శంకువు  (Cone)

మాదిరి సమస్యలు
1. ఒక క్రమవృత్తాకార శంకువు భూ వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ., ఏటవాలు ఎత్తు 25 సెం.మీ, అయితే ఆ శంకువు వక్రతల వైశాల్యం  (curved surface area) ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 450          2) 550          3) 650         4) 675 

సాధన: క్రమవృత్తాకార శంకువు భూవ్యాసార్ధం  (r) = 7 సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు (l) = 25  సెం.మీ.
వక్రతల వైశాల్యం = πrl 
= 22/7  × 7 × 25 = 22 × 25 
= 550 సెం.మీ.² = 550 చ.సెం.మీ.
సమాధానం: 2

2. ఒక శంకువు భూవ్యాసార్ధం, నిట్టనిలువు ఎత్తు (Vertical height) వరుసగా 5 సెం.మీ, 12 సెం.మీ, అయితే ఆ శంకువు వక్రతల వైశాల్యమెంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 204.28           2) 104.28            3) 208.24            4) 108.24 
సాధన: శంకువు భూ వ్యాసార్ధం  (r) = 5 సెం.మీ.
ఎత్తు  (h) = 12 సెం.మీ. 

సమాధానం: 1

3. 16 సెం.మీ. ఎత్తు ఉన్న శంకువు భూపరిధి 24π సెం.మీ. అయితే దాని వక్రతల వైశాల్యమెంత? 
1) 854.82 చ.సెం.మీ.       2) 764.82 చ.సెం.మీ.     
3) 784.28 చ.సెం.మీ.       4) 754.28 చ.సెం.మీ.

సమాధానం: 4

4. ఒక శంకువు ఉపరితల వైశాల్యం 4070 సెం.మీ.², వ్యాసం 70 సెం.మీ. అయితే ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 38          2) 39          3) 37          4) 36 

సమాధానం: 3

5. ఒక శంకువు వ్యాసార్ధం, ఏటవాలు ఎత్తుల మధ్య నిష్పత్తి 4 : 7. ఆ శంకువు వక్రతల వైశాల్యం 792 చ.మీ. అయితే ఆ శంకువు భూవ్యాసార్ధమెంత? (మీటర్లలో)
1) 12           2) 13             3) 14               4) 16 

సాధన: శంకువు వ్యాసార్ధం, ఏటవాలు ఎత్తుల మధ్య నిష్పత్తి   = 4 : 7 

x = √9 = 3 ∴ x = 3 
శంకువు వ్యాసార్ధం (r) = 4x
= 4 × 3 = 12 మీటర్లు
సమాధానం: 1

6. 5 మీ. ఎత్తు, 12 మీ. భూ వ్యాసార్ధంతో ఒక శంకువు ఆకారంలో గుడారాన్ని ఏర్పాటు చేసేందుకు కావాల్సిన కాన్వాస్‌ వస్త్రం (Canvas cloth) వైశాల్యమెంత? 

సమాధానం: 2

7. రెండు శంకువుల వ్యాసాలు సమానం. వాటి ఏటవాలు ఎత్తుల నిష్పత్తి 5 : 4 అయితే వాటి వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత? 
1) 4 : 5           2) 5 : 4          3) 15 : 14           4) 14 : 15 

సాధన: మొదటి శంకువు వ్యాసం (d₁) = రెండో శంకువు వ్యాసం (d₂) 
d₁ = d₂ 
 2r₁ = 2r₂    ⇒ r₁ = r₂ 

శంకువుల ఏటవాలు ఎత్తుల నిష్పత్తి = 5 : 4
⇒ l₁ : l₂ = 5 : 4 
శంకువుల వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = πr₁l₁ : πr₂l₂
= r₁l₁ : r₂l₂  = l₁ : l₂  ( r₁ = r₂) = 5 : 4

సమాధానం: 2 

8. రెండు శంకువుల్లో మొదటిదాని వక్రతల వైశాల్యం, రెండోదాని వక్రతల వైశాల్యానికి రెట్టింపు ఉంది. రెండో  శంకువు ఏటవాలు ఎత్తు, మొదటి శంకువు ఏటవాలు ఎత్తుకు రెట్టింపు ఉంది. అయితే వాటి వ్యాసార్ధాల  నిష్పత్తి ఎంత?
1) 2 : 1             2) 1 : 2              3) 4 : 1               4) 1 : 4 
సాధన: మొదటి శంకువు వ్యాసార్ధం, ఏటవాలు ఎత్తులు వరుసగా  r₁, l₁ 
రెండో శంకువు వ్యాసార్ధం, ఏటవాలు ఎత్తులు వరుసగా  r₂, l₂ 

సమాధానం: 3

9. శంకువు ఆకారంలో ఉన్న ఒక గుడారం భూవ్యాసార్ధం 16 మీ., దాని నిట్టనిలువు ఎత్తు 12 మీ. ఈ గుడారాన్ని  ఏర్పాటు చేయడానికి 1.1 మీ. వెడల్పైన వస్త్రాన్ని ఉపయోగించారు. గుడారం తయారీలో వాడిన వస్త్రం ఖరీదు 1 మీటరుకు 14 రూపాయలు. అయితే మొత్తం ఖర్చు ఎంత? (రూపాయల్లో)
1) 11,800           2) 12,400           3) 12,800            4) 13,400 

