• facebook
  • whatsapp
  • telegram

సంఖ్యామానం

సంఖ్యామానం: ఒక సంఖ్యను అంకెల్లో రాయడాన్ని సంజ్ఞామానం అనీ, అక్షరాల్లో రాయడాన్ని సంఖ్యామానం అనీ అంటారు.
ఉదా: 245 − సంజ్ఞామానం
    రెండు వందల నలభై ఐదు − సంఖ్యామానం
     640 − సంజ్ఞామానం
    ఆరు వందల నలభై − సంఖ్యామానం

 

సంఖ్యామానం - రకాలు
* దశాంశ సంఖ్యామానం
* అంతర్జాతీయ (ఆంగ్ల) సంఖ్యామానం
* హిందూ − అరబిక్ సంఖ్యామానం

 

1. దశాంశ సంఖ్యామానం: 0 నుంచి 9 వరకు గల అంకెలను ఉపయోగించి సంఖ్యలను రాసే విధానాన్ని 'దశాంశ సంఖ్యామానం' అంటారు.
ఉదా: 356(10)

* ఈ పద్ధతిలో ఒక సంఖ్యలోని అంకె స్థాన విలువ ఒకట్ల స్థానం నుంచి మొదలై 100, 101, 102 ..... ల లబ్ధంగా పెరుగుతుంది.
ఉదా: 356 = 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100
= 3 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1
= 300 + 50 + 6 = 356
* సున్నాను ఆర్యభట్టు కనుక్కున్నాడు.
* క్రీ.పూ. 200 సంవత్సరాల నుంచే భారతీయులు సున్నాను గణితంలో ఉపయోగించారు.

 

అంతర్జాతీయ లేదా ఆంగ్ల సంఖ్యామానం: ఈ సంఖ్యామానంలో అంకెల స్థానం కుడి నుంచి ఎడమకు ఒకట్లు, పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, వందవేలు, మిలియన్, పది మిలియన్, వంద మిలియన్, బిలియన్, పది బిలియన్, ట్రిలియన్... ఇలా ఉంటాయి.
 

హిందూ - అరబిక్ సంఖ్యామానం: హిందూ అరబిక్ సంఖ్యామానంలో సంఖ్యలోని అంకెల స్థానాలు కుడి నుంచి ఎడమకు వరుసగా ఒకట్లు, పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, లక్ష, పది లక్షలు, కోట్లు, పది కోట్లు, వంద కోట్లు ..... ఇలా ఉంటాయి.

సంఖ్యల విస్తరణ రూపం
* ఒక సంఖ్యలోని అంకెలను స్థాన విలువల ఆధారంగా విభజించి రాయడాన్ని 'విస్తరణ' అంటారు.
ఉదా: 6,48,321 = 6,00,000 + 40,000 + 8,000 + 300 + 20 + 1
* 0 (సున్నా) ఏ స్థానంలో ఉన్నా ఆ అంకె సహజ విలువ, స్థాన విలువ 0 (సున్నా) అవుతాయి.
* ఒకట్ల స్థానంలో ఉండే అంకె సహజ విలువ, స్థాన విలువ రెండూ సమానంగా ఉంటాయి.
* బిలియన్ తర్వాత:
* ట్రిలియన్ = 1012
* క్వాట్రిలియన్ = 1015
* క్వింట్రిలియన్
* సెక్ట్రిలియన్ లాంటి స్థాన విలువలు ఉన్నాయి.

 

సంఖ్యా వ్యవస్థ: దశాంశ సంఖ్యా పద్ధతిని ప్రపంచానికి అందించినవారు భారతీయులు.
* ప్రపంచానికి 'సున్నా'ను అందించినవారు భారతీయులు.

 

సంఖ్యా వ్యవస్థలు


          
1. సహజ సంఖ్యలు:
1, 2, 3, 4, 5, .............,
) సంఖ్యలను 'సహజ సంఖ్యలు' అంటారు. దీన్ని 'N' తో సూచిస్తారు.
                         (or)
గణన కోసం మానవుడు ఉపయోగించిన 1, 2, 3, ........... లను సహజ సంఖ్యలు అంటారు.
N = {1, 2, 3, 4, ........,
}

* అతి చిన్న సహజ సంఖ్య = 1
* అతిపెద్ద సహజ సంఖ్యను నిర్ధారించలేం.

 

2. పూర్ణాంకాలు: సహజ సంఖ్యలకు సున్నా (0) ను చేర్చగా ఏర్పడే సంఖ్యలను 'పూర్ణాంకాలు' అంటారు.
* పూర్ణాంకాలను 'W' తో సూచిస్తారు.
* W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...............
}
* అతి చిన్న పూర్ణాంకం = 0
* అతి పెద్ద పూర్ణాంకాన్ని నిర్థారించలేం.

3. పూర్ణ సంఖ్యలు: ధన సంఖ్యలు, రుణ సంఖ్యలు, సున్నాను కలిపి 'పూర్ణ సంఖ్యలు' అంటారు.
* దీన్ని 'Z'తో సూచిస్తారు.
  Z = {
−∞, ......... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, .........., +∞}
* ధన పూర్ణ సంఖ్యలు (Z+) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}
* రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు
(Z-) = {−1, −2, −3, −4, ..............}
* రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు = {0, 1, 2, 3, 4, ...............}
* రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలను 'పూర్ణాంకాలు' అంటారు.

