సమఘనం (Cube): సమఘనం భుజం ‘a’ యూనిట్లు అయితే,
* భూ పరిధి (భూచుట్టుకొలత) = 4a యూ.
* వికర్ణం (diagonal) = √3a యూ.
* భూ వైశాల్యం = a2 చ.యూ.
* పక్కతల వైశాల్యం (LSA) = 4a2 చ.యూ.
* సంపూర్ణతల వైశాల్యం (TSA) = 6a2 చ.యూ.
* ఘనపరిమాణం (V) = a3 ఘ.యూ.
* రెండు సమఘనాల భుజాలు వరుసగా a1, a2 యూనిట్లు అయితే, వాటి
i) పక్కతల వైశాల్యం నిష్పత్తి = a12 : a22
ii) సంపూర్ణతల వైశాల్యం నిష్పత్తి = a12 : a22
iii) ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = a13 : a23
* ఒక ఘనం భుజాన్ని x% పెంచితే, దాని ఘనపరిమాణంలో పెరుగుదల శాతం
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. ఒక సమఘనం భుజం 15 సెం.మీ. దాని నుంచి 5 సెం.మీ. భుజంతో ఎన్ని సమఘనాలను కత్తిరించవచ్చు?
1) 25 2) 27 3) 125 4) 64
సాధన: 15 సెం.మీ. భుజం ఉన్న సమఘన ఘనపరిమాణం = (15)3 ఘ.సెం.మీ.
5 సెం.మీ. భుజం ఉన్న సమఘన ఘనపరిమాణం = (15)3 ఘ.సెం.మీ.
2. ఒక దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం, సమఘనం ఘనపరిమాణానికి రెట్టింపు ఉంది. ఆ దీర్ఘఘనం పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 9 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 6 సెం.మీ. అయితే ఆ సమఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 156 2) 176 3) 196 4) 216
సాధన: దీర్ఘఘనం పొడవు (l) = 9 సెం.మీ.
వెడల్పు (b) = 8 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 6 సెం.మీ.
సమఘనం భుజం = a అనుకోండి.
దత్తాంశం ప్రకారం,
దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం = 2 x సమఘనం ఘనపరిమాణం
3. ఒక సమఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం S, ఘనపరిమాణం జు అయితే కిందివాటిలో ఏది సత్యం?
1) V3 = 216 S3 2) S3 = 216 V2 3) S3 = 6 V2 4) S2 = 36 V3
సాధన: సమఘనం భుజం = a అనుకోండి
సమఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం (S) = 6 a2
4. ఒక దీర్ఘఘనం మూడు పక్కతలాల వైశాల్యాలు వరుసగా p, q, r చ.యూ. అయితే ఆ దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం ఎంత? (ఘ.యూ.లలో)
5. దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న చెక్క పెట్టె బాహ్య కొలతలు వరుసగా 20 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 10 సెం.మీ. ఆ పెట్టె మందం 1 సెం.మీ. అయితే ఆ పెట్టె తయారీకి కావాల్సిన చెక్క ఘనపరిమాణం.... (ఘ.సెం.మీ.లలో)
1) 860 2) 920 3) 960 4) 980
సాధన: దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న చెక్కపెట్టె బాహ్య కొలతలు, పొడవు = 20 సెం.మీ., వెడల్పు = 12 సెం.మీ., ఎత్తు = 10 సెం.మీ.
చెక్కపెట్టె మందం = 1 సెం.మీ.
చెక్కపెట్టె లోపలి కొలతలు
పొడవు = 20 - 2 x 1 = 18 సెం.మీ.
వెడల్పు = 12 - 2 x 1 = 10 సెం.మీ.
ఎత్తు = 10 - 2 x 1 = 8 సెం.మీ.
చెక్కపెట్టె తయారీకి కావాల్సిన చెక్క ఘనపరిమాణం = బాహ్య కొలతలతో ఏర్పడే చెక్కపెట్టె ఘనపరిమాణం - లోపలి కొలతలతో ఏర్పడే చెక్కపెట్టె ఘనపరిమాణం
= 20 × 12 × 10 − 18 × 10 × 8 = 2400 − 1440 = 960 ఘ.సెం.మీ.
సమాధానం: 3
6. ఒక నీటి తొట్టె దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉంది. దాని పొడవు, వెడల్పు, లోతులు వరుసగా 3 మీ., 1.4 మీ., 80 సెం.మీ. నిండుగా ఉన్న ఆ తొట్టె నుంచి 100 సెం.మీ3/సె. వేగంతో నీరు బయటకు ప్రవహిస్తుంది. అయితే 5 నిమిషాల తర్వాత తొట్టెలో మిగిలిన నీరు ఎంత ఎత్తు ఉంటుంది? (సెం.మీ.లలో)
9. ఒక దీర్ఘఘనాకారపు మైనపు దిమ్మె కొలతలు 24 సెం.మీ. x 9 సెం.మీ. x 8 సెం.మీ. దాన్ని కరిగించి 3 సెం.మీ. భుజంగా ఉన్న సమఘనాలుగా రూపొందిస్తే వచ్చే సమఘనాకారపు మైనపు దిమ్మెల సంఖ్య.....
1) 48 2) 56 3) 64 4) 72
సాధన: దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న మైనపు దిమ్మె కొలతలు వరుసగా, పొడవు (l) = 24 సెం.మీ.,
వెడల్పు (b) = 9 సెం.మీ., ఎత్తు (h) = 8 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న మైనపు దిమ్మె ఘనపరిమాణం
= lbh
= 24 × 9 × 8 సెం.మీ3.
సమఘనాకారపు మైనపుదిమ్మె భుజం (a) = 3 సెం.మీ.
అభ్యాస ప్రశ్నలు
1. సమఘనంలోని ఒక ముఖం చుట్టుకొలత 20 సెం.మీ. అయితే దాని ఘనపరిమాణం ఎంత? (సెం.మీ3.లలో)
1) 800 2) 625 3) 196 4) 125
2. మూడు సమఘనాకారపు మైనపు దిమ్మెల భుజాల కొలతలు వరుసగా 1 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. దాన్ని కరిగించి ఒకే సమఘనాకారపు మైనపు దిమ్మెగా తయారు చేశారు. అయితే ఆ సమఘనం భుజం కొలత ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 9 2) 10 3) 12 4) 15
3. ఒక సమఘనం భుజాన్ని 10% పెంచితే, దాని ఘనపరిమాణంలో పెరుగుదల శాతం ఎంత?
1) 30% 2) 33.1% 3) 21% 4) 27%
4. రెండు సమఘనాల భుజాల నిష్పత్తి 2 : 3. అయితే వాటి సంపూర్ణతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి......
1) 2 : 3 2) 3 : 2 3) 4 : 9 4) 9 : 4
5. రెండు సమఘనాల భుజాల నిష్పత్తి 5 : 4. అయితే వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి.....
1) 5 : 4 2) 25 : 16 3) 125 : 64 4) 64 : 125
6. ఒక దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం 8788 సెం.మీ3, దాని పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు 4 : 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అయితే ఆ దీర్ఘఘనం పొడవు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 48 2) 52 3) 56 4) 60
7. ఒక దీర్ఘఘనం పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 38 సెం.మీ, 29 సెం.మీ, 25 సెం.మీ. దీర్ఘఘనం పొడవును 27.4% పెంచితే దాని ఘనపరిమాణంలో పెరుగుదల శాతం ఎంత?
1) 27.4% 2) 54.8% 3) 13.7% 4) 127.4%
సమాధానాలు: 1-4; 2-1; 3-2; 4-3; 5-3; 6-2; 7-1.
