మోడల్‌ - I : A (x1, y1) B (x2, y2) AB రేఖా ఖండాన్ని బిందువు P(x, y) అంతరంగా m1: m2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందని అనుకొంటే
ఉదాహరణ: బిందువులు A (-6, 10), B (3, -8) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని బిందువు (-4, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది?
1) 2 : 7 2) 7 : 2 3) 3 : 5 4) 5 : 3
సాధన: తితీ రేఖా ఖండాన్ని బిందువు (-4, 6) అంతరంగా m1 : m2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందని అనుకొంటే 
మోడల్‌ - II
A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3) శీర్షాలుగా ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం
= 1/2 |x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)|
ఉదాహరణ: బిందువులు (1, - 1) (-4, 6) (-3, - 5) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం కనుక్కోండి?
1) 14 చ.మీ. 2) 24 చ.మీ. 3) 18 చ.మీ. 4) 28 చ.మీ.
సాధన: ∆ABC త్రిభుజ శీర్షాలు A(1, -1) B (-4, 6) C (-3, -5) లు అనుకుంటే దాని వైశాల్యం కనుక్కోడానికి సూత్రం.
= 1/2 |x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)|
= 1/2 |1 (6 - (-5) -4 (-5 - (-1) -3 ( -1 - 6)|
= 1/2 |1 (6 + 5) - 4 (-5 + 1) - 3(-7)|
= 1/2 |1 (11) -4 (-4)-3 (-7)|
= 1/2 |11 + 16 + 21|
= 1/2 |48| ⇒ 48/2 ⇒ 24 చ.మీ.
సంక్షిప్త పద్ధతి:
మోడల్‌ - III
A(x1, y1), B(x2, y2) C(x3, y3) D(x4, y4) లు ఒక చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అయితే దాని వైశాల్యం కనుక్కోడానికి సూత్రం.
= 1/2 |x1 (y2 - y4) + y2 (y3 - y1) + x3 (y4 - y2) + x4 (y1 - y3)|
ఉదాహరణ: బిందువులు A(-5, 7), B(- 4, - 5) C(-1,- 6), D(4, 5) లు ఒక చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అయితే వైశాల్యం కనుక్కోండి?
1) 52 చ.మీ. 2) 62 చ.మీ. 3) 72 చ.మీ. 4) 82 చ.మీ.
సాధన: చతుర్భుజ భుజాలు A(-5, 7) B(-4, -5) C(-1, -6), D(4, 5) వైశాల్యం కనుక్కోడానికి సూత్రం
= 1/2 |x1 (y2 - y4) + y2 (y3 - y1) + x3 (y4 - y2) + x4 (y1 - y3)|
= 1/2 | - 5 (-5 -5) - 4 (−6 -7) - 1 (5 - (-5)) + 4 (7- (- 6))|
= 1/2 | -5 (-10) - 4(-13) - 1 (5 + 5) + 4 (7 + 6)|
= 1/2 | 50 + 52 - 10 + 52| 
మోడల్‌ - IV
A(x1, y1) బిందువు గుండా వెళుతూ m వాలు కలిగిన సరళరేఖ సమీకరణం (y - y1) = m (x - x1)
ఉదాహరణ: (-2, 3) బిందువు గుండాపోతూ 3/4 వాలు కలిగిన సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి?
1) 3x - 4y + 18 = 0 2) 4x - 3y + 18 3) 2x + 6y + 14 4) 4x + 2y + 9 = 0
సాధన: (-2, 3) బిందువు గుండాపోతూ ౌ వాలు కలిగిన సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోడానికి సూత్రం
(y - y1) = m (x - x1)
(y - 3) = 3/4 ( x - (-2))
4(y - 3) = 3 (x + 2) ⇒ 4y - 12 = 3x + 6
3x - 4y + 6 + 12 = 0
3x - 4y + 18 = 0
సంక్షిప్త పద్ధతి:
3/4, (-2, 3), 3x - 4y = 3(-2) - 4(3)
3x - 4y = -6 -12 ⇒ 3x - 4y + 18 = 0
లవం x, హారం y
మోడల్‌ - V
A(x1, y1) B(x2, y2) బిందువుల గుండా వెళ్లే సరళరేఖ సమీకరణం (x - x1) (y2 - y1) = (y - y1) (x2 - x1)
ఉదాహరణ: (2, -3) (4, -7) బిందువుల గుండా వెళ్లే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి?
