• facebook
  • whatsapp
  • telegram

పూర్ణ సంఖ్య‌లు

ముఖ్యాంశాలు

 1, 2, 3, 4... లను లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు. కాబట్టి ఈ సంఖ్యలను లెక్కించే సంఖ్యలు (Counting numbers) అంటారు. వీటినే సహజ సంఖ్యలు (Natural numbers) అని కూడా అంటారు.

సహజ సంఖ్య సమితిని N తో సూచిస్తారు.

N = {1, 2, 3, 4...}

 0 తో ఉన్న సహజ సంఖ్యలను పూర్ణాంకాలు అంటారు.

పూర్ణాంకాల సమితిని W తో సూచిస్తారు.

W =  {0, 1, 2, 3, 4...}
పూర్ణసంఖ్యలు: ధన సంఖ్యలు, రుణ సంఖ్యలు, సున్నాను (0) కలిగి ఉన్న సమితిని పూర్ణసంఖ్యల సమితి అంటారు. దీన్ని Z లేదా I తో సూచిస్తారు.

Z = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}

ధన పూర్ణ సంఖ్యలు: 1, 2, 3, 4... అనే సహజ సంఖ్యలను ధనపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని  Z+ లేదా I+ తో సూచిస్తారు.

Z= {1, 2, 3, 4...} = N = ధన పూర్ణ సంఖ్యల సమితి

రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు: -1, -2, -3, -4... లను రుణపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని Z- లేదా I- తో సూచిస్తారు.

Z= {-1, -2, -3, -4...} 
 

​​​​​​​ 0 అనేది ధనాత్మకం, రుణాత్మకం రెండూ కాదు.

​​​​​​​ {0, 1, 2, 3, 4...} అనే సమితిని రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు (Set of non-negative integers) అంటారు.

​​​​​​​ {-0, -1, -2, -3, -4...} అనే సమితిని ధనేతర పూర్ణ సంఖ్యలు (Set of non-positive integers) అంటారు.


మాదిరి ప్రశ్నలు

1. కింది అంశాలను జతపరచండి.

i) 97 + 39 a) −58
ii) 97 + (−39) b) −136
iii) (−97) + 39 c) 136
iv) (−97) + (−39)  d) 58

1) i-c, ii-a, iii-d, iv-b

2) i-c, ii-d, iii-a, iv-b

3) i-d, ii-c, iii-b, iv-a

4) i-d, ii-b, iii-c, iv-a
 

సాధన: i) 97 + 39 = 136 = c
ii) 97 + (−39) = 97 − 39 = 58 = d
iii) (−97) + 39 = −97 + 39 = −58 = a
iv) (−97) + (−39) = −97 − 39 = − 136 = b      

సమాధానం: 2

2. 50 − (−48) − (−2) −120 ను సూక్ష్మీకరిస్తే వచ్చే విలువకు సమానమైన విలువ.....

1) 40        2) 30        3) 20        4)10


సాధన: 50 − (−48) − (−2) − 120
= 50 + 48 + 2 − 120
= 100 − 120 = −20 

సమాధానం: 3

3. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 99 − 100 = ...

1) 50       2) 100       3) 50        4) 100


సాధన: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 99 − 100 =
= (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + ... + (99 − 100)
= (−1) + (−1) + (−1) + ... + (−1) (50 సార్లు)
= 50 × (−1) = −50
 

సమాధానం: 1

4. ఒక పరీక్షలో ప్రతి సరైన జవాబుకు (+4) మార్కులు, తప్పు సమాధానానికి (-2) మార్కులు ఇచ్చారు. సౌమ్య అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాస్తే, 32 కరెక్ట్‌ అయ్యాయి. ఆమెకు వచ్చిన మార్కులు 102 అయితే సౌమ్య పరీక్షలో తప్పుగా గుర్తించిన జవాబులు ఎన్ని?

