నిష్పత్తి: ఏవైనా రెండు రాశులు ఒకే ప్రమాణాలు కలిగి మొదటి రాశిని రెండో రాశి భాగిస్తే దాన్ని నిష్పత్తి అంటారు.
       a, b లు రెండు రాశులైతే వాటి మధ్య నిష్పత్తి   లేదా a : b. దీనిలో a ను పూర్వపదం, b ను పరపదం అంటారు.
* ఒక నిష్పత్తిని స్థిరసంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా దానిలో మార్పు ఉండదు.
* a : b కి విలోమ నిష్పత్తి   :   లేదా b : a
* a : b : c కి విలోమ నిష్పత్తి  :   :   లేదా bc : ca : ab
* a : b కి వర్గ నిష్పత్తి a² : b²
* a : b కి వర్గమూల నిష్పత్తి 
* a : b కి వర్గ ఘన నిష్పత్తి a³ : b³
* a : b కి వర్గ ఘనమూల నిష్పత్తి 
 

అనుపాతం: ఏవైనా రెండు నిష్పత్తులు సమానమైతే అవి అనుపాతంలో ఉంటాయి.
a : b = c : d
a, d లను అంత్యమాలు; b, c లను మధ్యమాలు అంటారు.
ad = bc

i) నాలుగో అనుపాతం: a : b : : c : d లో d ని నాలుగో అనుపాతం అంటారు.
ad = bc

ii) మూడో అనుపాతం:
a : b : : b : c లో c ని మూడో అనుపాతం అంటారు.
ac = b²

iii) మధ్య అనుపాతం:
a : b : : b : c లో b ని మధ్య అనుపాతం అంటారు.
b² = ac

iv) బహుళ లేదా మిశ్రమ నిష్పత్తి:
a : b, c : d, e : f ల బహుళ నిష్పత్తి

మాదిరి సమస్యలు

1. a : b = 3 : 4, b : c = 8 : 9 అయితే a : c ఎంత?
    1) 1 : 2     2) 3 : 2     3) 1 : 3     4) 2 : 3

సమాధానం: 4

 

2. (a + b) : (b + c) : (c + a) = 6 : 7 : 8, (a + b + c) = 14 అయితే c విలువ ఎంత?
    1) 6     2) 7     3) 8     4) 14
సాధన: a + b + b + c + c + a = 6k + 7k + 8k
              2(a + b + c) = 21k
              2 × 14 = 21k (దత్తాంశం ప్రకారం) 
              k = 2 ×  

 = 
c విలువ కావాలంటే (a + b + c) నుంచి (a + b) ని తీసివేయాలి.
(a + b) = 6k   (a + b) = 6 ×   = 8
c = 14 − 8 = 6
సమాధానం: 1

3. a : b = c : d = e : f = 1 : 2 అయితే (3a + 5c + 7e) : (3b + 5d + 7f) విలువ ఎంత?
    1) 1 : 2     2) 1 : 4     3) 2 : 1     4) 8 : 7
సాధన: a = c = e = 1, b = d = f = 2
(3a + 5c + 7e) : (3b + 5d + 7f)
3(1) + 5(1) + 7(1) : 3(2) + 5(2) + 7(2)
(3 + 5 + 7) : 2(3 + 5 + 7)
1 : 2
సమాధానం: 1
 

4. ఒక వ్యక్తి వద్ద ఉన్న పెన్నులను A, B, C, D లకు  :   :   :  

 నిష్పత్తిలో పంచితే అతడి వద్ద కనిష్ఠంగా ఎన్ని పెన్నులు ఉంటాయి?
    1) 60     2) 114     3) 57     4) 54
సాధన:  :   :   :   హారంలో ఉన్న 3, 4, 5, 6 లకు క.సా.గు. చేస్తే

క.సా.గు. = 60

ఇప్పుడు   × 60 :  

 × 60 :  × 60 :   × 60
20 : 15 : 12 : 10
 అతడి వద్ద కనిష్ఠంగా ఉండాల్సిన పెన్నుల సంఖ్య: 20 + 15 + 12 + 10 = 57
సమాధానం: 3
 

5. ఒక సంస్థ యొక్క విద్యుత్‌ కొంత భాగం స్థిరంగా మిగిలింది. ఇది ఉపయోగించిన యూనిట్లపై ఆధారపడి మారుతుంది. ఒక నెలలో 500 యూనిట్లకు రూ.2000, మరో నెలలో 650 యూనిట్లకు రూ.2450 బిల్లు వచ్చింది. అయితే ఇంకో నెలలో 725 యూనిట్లు వాడితే ఎంత బిల్లు వస్తుంది?
    1) రూ.2750     2) రూ.2500     3) రూ.2900     4) రూ.2675
సాధన: స్థిరబిల్లు x వాడిన యూనిట్‌ ధర y అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం 

 ఒక యూనిట్‌ ధర = రూ.3
500 × 3 + x = 2000
x = 2000 − 1500
x = రూ.500 స్థిర బిల్లు
ఇప్పుడు బిల్లు 725 × 3 + 500
                      2175 + 500 = రూ.2675
సమాధానం: 4
 

6. 21, 38, 55, 106 ల నుంచి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేస్తే అవి అనుపాతంలో ఉంటాయి?
    1) 2     2) 4     3) 6     4) 8
సాధన: తీసివేయాల్సిన సంఖ్య x అనుకుందాం
అప్పుడు అనుపాతం అంటే అంత్యమాల లబ్ధం = మధ్యమాల లబ్ధం
(21 − x)(106 − x) = (38 − x)(55 − x)
2226 − 127x + x = 2090 − 93x + x
2226 − 2090 = 127x − 93x
34x = 136
x =   = 4

సంక్షిప్త పద్ధతి: 

సమాధానం: 2
 

7. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 30. వాటి మధ్య భేదం 12. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
    1) 7 : 3     2) 7 : 1     3) 3 : 7     4) 1 : 7
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం

x = 
  x = 21
    y = 9

సంక్షిప్త పద్ధతి: 30 + 12 = 30 − 12
                      42 : 18
                      7 : 3
సమాధానం: 1
 

8. రెండు సంఖ్యల మొత్తం, వాటి భేదాల నిష్పత్తి 7 : 1 అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
    1) 4 : 3     2) 4 : 1     3) 3 : 4     4) 1 : 4
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y
దత్తాంశం ప్రకారం

x + y = 7x − 7y
y + 7y = 7x − x
6x = 8y
  =   = 4 : 3

సంక్షిప్త పద్ధతి:
7 + 1 : 7 - 1
      8 : 6
      4 : 3
సమాధానం: 1
 

9.  3 : 5 నిష్పత్తికి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపితే వాటి మధ్య నిష్పత్తి 5 : 6 అవుతుంది?
    1) 6     2) 7     3) 12     4) 13
సాధన: కలపాల్సిన సంఖ్య x అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం   (అడ్డగుణకారం చేయగా)
18 + 6x = 25 + 5x
6x − 5x = 25 + 5x
6x − 5x = 25 − 18
 

 x = 7
సమాధానం: 2

10. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 3 : 4, ప్రతి సంఖ్యకు 6 కలిపితే వాటి నిష్పత్తి 4 : 5 అవుతుంది. అయితే వాటి మధ్య భేదం ఎంత?
    1) 1     2) 3     3) 6     4) 8
సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం  (అడ్డగుణకారం చేయగా)
16x + 24 = 15x + 30
16x − 15x = 30 − 24
x = 6
3x, 4x ల మధ్య భేదం x = 6 అవుతుంది.
సమాధానం: