### Pair of Straight Lines

Synopsis

If l1x + m1y + n1 = 0 ........ (1) and l2x + m2y + n2 = 0 .......... (2) are equations of any two straight lines, then the combined equation of (1) & (2) is
(l1x + m1y + n1)(l2x + m2y + n2) = 0.
The combined equation of (1) & (2) is called equation of pair of straight lines.

PAIR OF STRAIGHT LINES THROUGH THE ORIGIN
* Generally second degree homogeneous equation in 'x' and 'y' represents two straight lines through the origin.
* Let us consider the two straight lines through the origin as
y = m1x ........ (1) and y = m2x ....... (2)
Compare the (1) × (2) with ax2 + 2hxy + by2
then b[(y − m1x)(y − m2x)] = b y2 − (m1 + m2)xy + m1m2x2 * m1 + m2 = and m1m2 *  Sum and product of slopes of two lines represented by the equation
ax2 + 2hxy + by2 = 0 is and respectively.

ANGLE BETWEEN THE LINES REPRESENTED BY ax2 + 2hxy + by2 = 0
* If θ is the angle between the lines represented by the equation
ax2 + 2hxy + by2 = 0, then * If  two lines are perpendicular, then a + b = 0
* If  two lines are parallel (coincident), then h2 = ab

BISECTORS OF ANGLE BETWEEN LINES REPRESENTED BY
ax2 + 2hxy + by2 = 0
* The pair of bisectors of angle between the lines represented by the equation
ax2 + 2hxy + by2 = 0 is h(x2 − y2) = (a − b)xy

CONDITION FOR GENERAL SECOND DEGREE EQUATION IN 'x' AND 'y' to REPRESENT PAIR OF STRAIGHT LINES
* The second degree equation ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 represents two separate lines, then (i) h2 ab; g2 bc; f2 ac
(ii) ∆ = abc + 2fgh − af2 − bg2 − ch2 = 0
* Equation of pair of straight lines passing through origin and parallel to the pair of straight lines ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 is ax2 + 2hxy + by2 = 0
* If the lines l1x + m1y + n1 = 0 ................... (1)
and l2x + m2y + n2 = 0 ................... (2)
are the two separate lines of ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, then
l1l2 = a; m1m2 = b; n1n2 = c
l1m2 + l2m1 = 2h;   l1n2 + l2n1 = 2g;  m1n2 + m2n1 = 2f
* If 'θ' is the angle between the lines represented by the equation
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, then tan θ = * The point of intersection of two lines represented by the equation
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 is * If the equation S ≡ ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 represents a pair of parallel lines, then (i) h2 = ab
(ii) af2 = bg2
(iii) Distance between them * The equations of the lines passing through (x0, y0) and parallel to the pair of lines
ax2 + 2hxy + by2 = 0 is a(x − x0)2 + 2h (x − x0)(y − y0) + b(y − y0)2 = 0

* The equation of the lines passing through (x0, y0) and perpendicular to the lines ax2 + 2hxy + by2 = 0 is b(x − x0)2 − 2h(x − x0)(y − y0) + a(y − y0)2 = 0
* The equation of pair of straight lines joining the origin to the point of intersection of the curve
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 ............... (1)
and lx + my + n = 0 is   ................ (2)
ax2 + 2hxy + by2 + (2gx + 2fy)  Posted Date : 17-02-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్లో వచ్చే ప్రకటనలు అనేక దేశాల నుండి, వ్యాపారస్తులు లేదా వ్యక్తుల నుండి వివిధ పద్ధతులలో సేకరించబడతాయి. ఆయా ప్రకటనకర్తల ఉత్పత్తులు లేదా సేవల గురించి ఈనాడు యాజమాన్యానికీ, ఉద్యోగస్తులకూ ఎటువంటి అవగాహనా ఉండదు. కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచిననుసరించి కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికతతో పంపబడతాయి. ఏ ప్రకటనని అయినా పాఠకులు తగినంత జాగ్రత్త వహించి, ఉత్పత్తులు లేదా సేవల గురించి తగిన విచారణ చేసి, తగిన జాగ్రత్తలు తీసుకొని కొనుగోలు చేయాలి. ఉత్పత్తులు / సేవలపై ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎటువంటి నియంత్రణ ఉండదు. కనుక ఉత్పత్తులు లేదా సేవల నాణ్యత లేదా లోపాల విషయంలో ఈనాడు యాజమాన్యం ఎటువంటి బాధ్యత వహించదు. ఈ విషయంలో ఎటువంటి ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకీ తావు లేదు. ఫిర్యాదులు తీసుకోబడవు.