• facebook
  • whatsapp
  • telegram

సంవృత ప్రదేశాలు - వైశాల్యాలు

1. కింది జాబితాలను పరిశీలించండి:

జాబితా-1 (వక్రం/రేఖ సమీకరణాలు) జాబితా-2 (ఏర్పడే వైశాల్య పరిమాణాలు)
A. y2 = 48x;  x2 = 36y 1. 686
B. y2 = 24x; y = 8x 2. 
C. y = 4x - x- 3; y = 0 3. 576
D.  4.

మరియు నిరూపక అక్షాలు 5. 6
సరైన జత:
జ:   A  B  C  D 
       3  2   4  5
విశ్లేషణ:  1వ ప్రశ్నలో Aకి జవాబు : 576
y= 48xలో   a = 12   x2 = 36yలో     b = 9 

వైశాల్యం =  
Bకి జవాబు :          
y= 24xలో   a = 6      y = 8xలో       m = 8
వైశాల్యం =     
cకి జవాబు :  
    లో      a = -1;
b = 4;   c = 3లను ప్రతిక్షేపిస్తే, సమాధానం = 
Dకి జవాబు:  
 ∴  1వ ప్రశ్నకు సమాధానం: [4]
 

 

2. logx = y; (logx)2 = y ల మధ్య ఏర్పడే వైశాల్య పరిమాణం:
జ:  3-e

విశ్లేషణ:  జవాబు [1]
 y = logx, y = (logx)2  లను సాధించండి.
(1, 0), (e, 1)లు ఖండన బిందువులు
వైశాల్యం =   
           = [x(logx - 1)  -  x[logx)2 - 2logx + 2]]e1 
           = 3-e

 

3. 5x= 9y= 45 దీర్ఘవృత్తం నాభిలంబపుటంచుల వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖలు ఒక చతుర్భుజాన్ని నిర్మిస్తే, దాని వైశాల్య పరిమాణం:
జ:  27
విశ్లేషణ:   దీర్ఘవృత్తం నాభిలంబపుటంచులు  వద్ద గీచిన స్పర్శరేఖలు నిరూపక అక్షాలను  ల వద్ద కలుస్తాయి. వీటితో ఏర్పడిన చతుర్భుజ వైశాల్య పరిమాణం 
ఈ లెక్కలో a= 9;          
        
కాబట్టి కావలసిన చతుర్భుజ వైశాల్య పరిమాణం =         
సమాధానం (3)
 

4. నిశ్చితత్వం (A): x = a; x = b; y =   వక్రాల మధ్య ఏర్పడే వైశాల్య పరిమాణాన్ని  ఇస్తుంది.
కారణం (R):  ఎల్లప్పుడూ ఆరోహించే ప్రమేయం. కిందివాటిలో సరైంది ఏది?
జ: (2) A, Rలు సత్యం; కానీ A కి R సరైన వివరణ కాదు.
విశ్లేషణ: నిర్వచనం నుంచి నిశ్చితత్వం A సత్యం
,  అన్ని x విలువలకు ధనాత్మకం. కాబట్టి  ఆరోహించే ప్రమేయం.
∴  కారణం R సత్యం. కానీ, ఈ కారణం నిశ్చితత్వానికి సంబంధించిందికాదు. కాబట్టి Aని R సరిగా వివరించదు.
జవాబు (2)

 

5. y = x2; y = x3 ల మధ్య ఏర్పడే వైశాల్య పరిమాణం:
జ:  
విశ్లేషణ:  ఖండన బిందువులు (0, 0), (1, 1)
వైశాల్య పరిమాణం 


జవాబు (4)
 

 

6. నిరూపక అక్షాలతో y = loge (x + e) వక్రం చేసే వైశాల్య పరిమాణం:
జ:  1
విశ్లేషణ:  X - అక్షం   y = 0
  x  = 1 - e 
  (1 - e, 0)  ఒక ఖండన బిందువు,           
 Y - అక్షం    x = 0 
 y = log ee = 1 
   (0, 1)  రెండో ఖండన బిందువు. 
  కావలసిన వైశాల్య పరిమాణం   
                                                               
జ: [3]

 

7. Y -  అక్షంతో x = 4 - y2 వక్రం చేసే వైశాల్య పరిమాణం:
జ:  
విశ్లేషణ: y -  అక్షం    x = 0
          0 = 4 - y2   y =  ±2  (0, -2), (0, 2) లు ఖండన బిందువులు
కావాల్సిన వైశాల్య పరిమాణం = 


 

8.  y2 = 4ax పరావలయం x = a; x = 9a రేఖల మధ్య నిర్మించే వైశాల్యం:
జ:   
విశ్లేషణ:  ముందుగా వక్రం స్వభావం, స్వరూపం తెలుసుకుందాం.
 వైశాల్యం

జవాబు [2]     
 

9. xy = a2; (a > 0);  x = a;  x = 4a;  y = 0 ల మధ్య ఉన్న వైశాల్య పరిమాణం:
జ:  2a2 log2
విశ్లేషణ:  
           
 జవాబు [2]     

 

10. ప్రవచనం I:  వక్రం నిరూపక అక్షాలతో చేసే వైశాల్య పరిమాణం 
ప్రవచనం II: y = ex; y = e-x వక్రాలు x = 1 రేఖతో చేసే వైశాల్య పరిమాణం  ఏది సత్యం?
జ: I సత్యం, II సత్యం
విశ్లేషణ:   ప్రవచనం I
X - అక్షం   y = 0     x = a     (a, 0) మొదటి ఖండన బిందువు
Y - అక్షం     x = 0   y = a     (0, a) రెండో ఖండన బిందువు
వైశాల్యం
          
   ప్రవచనం I సత్యం.
ప్రవచనం II
 y = ex,  y = e-x ల నుంచి ఖండన బిందువు (0, 1)
x = 1 రేఖతో కలసి వక్రాలు చేసే ప్రదేశ వైశాల్యం

   

   ప్రవచనం II సత్యం    


 జవాబు [1]

Posted Date : 23-02-2021

<

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

స్టడీమెటీరియల్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 
 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