1) 2x + y - 1= 0 2) x + 2y - 1 = 0 3) 2x - y + 1 = 0 4) x - 2y + 1 = 0
సాధన: (2, -3) (4, - 7) బిందువుల గుండావెళ్లే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కునేందుకు సూత్రం
(x - x1) (y2 - y1) = (y - y1) (x2 - x1)
(x - 2) (-7 - (-3)) = (y - (-3)) (4-2)
(x - 2) (-7 + 3) = (y + 3) (2)
(x - 2) (-4) = (y + 3) (2)
4x + 8 = 2y + 6
4x + 2y + 6 - 8 = 0
4x + 2y - 2 = 0 ⇒ 2x + y -1 = 0
సంక్షిప్త పద్ధతి: 
4x + 2y = 4(2) + 2 (-3)
4x + 2y = 8 - 6 ⇒ 4x + 2y - 2 = 0
2x + y - 1 = 0
మోడల్‌ - VI
A(x1, y1) B (x2, y2) బిందువుల గుండావెళుతూ (x, y) బిందువులకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం
ఉదాహరణ: A(2, -5) B(4, -6) బిందువు గుండావెళుతూ (-1, 3) బిందువుకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి?
1) x - 2y + 5 = 0 2) 2x - y + 5 = 0 3) x + 2y + 5 4) 2x + y - 5 = 0
సాధన: A(x1, y1) B (x2, y2) బిందువు గుండా వెళ్లే సరళరేఖ సమీకరణానికి సూత్రం
(x - x1) (y2 - y1) = (y - y1) (x2 - x1)
(x - 2) (-6 - (-5)) = (y - (-5) (4 - 2)
(x - 2) (-6 + 5) = (y + 5) (2)
(x - 2) (-1) = (y + 5) (2)
-x + 2 = 2y + 10 ⇒ x + 2y + 10 - 2 = 0
x + 2y + 8 = 0 దీనికి లంబంగా ఉండే 2x - y + k = 0 సమీకరణం (-1, 3) గుండావెళుతుంది
2(-1) - 3 + k = 0 ⇒ k = 5
అప్పుడు లంబంగా ఉండే సమీకరణం 2x - y + 5 = 0
సంక్షిప్త పద్ధతి: 
⇒ 2x - y = 2(-1) - 3
2x - y + 5 = 0
మోడల్‌ - VII
ఉదాహరణ: 2x + 3y + 7 = 0 సమీకరణానికి సమాంతరంగా ఉంటూ (5, 4) బిందువు గుండావెళ్లే సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి?
1) 2x - 3y - 22 = 0 2) 3x - 2y - 22 = 0
3) 2x + 3y - 22 = 0 4) 3x + 2y - 22 = 0
సాధన: 2x + 3y + 7 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే సమీకరణం 2x + 3y + k = 0 (5, 4) బిందువు గుండావెళుతుంది.
2 (5) +3 (4) + k = 0
10 + 12 + k = 0 ⇒ k = - 22
కావలసిన సమీకరణం 2x + 3y - 22 = 0
ఉదాహరణ: A(2, -5) B(4, -6) బిందువుల గుండావెళ్లే (-1, 3) బిందువుకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి?
1) x + 2y - 5 = 0 2) 2x + y - 5 = 0
3) 3x + 2y + 1 = 0 4) x - 2y + 5 = 0
సాధన: A(x1, y1) B(x2, y2) బిందువుల గుండావెళ్లే సరళరేఖ సమీకరణం
(x - x1) (y2 - y1) = (y - y1) (x2 - x1)
(x - 2) (-6 - (-5)) = (y - (-5)) (4 - 2)
(x - 2) (-6 - (-5) = (y + 5) (2)
(x - 2) (-1) = (y + 5) 2
-x + 2 = 2y + 10
x + 2y + 10 - 2 > 0
x + 2y + 8 = 0 దీనికి సమాంతరంగా ఉండి (-1, 3) బిందువు గుండావెళుతుంది.
x + 2y + k > 0
-1 + 2(3) + k > 0
⇒ k = - 5
x + 2y - 5 = 0
