(k + 1)^th పదం, అంటే  రెండు వైపుల కూడగా 

         .^.. ప్రవచనం  n = k + 1 కి నిజం.  
         .^.. గణితానుగమన సూత్రంనుంచి n  Nఅన్ని విలువలకు ప్రవచనం నిజం.

                         .^..   ప్రవచనం  n = 1 కి నిజం.  
                         .^..   ప్రవచనం n = k కి నిజం అని అనుకుందాం.  

    (k + 1) ⁿ  పదం అంటే  రెండు వైపుల కూడగా, 

                                         
         .^..   ప్రవచనం n = k + 1 కి నిజం.    
        .^..  గణితానుగమన సూత్రంనుంచి n  N  అన్ని విలువలకు ప్రవచనం నిజం.
 

3. 49n + 16 n - 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
జ:  n = 1 అయితే   49 + 16 - 1 = 64 ను 64 భాగిస్తుంది.
     కాబట్టి  ప్రవచనం n = 1 కి నిజం.
     ప్రవచనం n = k కి నిజం అని అనుకుందాం.
     49^k + 16k - 1 = 64 m   (m  స్ధిరరాశి , m  n) 
     49^k  =  64 m - 16 k + 1
    ప్రవచనం n = k + 1 కి నిజం అని నిరూపిద్దాం.
                    =  49^{k + 1} + 16 (k + 1) - 1 = 49^k. 49 + 16k + 16 - 1
                    =  (64 m - 16k + 1) 49 + 16k + 15
                    =  64 m × 49 - 16k × 49 + 49 + 16k + 15
                    =  64m × 49 - 16k (49 - 1) + 64
                    =  64m × 49 - 16k (48) + 64
                    =  64 m × 49 - 16k(4 × 12) + 64
                    =  64 m × 49 - 64k × 12 + 64
                    =  64 (49m - 12k + 1)
          .^..   ఇచ్చిన ప్రవచనం  n = k + 1కి నిజం.
           .^..   గణితానుగమన సూత్రంనుంచి n  N  అన్ని విలువలకు ప్రవచనం నిజం. 

                          .^..   ప్రవచనం  n = 1 కి నిజం.  
                         .^..   ప్రవచనం n = k కి నిజం అని అనుకుందాం. 

 (k + 1)^th  పదం అంటే  రెండు వైపుల కూడగా,

                                                         
.^..    ఇచ్చిన ప్రవచనం  n = k + 1కి నిజం.

 .^..   గణితానుగమన సూత్రంనుంచి n  N  అన్ని విలువలకు ప్రవచనం నిజం.

5.  1.2.3 + 2.3.4 + ....  'n' పదాల వరకు  =  
జ.   1, 2, 3, ...   t_n = a + (n - 1) d = 1 + (n - 1) .1 = n
      2, 3, 4, ...   t_n = a + (n - 1) d = 2 + (n - 1) .1 = n + 1
     3, 4, 5, ...   t_n = a + (n - 1) d = 3 + (n - 1) .1 = n + 2 అంకశ్రేఢిలో ఉన్నందు వల్ల
              S(n)  =  1.2.3 + 2.3.4 + ..... + n(n + 1) (n + 2) =  
                  n = 1 అయితే
             n(n + 1) (n + 2) =  1 (1 + 1)  (1 + 2)  =  6        

           
    .^..   ప్రవచనం  n = 1 కి నిజం.  
   .^..   ప్రవచనం n = k కి నిజం అని అనుకుందాం.        
    S(k)  =  1.2.3. + 2.3.4 +  ....  + k(k + 1) (k + 2)  =  
            (k + 1)^th  పదం అంటే (k + 1) (k + 2) (k + 3) రెండు వైపుల కూడగా.
          1.2.3 + 2.3.4 +  .... +  k(k + 1) (k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)      
                     
           .^..    ఇచ్చిన ప్రవచనం  n = k + 1కి నిజం.
           .^..   గణితానుగమన సూత్రంనుంచి n  N  అన్ని విలువలకు ప్రవచనం నిజం.