1) 15    2) 14     3) 13    4) 12


సాధన: ప్రతి సరైన జవాబుకు పొందే మార్కులు = +4

తప్పు జవాబుకు పొందే మార్కులు = -2

సరైన జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = 32

తప్పు జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = X అనుకోండి

సౌమ్య పొందిన మార్కులు = 102

⇒  32 x (+4) + X  x (−2) = 102

⇒ 128 − 2X = 102
⇒ 128 − 102 = 2X
⇒ 2X = 26

⇒ X = 26/2 = 13

 తప్పుగా జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = 13

సమాధానం: 3

5. కశ్మీర్‌లో మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయంలో  12C ఉష్ణోగ్రత ఉన్నట్లు గుర్తించారు. ఉష్ణోగ్రత ప్రతి గంటకు 1.2​​​​​​​o C చొప్పున తగ్గుతూ ఉంటే ఎన్ని గంటలకు ఉష్ణోగ్రత  0​​​oC  కంటే 6​​​oC తక్కువగా ఉంటుంది?

1) 10 pm     2) 11 pm    3) 2 am    4) 3 am


సాధన: కశ్మీర్‌లో మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయంలో ఉష్ణోగ్రత = 12C

X గంటల తర్వాత ఉష్ణోగ్రత = 0​​​oC  కంటే 6​​​oC తక్కువ

⇒ 12 − x × 1.2 = −6
⇒ 12 + 6 = x × 1.2 Þ 18 = 1.2x

సమయం = మధ్యాహ్నం 12 గం.  + 15 గంటలు

            = ఉదయం 3 గం. = 3.00 am           

సమాధానం: 4

6. కిందివాటిలో పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం ఏది?

1) 13 + 0 = 0 + 13 = 13

2) (10 + 12) + 13 = 10 + (12 + 13)

3) 5 × (6 + 7) = 5 × 6 + 5 × 7

4) 13 + 17 = 17 + 13


సాధన: 

1) 13 + 0 = 0 + 13 = 13 (సంకలన తత్సమ ధర్మం)

2) (10 + 12) + 13 = 10 + (12 + 13) (సంకలన సహచర ధర్మం)

3) 5 × (6 + 7) = 5 × 6 + 5 × 7 (గుణకార విభాగన్యాయం సంకలనంపై)

4) 13 + 17 = 17 + 13 (సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం)

సమాధానం: 4

7. ఒక సిమెంట్‌ కంపెనీకి ఒక్కో తెల్లబస్తా సిమెంట్‌పై రూ.11 లాభం, బూడిద రంగు బస్తాపై రూ.7 నష్టం చొప్పున వచ్చాయి. ఒక నెలలో 8000 తెల్ల సిమెంట్‌ బస్తాలు, 6000 బూడిద రంగు సిమెంట్‌ బస్తాలు అమ్మితే, ఆ నెలలో పొందిన లాభ నష్టాలు ఎంత?

1) రూ.46,000 లాభం   2) రూ.48,000 లాభం

3) రూ.44,000 నష్టం   4) రూ.38,000 నష్టం

సాధన: ఒక్కో తెల్ల సిమెంట్‌ బస్తాపై లభించే లాభం = రూ.11

8000 తెల్ల బస్తాల సిమెంట్‌పై లభించిన లాభం = రూ.8000 x 11 = రూ.88,000

ఒక్కో బూడిదరంగు సిమెంట్‌ బస్తాపై వచ్చే నష్టం = రూ.7

6000 బూడిద రంగు సిమెంట్‌ బస్తాలపై వచ్చిన నష్టం = రూ.6000 x 7 = రూ.42,000

లభించిన లాభం > లభించిన నష్టం

(రూ.88000)  (రూ.42000)

సిమెంట్‌ కంపెనీ నికర లాభం 

= రూ.88000 - రూ.42000 = రూ.46000    

సంక్షిప్త పద్ధతి:

సిమెంట్‌ కంపెనీ నెలలో పొందిన నికర ఆదాయం 

= 8000 × (+11) + 6000 × (−7)

= 88000 - 42000

= రూ.46000 (ధనాత్మకం కాబట్టి లాభం వచ్చింది)

సిమెంట్‌ కంపెనీ నికర లాభం = రూ.46000

సమాధానం: 1

9. ఒక దుకాణదారుడు ఒక పెన్ను అమ్మకంపై రూ.1 లాభం, ఒక పెన్సిల్‌ అమ్మకంపై 35 పైసల నష్టం పొందుతాడు. ఒకరోజు ఎలాంటి లాభం కానీ నష్టంకానీ రాలేదు. ఆ రోజు అమ్మిన పెన్నులు 70 అయితే, అతడు ఎన్ని పెన్సిళ్లు విక్రయించినట్లు?