* పూర్ణ సంఖ్యల్లో అతి చిన్న, అతి పెద్ద సంఖ్యలను నిర్ధారించలేం.
* '0' అనేది రుణ లేదా ధన పూర్ణ సంఖ్య కాదు. ఒక పూర్ణసంఖ్య మాత్రమే.

 

పూర్ణసంఖ్యల సంకలనం, వ్యవకలనం
* రెండు పూర్ణ సంఖ్యలకు ఒకే గుర్తు ఉంటే వాటి సంకలనానికి కూడా అదే గుర్తు వస్తుంది.
ఉదా: -2 + -3 = -5
            2 + 3 = +5
         -4 + -3 = -7
            4 + 3 = +7
* రెండు పూర్ణ సంఖ్యలకు వేర్వేరు గుర్తులు ఉంటే పెద్ద సంఖ్య నుంచి చిన్న సంఖ్యను తీసివేసి, ఫలితానికి పెద్ద సంఖ్యకు ఉండే గుర్తును ఉంచాలి.
ఉదా: 2 - 4 = -2
          3 - 6 = -3
          7 - 9 = -2
         10 - 20 = -10

పూర్ణసంఖ్యల గుణకారం: రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యల లబ్ధం ధనపూర్ణ సంఖ్య; రెండు రుణ పూర్ణసంఖ్యల లబ్ధం ధనపూర్ణ సంఖ్య; ధన పూర్ణసంఖ్య, రుణ పూర్ణసంఖ్యల లబ్ధం రుణ పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.
 

పూర్ణసంఖ్యల ధర్మాలు: (* = +, -, ×, ÷)
 

1. సంవృత ధర్మం: (a * b)
* a, b లు రెండు పూర్ణసంఖ్యలు. '*' ఒక పరిక్రియ అయితే a * b కూడా పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు పూర్ణసంఖ్య '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది అంటారు.
* పూర్ణసంఖ్యలు సంకలనం (+), వ్యవకలనం (-), గుణకారం (×) దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. కానీ భాగహారం (÷) దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించవు.

 

2. స్థిత్యంతర లేదా వినిమయ ధర్మం: (a * b = b * a)
* a, bలు రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అవుతూ '*' అనే పరిక్రియ దృష్ట్యా a * b = b * a అయినప్పుడు పూర్ణసంఖ్యలు '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.
* పూర్ణసంఖ్యలు సంకలనం, గుణకారం దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలనం, భాగహారం దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించవు.
* సహచర ధర్మం: a * (b * c) = (a * b) * c

* a, b, c అనే మూడు పూర్ణసంఖ్యలు '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా a * (b * c) = (a * b) * c అయితే '*' పరిక్రియ దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.
* పూర్ణసంఖ్యలు సంకలనం, గుణకారం దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలనం, భాగహారం దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటించవు.

 

తత్సమాంశం

1. సంకలన తత్సమాంశం: 'a' అనే ఏదైనా పూర్ణసంఖ్యకు  అయ్యేలా '0' వ్యవస్థితం అయితే '0' ను సంకలన తత్సమాంశం అంటారు.
* పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన తత్సమాంశం '0' వ్యవస్థితం అవుతుంది.
* సహజ సంఖ్యల్లో సంకలన తత్సమాంశం '0' వ్యవస్థితం కాదు.
* 'a' ఏదైనా పూర్ణసంఖ్య అయితే a × 0 = 0 × a = 0 అవుతుంది. అంటే పూర్ణసంఖ్య, '0' ల లబ్ధం కూడా '0' అవుతుంది.
* ''a'' పూర్ణసంఖ్య అయితే a/0 వ్యవస్థితం కాదు. ('0' తో భాగహారాన్ని నిర్వచించలేం).


2. గుణకార తత్సమాంశం: a ఒక పూర్ణసంఖ్య అయితే   అయ్యేలా '1' వ్యవస్థితం అయినప్పుడు '1' ని గుణకార తత్సమాంశం అంటారు.

* a ఏదైనా పూర్ణసంఖ్య అయితే

 

విలోమం

1. సంకలన విలోమం: a ఒక పూర్ణసంఖ్య అయితే a + (-a) = -a + a = 0 అయ్యేలా −a వ్యవస్థితం అయితే a, −a లు ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమాలు అవుతాయి.
ఉదా: 2 సంకలన విలోమం = -2
-5 సంకలన విలోమం = 5
-1/5 సంకలన విలోమం =  1/5
2/5 సంకలన విలోమం =   -2/5
6 సంకలన విలోమం = - 6
- 8 సంకలన విలోమం = 8

 

2. గుణకార విలోమం: a ఒక పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు a × 1/a  =  1/a × a = 1 అయ్యేలా  1/a వ్యవస్థితం అయితే a,  1/a లు ఒకదానికొకటి 'గుణకార విలోమాలు' అవుతాయి.
* పూర్ణసంఖ్యల్లో గుణకార విలోమం వ్యవస్థితం కాదు.

 

విభాగ న్యాయాలు:
* a, b, c లు మూడు పూర్ణసంఖ్యలు అయితే
i) a × (b + c) = a × b + a × c  
 సంకలనం దృష్ట్యా గుణకార విభాగ న్యాయం.
ii) a × (b - c) = a × b - a × c  
 వ్యవకలనం దృష్ట్యా గుణకార విభాగ న్యాయం.
వాస్తవ సంఖ్యలు: కరణీయ, అకరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు. వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని 'R' తో సూచిస్తారు.

 

Posted Date : 12-02-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

స్కూల్ అసిస్టెంట్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