2160
2430 - 2160 = 18x - 15x
3x = 270
x = 
= 90 మీ.
సంక్షిప్త పద్ధతి:
162 ---------- 120
18 ---------- 15
6 ---------- 5
జవాబు: సి
10. 240 మీ. పొడవున్న రైలు ఒక స్తంభాన్ని 24 సెకన్లలో దాటింది. అయితే 650 మీ. పొడవైన వంతెనను ఎంత సమయంలో దాటుతుంది?
ఎ) 65 సెకన్లు బి) 89 సెకన్లు సి) 100 సెకన్లు డి) 150 సెకన్లు
సాధన: 
లెక్కలో వేగం ఇవ్వలేదు
కాబట్టి ముందు వేగాన్ని లెక్కించాలి.
వేగం = 
= 10 మీ. /సె
కాలం = 
= 89 సెకన్లు
జవాబు: బి
11. రెండు రైళ్ల పొడవులు వరుసగా 200, 150 మీ. అవి గంటకు వరుసగా 40, 45 కి.మీ. వేగాలతో ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే, ఒకదాన్ని మరొకటి దాటడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
ఎ) 72 సెకన్లు బి) 132 సెకన్లు సి) 192 సెకన్లు డి) 252 సెకన్లు
సాధన: రెండు రైళ్లు ఒకే దిశలో అంటే వేగాలను తీసివేయాలి. 45 - 40 = 5 Kmph
(మీ./సె.లోకి మార్చాలి)
సెకన్లు
జవాబు: డి
12. రెండు రైళ్ల వేగాల నిష్పత్తి 7 : 8. రెండో రైలు 400 కి.మీ. దూరాన్ని 4 గంటల్లో వెళ్తే మొదటి రైలు వేగం ఎంత?
ఎ) 70 Kmph బి) 75 Kmph సి) 84 Kmph డి) 87.5 Kmph
సాధన: రెండు రైళ్లు వేగాల నిష్పత్తి 7x : 8x
రెండో రైలు వేగం 8x = 
x = 
= 12.5
మొదటి రైలు వేగం 7x = 12.5 × 7
= 87.5 Kmph
జవాబు: డి
13. A, B స్టేషన్ల మధ్య దూరం 110 కి.మీ. ఒక రైలు 7 AM కి A నుంచి బయలుదేరి 20 Kmph వేగంతో B వైపు ప్రయాణించింది. మరో రైలు 8 AM కి B నుంచి బయలుదేరి 25 Kmph వేగంతో A వైపు ప్రయాణించింది. అయితే రెండు రైళ్లు ఏ సమయంలో కలుసుకుంటాయి?
ఎ) 9 AM బి) 10 AM సి) 10.30 AM డి) 11 AM
సాధన: మొదటి రైలు కలుసుకున్నప్పుడు x గంటలు అయితే రెండో రైలు కలుసుకున్నప్పుడు (x - 1) గంటలు అవుతుంది.
20x + 25 (x - 1) = 110
20x + 25x - 25 = 110
45x = 110 + 25
x = 
= 3
7 + 3 = 10.00 AM కి కలుసుకుంటాయి
జవాబు: బి
14. ఒక రైలు గంటకు 108 కి.మీ. వేగంతో వెళ్తోంది. దాని వేగం మీ./సె.లో ఎంత?
సాధన: మీ./సె. లోకి మార్చడానికి 
తో గుణించాలి.
జవాబు: 30
15. 280 మీ. పొడవైన రైలు గంటకు 63 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తుంటే, నిలబడి ఉన్న ఒక మనిషిని ఎంత సమయంలో దాటుతుంది?
జవాబు: 16 సెకన్లు
16. గంటకు 72 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు ఒక కొబ్బరి చెట్టును 7 సెకన్లలో దాటింది. అయితే ఆ రైలు పొడవు ఎంత?
సాధన: పొడవు అంటే దూరం = కాలం × వేగం
దూరం = 7 × 72 × (మీ./సె. లోకి మార్చాలి)
= 7 × 20 = 140 మీ.
జవాబు: 140 మీ.
17. 360 మీ. పొడవైన రైలు గంటకు 45 కి.మీ. వేగంతో 140 మీ. పొడవైన ఫ్లాట్‌ఫామ్‌ను ఎంత సమయంలో దాటుతుంది?
సాధన: 
దూరం = రైలు పొడవు + ఫ్లాట్‌ఫామ్ పొడవు
= 40 సెకన్లు (9, 5, 5 లతో కొట్టివేయాలి)
జవాబు: 40 సె.
18. 130 మీ. పొడవైన రైలు గంటకు 45 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తూ ఒక వంతెనను 30 సెకన్లలో దాటింది. అయితే వంతెన పొడవు ఎంత?
సాధన: దూరం = కాలం × వేగం
= 30 × 45 ×
= 15 × 25 = 375 (ఇందులో రైలు పొడవు + వంతెన పొడవు ఉన్నాయి)
వంతెన పొడవు = 375 - 130 = 245 మీ.
జవాబు: 245 మీ.
19. ఒక రైలు గంటకు 72 కి.మీ. వేగంతో 250 మీ. పొడవైన ప్లాట్‌ఫామ్‌ను 26 సెకన్లలో దాటితే రైలు పొడవు ఎంత?
సాధన: దూరం = కాలం × వేగం
= 26 × 72 ×
= 26 × 20 = 520 (ఇందులో రైలు పొడవు + ప్లాట్‌ఫామ్ పొడవు ఉన్నాయి)
ప్లాట్‌ఫామ్ పొడవు = 520 - 250 = 270 మీ.
జవాబు: 270 మీ.
20. 300 మీ. పొడవైన రైలు నిల్చుని ఉన్న మనిషిని 18 సెకన్లలో, ప్లాట్‌ఫామ్‌ను 39 సెకన్లలో దాటింది. అయితే ప్లాట్‌ఫామ్ పొడవు ఎంత?
సాధన: దూరం = కాలం × వేగం, లెక్కలో వేగం ఇవ్వలేదు
... ప్లాట్‌ఫామ్ పొడవు = 350 మీ.
సంక్షిప్త పద్ధతి: 
జవాబు: 350 మీ.
21. 270 మీ. పొడవైన రైలు గంటకు 120 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తూ, దానికి ఎదురుగా గంటకు 80 కి.మీ. వేగంతో నడుస్తున్న మరో రైలును 9 సెకన్లలో దాటింది. అయితే రెండో రైలు పొడవు ఎంత?
సాధన: దూరం = కాలం × వేగం
వేగం = రెండు రైళ్లు వ్యతిరేక దిశలో ఉన్నాయి కాబట్టి వాటి వేగాలను కలపాలి.
(ఇందులో రెండు రైళ్ల పొడవులు ఉన్నాయి)
... రెండో రైలు పొడవు = 500 - 270 = 230
జవాబు: 230 మీ.
9. సమాన పొడవున్న రెండు రైళ్లు ప్లాట్‌ఫామ్‌పై నిల్చుని ఉన్న ఒక మనిషిని వరుసగా 10, 15 సెకన్లలో దాటుతాయి. ప్రతి రైలు పొడవు 120 మీ. అయితే ఆ రెండు రైళ్లు వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణిస్తే ఎంత సమయంలో దాటినట్లు?
సాధన:
ఇందులో వేగం ఇవ్వలేదు కాబట్టి ముందు వేగాన్ని లెక్కించాలి.
జవాబు: 12 సె.
10. రెండు రైళ్ల పొడవులు వరుసగా 200, 150 మీ. అవి గంటకు వరుసగా 40, 45 కి.మీ. వేగాలతో ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే, ఒకదాన్ని మరొకటి దాటడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన:
వేగం = రెండు రైళ్లు ఒకేదిశలో ప్రయాణిస్తే తీసివేయాలి.
జవాబు: 252 సె.
రైళ్లు, పడవలు - ప్రవాహాలు
నీళ్లలో ప్రవాహం ప్రవహించే దిశను ఏటి వాలు (down stream) అని, ప్రవాహానికి వ్యతిరేక దిశను ఏటికి ఎదురు (upstream) అంటారు.
నిశ్చలమైన నీటిలో పడవ వేగం u kmph, ప్రవాహ వేగం v kmph అయితే
(i) ఏటి వాలులో పడవ వేగం = (u + v) kmph
(ii) ఏటికి ఎదురులో పడవ వేగం = (u - v) kmph
ఏటి వాలులో వేగం a kmph, ఏటికి ఎదురులో వేగం b kmph అయితే,
(i) నిశ్చల నీటిలో దాని వేగం = 
(a + b) kmph
(ii) ప్రవాహ వేగం = (a - b) kmph
kmph వేగాన్ని మీ./ సె.లోకి మార్చడానికి 
తో గుణించాలి.
మీ/ సె. వేగాన్ని kmph లోకి మార్చడానికి 
తో గుణించాలి.
1. ఒక వ్యక్తి ఏటికి ఎదురుగా 8 kmph వేగంతో, వాలులో 13 kmph వేగంతో పడవ నడుపుతాడు. అయితే ప్రవాహ వేగం ఎంత?
సాధన: ప్రవాహ వేగం = (a - b)
a = వాలులో వేగం = 13 kmph
b = ఎదురులో వేగం = 8 kmph
ప్రవాహ వేగం = (13 - 8)
= 
= 2.5 kmph
జవాబు: 2.5 kmph
2. ఒక వ్యక్తి ఏటివాలులో 32 కి.మీ., ఎదురులో 14 కి.మీ. వేగంతో పడవ నడిపాడు. ప్రతివైపు 6 గంటలు తీసుకుంటే ప్రవాహ వేగం ఎంత?
సాధన: ప్రవాహ వేగం = (a - b)
a = వాలు వేగం = 
kmph
b = ఎదురులో వేగం = 
kmph
జవాబు: 
kmph
3. ఒక పడవ నిశ్చల నీటిలో 13 kmph వేగంతో వెళ్లగలదు. ప్రవాహ వేగం 4 kmph అయితే 68 కి.మీ. వాలులో వెళ్లడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన:
వాలులో వేగం = పడవ వేగం + ప్రవాహ వేగం
= 13 + 4 = 17 kmph
జవాబు: 4 గం.
4. నిలకడగా ఉన్న నీటిలో పడవ వేగం 9kmph, ప్రవాహ వేగం 1.5 kmph అయితే 105 కి.మీ. దూరంలో ఉన్న ప్రదేశానికి వెళ్లి, మళ్లీ తిరిగి రావడానికి మొత్తం ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన:
వాలులో వేగం = పడవ వేగం + ప్రవాహ వేగం
= 9 + 1.5 = 10.5
ఎదురులో వేగం = పడవ వేగం - ప్రవాహ వేగం
= 9 - 1.5 = 7.5
జవాబు: 24 గం.
నమూనా ప్రశ్నలు
1. 110 మీ. పొడవైన రైలు గంటకు 36 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే ఒక స్తంభాన్ని ఎంత సమయంలో దాటుతుంది?
జ: 11 సెకన్లు
2. 1/2 కి.మీ. పొడవైన రైలు గంటకు 72 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే, 4 కి.మీ. పొడవున్న టన్నెల్ దాటడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
జ: 225 సెకన్లు
3. రెండు రైళ్ల పొడవులు వరుసగా 70, 80 మీ. అవి గంటకు వరుసగా 68, 40 కి.మీ. వేగాలతో వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణిస్తే, ఒకదాన్ని మరొకటి దాటడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
జ: 5 సెకన్లు
4. ఒక రైలు 5 AM కు మీరట్ నుంచి బయలుదేరి 9 AM కి దిల్లీ చేరింది. మరొక రైలు 7 AM కు దిల్లీ నుంచి బయలుదేరి 10 : 30 AM కు మీరట్ చేరింది. అయితే రెండు రైళ్లు ఏ సమయంలో కలుసుకుంటాయి?
జ: 7:56 AM
5. ఒక రైలు అది నడుస్తున్న దిశలోనే గంటకు 2, 4 కి.మీ. వేగాలతో నడుస్తున్న ఇద్దరు వ్యక్తులను వరుసగా 9, 10 సెకన్లలో పూర్తిగా దాటింది. అయితే రైలు పొడవు ఎంత?
జ: 50 మీ.