1) 150   2) 175   3) 200   4) 225

సాధన: వ్యాపారి ఆ రోజు అమ్మిన పెన్సిళ్ల సంఖ్య = X అనుకోండి.

దత్తాంశం ప్రకారం, పెన్నుల అమ్మకం ద్వారా లభించిన లాభం = పెన్సిళ్ల అమ్మకం ద్వారా వచ్చిన నష్టం

⇒ 70 × రూ.-1 = x × 35  పైసలు
⇒ రూ. 70 ×  35 x  పైసలు

⇒ 70 × 100 పైసలు = 35x  పైసలు

సమాధానం: 3

10. 968 x 73 + 968 x 27 విలువ ఎంత?

1) 96600          2) 96800        3) 96900          4)  97800


సాధన: 968 x 73 + 968 x 27 =

= 968 x (73 + 27)

= 968 x 100 = 96800

సమాధానం: 2

పూర్ణ సంఖ్యల్లో సంకలన ధర్మాలు

1) సంవృత ధర్మం: a, b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a+b కూడా పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.

2) స్థిత్యంతర ధర్మం (వినిమయ న్యాయం): a, b లు ఏదైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a + b = b + a అవుతుంది.

3) సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణసంఖ్యలైతే (a + b) + c = a + (b + c)అవుతుంది.

4) సంకలన తత్సమాంశం: a ఏదైనా పూర్ణసంఖ్య అయితే a + 0 = 0 + a = a

* ‘0’ ను పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన తత్సమాంశం అంటారు.

5) సంకలన విలోమం: a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే a + (−a) = 0 అయ్యేట్లు (−a) అనే పూర్ణ సంఖ్య ఉంటుంది.

* a, (−a) లు ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమాలు

పూర్ణసంఖ్యలో గుణకార ధర్మాలు


1) సంవృత ధర్మం: a, bలు ఏవైనా పూర్ణసంఖ్యలు అయితే a × b కూడా పూర్ణసంఖ్యే.

2) స్థిత్యంతర ధర్మం (వినిమయ న్యాయం): a, b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలైతే  a × b = b × a

3) సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలైతే(a × b) × c = a × (b × c)

4) గుణకార తత్సమాంశం: a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే   a × 1 = 1 × a = a

* 1ని పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకార తత్సమాంశం అంటారు.

5) విభాగ న్యాయం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే  

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకారం సంకలనంపై విభాగ న్యాయం పాటిస్తుంది.


అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. కిందివాటిలో పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకార తత్సమాంశం....

1) 0     2) 1    3) 2     4) 10

జ: 1

2.  - 168 సంకలన విలోమం....

1) 168   2) -168    3) 1   4) 0

జ:  168


3. కిందివాటిలో ఏది అసత్యం?

1) a, b ∈ z, a + b = b + a 

2) a, b ∈ z, a × b = b × a 

3) a, b ∈ z, a ÷ b = b ÷ a 

4) a, b, c ∈ z, a × (b + c) 

= (a × b) + (a × c)

జ:  a, b ∈ z, a ÷ b = b ÷ a 


4. 143 x 127 - 143 x 27 = ......

జ:  14300


5.  2 + (−2) + 2 + (−2) + ...... (125 సంఖ్యలు)=

జ:  2


6. కిందివాటిలో ఏది సత్యం?

1) -16 < - 17       2) -16 = -17

3) -16 > -17        4)  పైవన్నీ

జ:   -16 > -17 

Posted Date : 24-01-2022

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

ఎస్‌ఐ : ప్రిలిమ్స్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