= 6400 × 2 = రూ.12800      
సమాధానం: 3

10. ఒక జోకర్‌ టోపీ శంకువు ఆకారంలో ఉంది. ఆ టోపీ భూవ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. ఎత్తు 24 సెం.మీ. అలాంటి 10 టోపీలను తయారు చేయడానికి కావాల్సిన కాగితం వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 4800          2) 5500          3) 5800            4) 6500 

10 టోపీలు తయారు చేసేందుకు కావాల్సిన కాగితం వైశాల్యం  = 10 × 550 = 5500 సెం.మీ.²  = 5500 చ.సెం.మీ.     
సమాధానం: 2

11. ఒక శంకువు భూవ్యాసం, ఎత్తులు వరుసగా  14 సెం.మీ., 24 సెం.మీ. అయితే దాని వక్రతల వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)

1) 450    2) 550    3) 650    4) 750

సమాధానం: 2

12. శంకువు ఆకారంలో ఉన్న ఒక పర్వతం ఏటవాలు ఎత్తు 2.5 కి.మీ., భూవైశాల్యం 1.54 కి.మీ.2 అయితే ఆ పర్వతం ఎత్తు ఎంత? (కిలోమీటర్లలో)

1) 2.2    2) 2.3    3) 2.4    4) 2.5

సమాధానం: 3

13. 7 సెం.మీ. భుజంగా ఉన్న ఒక ఘనం నుంచి తయారు చేయగల గరిష్ఠ పరిమాణం ఉన్న క్రమవృత్తాకార శంకువు ఘనపరిమాణం ఎంత? (సెం.మీ.3 లలో)

1) 89.83         2) 79.83          3) 85.83         4) 76.83

సమాధానం: 1

14. ఒక ధాన్యపు రాశి శంకువు ఆకారంలో ఉంది. దాని వ్యాసం 28 మీ., ఎత్తు 9 మీ. అయితే దాని ఘనపరిమాణం ఎంత? (మీ.3లలో)

1) 1548   2) 1648   3) 1748   4) 1848

సమాధానం: 4

15. ఒకే ఘనపరిమాణం ఉన్న రెండు శంకువుల వ్యాసార్ధాలు 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అయితే వాటి ఎత్తుల నిష్పత్తి ఎంత?

1) 2 : 1      2) 4 : 1      3) 1 : 8      4) 1 : 4

సమాధానం: 4

16. 9 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక గోళాకార చెక్క నుంచి 18 సెం.మీ. భూవ్యాసం, 9 సెం.మీ. ఎత్తు ఉన్న శంకువు ఆకారంలో కత్తిరించారు. అయితే వృథా అయ్యే చెక్క ఘనపరిమాణ శాతం ఎంత?

1) 25%   2) 50%   3) 75%   4) 40%

సమాధానం: 3

17. ఒక క్రమ వృత్తాకార శంకువు ఘనపరిమాణం దాని వక్రతల వైశాల్యానికి సమానం అయితే  (సంఖ్యాత్మకంగా)  విలువ ఎంత? 

(r = శంకువు భూవ్యాసార్ధం,  h = శంకువు ఎత్తు)

సమాధానం: 2
18. ఒక శంకువు భూవ్యాసార్ధం 6 సెం.మీ., దాని ఏటవాలు ఎత్తు 10 సెం.మీ. అయితే ఆ శంకువు  ఘనపరిమాణం ఎంత? (సెం.మీ.3లలో)

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. భూవ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h, ఏటవాలు ఎత్తు l గా ఉన్న ఒక క్రమవృత్తాకార శంకువు వక్రతల వైశాల్యం ఎంత? (చ.యూ.లలో)

2. ఒక క్రమవృత్తాకార శంకువు భూవ్యాసార్ధం 20 సెం.మీ., ఎత్తు 21 సెం.మీ. అయితే ఆ శంకువు ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)

1) 26         2) 28        3) 27          4) 29

3. ఒక జోకర్‌ టోపీ శంకువు ఆకారంలో ఉంది. దాని భూవ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ., ఎత్తు 24 సెం.మీ. అలాంటి  25 టోపీలను తయారుచేయడానికి కావాల్సిన పేపర్‌ షీట్‌ వైశాల్యం ఎంత? (సెం.మీ.2లలో)

1) 13750         2) 13500           3) 13250         4) 13000

4. ఒక క్రమవృత్తాకార శంకువు భూవ్యాసం 12  సెం.మీ., ఎత్తు 8 సెం.మీ. అయితే ఆ శంకువు ఘనపరిమాణం ఎంత? (సెం.మీ.3లలో)

1) 903.44         2) 602.44            3) 301.44         4) 155.72

5. ఒక క్రమవృత్తాకార శంకువు భూవ్యాసార్ధం 11.3 సెం.మీ., దాని వక్రతల వైశాల్యం 355 సెం.మీ.2 అయితే ఆ శంకువు ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత?    

1) 8.3 సెం.మీ.     2) 9 సెం.మీ.           3) 10 సెం.మీ.     4) 10.3 సెం.మీ.

సమాధానాలు: 1 - 2   2 - 4   3 - 1   4 - 3   5 - 3

రచయిత

సీహెచ్‌. రాధాకృష్ణ

విషయ నిపుణులు