• facebook
  • whatsapp
  • telegram

బీజగణితం 

* బీజగణితంలో రాశులను అక్షరాలతో సూచిస్తారు. వీటినే బీజాలు అంటారు.

* బీజాలతో గణన చేసే విధానమే బీజగణితం.

* బీజగణిత పితామహుడు: డయాఫాంటస్.

* సాధారణీకరణం చేసిన అంకగణితమే బీజగణితం.

* Algebra అనే ఆంగ్ల పదం Al-Jabar అనే అరబిక్ పదం నుంచి వచ్చింది.

* భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆర్యభట్ట, బ్రహ్మగుప్త, భాస్కరాచార్య మొదలైనవారు బీజగణితంలో అనేక సూత్రాలను, సమీకరణాలను కనుక్కున్నారు.

స్థిరరాశి: స్థిర విలువ ఉండే బీజాన్ని స్థిరరాశి అంటారు.

ఉదా: 5, 6, -10 మొదలైనవి.

చరరాశి: నిర్ణీత సమితి నుంచి ఏ విలువనైనా ఎన్నుకునే అవకాశం ఉండే బీజాన్ని చరరాశి అంటారు.

ఉదా: a, x, b, y మొదలైనవి.

పదం: కేవలం స్థిరరాశి/ చరరాశి లేదా స్థిర, చర రాశుల లబ్ధాన్ని పదం అంటారు.

ఉదా: 6, 5x, 7a, -2y, 4x2yz.

సంఖ్యా సమాసం: ఒకే పదం లేదా సంకలన, వ్యవకలన పరిక్రియలతో కలిసి ఉన్న పదాన్ని సమాసం అంటారు. అన్ని పదాలు సంఖ్యలుగా ఉండే సమాసాన్ని సంఖ్యా సమాసం అంటారు.

ఉదా: 5 + 3, 8 × 2, 6 - 3

సంఖ్యా వాక్యం: రెండు సంఖ్యా సమాసాలను సమానం (=), సమానం కాదు (), ఎక్కువ (>), ఎక్కువ కాదు (), తక్కువ (<) , తక్కువ కాదు () అనే గుర్తులతో వేరుచేసిన వాక్యమే సంఖ్యా వాక్యం.

ఉదా: 5 + 3 = 2

         6 - 4 2

         5 × 4 > 5

         6 × 3  6

         7 × 4 < 6

         9 × 10  5

గమనిక: సంఖ్యా వాక్యం సత్యమా, అసత్యమా అని చూడనవసరం లేదు.

గణిత ప్రవచనం: సత్యమని గాని అసత్యమని గాని కచ్చితంగా తెలపగలిగే గణిత వాక్యాన్ని గణిత ప్రవచనం అంటారు.

ఉదా: 4 + 2 = 6 (T)

         6 - 1 5 (F)

అనిశ్చిత వాక్యం: సత్యమని గాని అసత్యమని గాని కచ్చితంగా తెలపలేని వాక్యాన్ని అనిశ్చిత వాక్యం అంటారు.

ఉదా: 1) ఆమె అందంగా ఉంది.

         2) x + 5 = 6

సమీకరణం: సమానత్వపు గుర్తు ఉండే అనిశ్చిత వాక్యాన్ని సమీకరణం అంటారు.

ఉదా: x + 3 = 9

         x + 2x + 1 = 0

రేఖీయ సమీకరణం: ప్రథమ పరిమాణ చరరాశులు ఉండే సమీకరణాలను రేఖీయ సమీకరణాలు అంటారు.

ఉదా: 2x + 3 = 0, 2x + 3y = 5, 5x + 6y + 2z = 7

* x + y = z రేఖీయ సమీకరణం కాదు.

సామాన్య సమీకరణాలు లేదా ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు:

* a, b స్థిరరాశులు; a 0 అవుతూ ax + b = 0 లేదా ax = b రూపంలో ఉండే సమీకరణాన్ని ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు.

* కేవలం ఒకే చరరాశి ఉండే రేఖీయ సమీకరణాలను ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు (లేదా) సామాన్య సమీకరణాలు అంటారు.

* '+' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '-' అవుతుంది.

* '-' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '+' అవుతుంది.

* '×' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '÷' అవుతుంది.

* '÷' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '×' అవుతుంది.

గమనిక: పక్షాంతరం అంటే సమానత్వపు గుర్తుకు రెండో వైపు వెళ్లడం.

మార్పిడి విలువలు: ఒక సమీకరణంలో చరరాశికి బదులుగా ప్రతిక్షేపించే విలువలను మార్పిడి విలువలు అంటారు.

సమీకరణ సాధన లేదా మూలం: ఒక సమీకరణంలో చరరాశికి బదులు ఏ విలువను ప్రతిక్షేపిస్తే ఆ సమీకరణం సత్యమవుతుందో ఆ విలువను సాధన లేదా మూలం అంటారు.

ఉదా: x + 9 = 12 సాధన x = 3.

బీజీయ సమాసం: కనీసం ఒక బీజీయ పదం ఉండే సమాసాన్ని బీజీయ సమాసం అంటారు.

ఉదా: 3x, x + 5, -6x

ఏకపది: కేవలం ఒకే పదం ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని ఏకపది అంటారు.

ఉదా: 3x, 5x2yz, -  a2b

ద్విపది: రెండు పదాలు ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని ద్విపది అంటారు.

ఉదా: 5a - 6, b - 1, xyz + 

త్రిపది: మూడు పదాలు ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని త్రిపది అంటారు.

ఉదా: x + y + z, x2 + yz + x

బహుళపది: మూడు కంటే ఎక్కువ పదాలు ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని బహుళపది అంటారు.

ఉదా: x3 + 6x-5 +   + 7

* ద్విపదులు, త్రిపదులు కూడా బహుళపదులే.

బహుపది: రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు ఘాతాంకాలుగా ఉండే బహుళపదిని బహుపది అంటారు.

ఉదా: x4 + 6x3 + 5x2 + 4x + 3

సజాతి పదాలు: ఒకే బీజీయ గుణకాలు ఉండే పదాలను సజాతి పదాలు అంటారు.

ఉదా: 2x2y, 5x2y.

విజాతి పదాలు: విభిన్న బీజీయ గుణకాలు ఉండే పదాలను విజాతి పదాలు అంటారు.

ఉదా: 5x2y, -6x2y

ఏకపది పరిమాణం: ఒక బీజీయ సమాసం గరిష్ఠ ఘాతాంకాన్ని దాని పరిమాణం అంటారు.

(i) ఏకపది స్థిరరాశి అయితే దాని పరిమాణం 0

ఉదా: 6 యొక్క పరిమాణం = 0

(ii) ఏకపది రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ చరరాశుల లబ్ధంగా ఉంటే వాటి ఘాతాంకాల సంకలనమే దాని పరిమాణం.

ఉదా: 6x2 y3 z4 పరిమాణం = 2 + 3 + 4 = 9

బీజీయ సమాసాల సంకలనం

సజాతి పదాలను కలపడం ద్వారా సమాసాల సంకలనం సాధ్యమవుతుంది.

ఉదా: A = 5x2 + 9x + 6, B = 3x + 4x2 - 8 అయితే A + B

A + B = (5x2 + 3x) + (9x + 4x) + (6 - 8) = 8x2 + 13x - 2

* 2x అనే బీజీయ సమాసం సంకలన విలోమం -2x.

బీజీయ సమాసాల వ్యవకలనం

A, Bలు రెండు బీజీయ సమాసాలైతే

A - B = A + (-B)

అంటే A, B యొక్క సంకలన విలోమాల సంకలనమే A, B ల వ్యవకలనం.

A = 3x + 6y - 3z, B = 2x - 3y + 5z

A - B = (3x + 6y - 3z) + (-2x + 3y - 5z)

          = 3x - 2x + 6y + 3y - 3z - 5z

          = x + 9y - 8z

గమనిక: * ఒక పదం ముందు ఏ గుర్తూ లేకపోతే అది ధనాత్మక పదం.

           * బ్రాకెట్ ముందు - గుర్తు ఉంటే పదాల గుర్తులు మార్చాలి.

ఉదా: (2a + 6a2 - 7a3) = 2a - 6a2 + 7a3

బీజీయ సమాసాల గణకారం

     రెండు బీజీయ సమాసాల లబ్ధానికి మొదటి సమాసంలోని ప్రతి పదంతో రెండో సమాసంలోని ప్రతి పదాన్ని గుణించాలి.

ఉదా: 1) 2(-6x2 + 2x + 3) = -12x2 + 4x + 6

         2) 6a × (-5b) = -30ab

         3) (3x + 4)(6x2 + 4x + 3)

                  = 18x2 + 12x2 + 9x + 24x2 + 16x + 12

                  = 18x2 + 36x2 + 25x + 12

బీజీయ సమాసాల భాగహారం

విభాజ్యాన్ని కారణాంకాలుగా విభజించి బీజీయ సమాసాల భాగహారం చేయవచ్చు.

ఉదా: x2 - 4 ÷ x + 2

* ఒక సమాసంలోని ఏ రెండు పదాలైనా సజాతి పదాలు కానప్పుడు ఆ సమాసం సూక్ష్మరూపంలో ఉంది అంటారు.

ఉదా: 2xy + 3y2z + 4xz

* ఒక సమాసంలోని పదాల పరిమాణం అవరోహణ క్రమంలో ఉంటే ఆ సమాసం ప్రామాణిక రూపంలో ఉంది అంటారు.

ఉదా: 5x4 + 4x3 + 6x2 - 2x + 1

సర్వసమానత్వం (సర్వసమీకరణాలు)

* సర్వసమానత్వం అనేది ఒక సమానత.

* చరరాశులకు బదులుగా ఏ విలువలను ప్రతిక్షేపించినా సత్యమయ్యే సమీకరణమే సర్వసమీకరణం.

* కొన్ని విలువలకు మాత్రమే సత్యమైతే సమీకరణం అంటారు.

* సర్వసమానతను '' (identically equal to) గుర్తుతో సూచిస్తారు.

* అన్ని సమీకరణాలు సర్వ సమీకరణాలు కావు.

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

    (a + b)(a - b) = a2 - b2

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

    (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

    a3 + b3 + c3 - 3abc = (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)(a + b + c)

బీజీయ సమాసాల కారణాంక విభజన

* ఇచ్చిన సమాసాన్ని కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయడాన్ని కారణాంక విభజన అంటారు.

* సూక్ష్మీకరణ సాధ్యం కాని కారణాంకాన్ని అవిభాజ్య కారణాంకం అంటారు.

* a2 + 2ab + b2; a2 - 2ab + b2; a2 - b2, x2 + (a + b)x + ab లు కారణాంక విభజన ద్వారా సర్వసమీకరణాలు అవుతాయి.

* x2 + (a + b)x + ab రూపంలో ఉండే సమాసాన్ని (x + a)(x + b) రూపంలో రాయవచ్చు.

* భాగహారం అనేది గుణకారం యొక్క వ్యుత్ర్కమ ప్రక్రియ. ఈ విధానాన్ని బీజీయ సమాసాలకు కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

గోల్డ్‌బక్ ఊహ

     గోల్డ్‌బక్ తన పరిశీలనల నుంచి 'ప్రతి బేసి సంఖ్య, ప్రధాన సంఖ్య లేదా కొన్ని ప్రధానసంఖ్యల మొత్తంగా లేదా వర్గసంఖ్యకు రెట్టింపు సంఖ్యగా ఉంటుంది' అని కనుక్కున్నాడు.

ఉదా: ఒక బేసి సంఖ్య 21 తీసుకుంటే

          21 = 19 + 2 లేదా 13 + 2(4) లేదా 3 + 2(9)గా చూపవచ్చు.

* ఇదే విధంగా 9000 సంఖ్య వరకు పరిశీలించాడు. వీటిలో కేవలం రెండు సంఖ్యలు

5777 = 53 × 109, 5993 = 13 × 641 లకు మాత్రమే మినహాయింపు ఉంది.

       ఎందుకంటే ఇవి ప్రధానసంఖ్యలు కావు. అలాగే వీటిని ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా లేదా వర్గ సంఖ్యకు రెట్టింపుగా రాయలేం.

ఘాతాంకాలు - ఘాతాలు

a × a × a × ----- 'm' సార్లు = am అని చదువుతారు. ఇక్కడ a   భూమి
                                                                  m   ఘాతాంకం

ఉదా: x6 లో భూమి x, ఘాతాంకం 6, గుణకం 1

        2x5 లో భూమి x, ఘాతాంకం 5, గుణకం 2

         (6x)8 లో భూమి 6x, ఘాతాంకం 8, గుణకం 1

ఘాతాంక న్యాయాలు

1. గుణకార న్యాయం

a ఏదైనా ఒక శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య. 'm', 'n' లు పూర్ణసంఖ్యలైతే

     am × an = am + n

2. ఘాతం యొక్క ఘాత న్యాయం

'a' అనేది ఒక శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య. m, n లు పూర్ణసంఖ్యలైతే

3. లబ్ధం యొక్క ఘాత న్యాయం

a, b లు ఏవైనా రెండు శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్యలు; m ఏదైనా ధనపూర్ణసంఖ్య అయితే

    am × bm = (ab)m

4. ఘాతాంకాల భాగహార న్యాయం

(a) రుణ ఘాతాంకాలు

a ఏదైనా శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య. n అనే ఏదైనా ఒక పూర్ణసంఖ్యకు

(b) శూన్య ఘాతాంకం

a ఏదైనా ఒక శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య అయితే

a = 1

(c) ఒకే భూమి ఉండే ఘాత రూపాల భాగహారం

a ఏదైనా శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య; m, n లు పూర్ణసంఖ్యలైతే

(d) ఒకే ఘాతాంకం ఉండే పదాలను భాగించడం:

a, b లు ఏవైనా రెండు శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్యలు; m ఒక పూర్ణసంఖ్య అయితే

* రుణ ఆధారాలు ఉండే ఘాతరూపాలు

  i) 1 యొక్క ఘాతాంకం ఏదైనా దాని విలువ 1

  ii) (-a)m = -am (m బేసి సంఖ్య)

  iii) (-a)m = am (m సరి సంఖ్య)

* a0 ≠ 1 ( a = 0)

* ఒక సంఖ్యను 1.0, 10.0 మధ్య గల దశాంశ భిన్నంగా రాసి దానికి కావాల్సిన 10 యొక్క ఘాతాలతో లబ్ధం చేయడాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో వ్యక్తపరచడం అంటారు.

ఉదా: భూమి ద్రవ్యరాశి = 5.976 × 1024 kg (ఇదొక ప్రామాణిక రూపం)

అదే విధంగా 946 × 1015 ప్రామాణిక రూపం 9.46 × 1017
 

మాదిరి ప్ర‌శ్న‌లు


 

ముఖ్యాంశాలు

* a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) 

= 1/2 (a + b + c) [(a - b )2 + (b - c)2 + (c - a)2]

* (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(b + c) (c + a) (a + b)

⇒ a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 - 3(a + b) (b + c) (c + a)

* a + b + c = 0 అయితే a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
 

మాదిరి సమస్యలు



 




 



 

13. (3a - 4b)3 + (4b - 5c)3 + (5c - 3a)3 = ......

1) 3(3a - 4b) (4b - 5c) (5c - 3a)            2) 4(3a - 4b) (4b - 5c) (5c - 3a)

3) 3(4b - 3a) (4b - 5c) (5c - 3a)           4) 3(3a - 4b) (4b - 5c) (3a - 5c)

సమాధానం: 1

14. x6 - 27x3 + 125 = ......

1) (x2 + 3x - 5) (x4 - 3x3 + 4x2 - 15x + 25)

2) (x2 - 3x + 5) (x4 + 3x3 + 4x2 + 15x + 25)

3) (x2 + 3x - 5) (x4 - 3x3 + 4x2 - 15x + 25)

4) (x2 - 3x + 5) (x4 - 3x3 + 4x2 - 15x - 25)

సమాధానం: 2

15. a = 196, b = 198, c = 100 అయితే a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca విలువ?

1) 48          2) 24          3) 18           4) 12

సమాధానం: 4

16. a = 25, b = 27, c = 29 అయితే a3 + b3 + c3 - 3abc = ....

1) 724         2) 729         3) 972          4) 974

సమాధానం: 3

17. a + b + c = 6, a2 + b2 + c2 = 14 అయితే a3 + b3 + c3 - 3abc = ....

1) 16           2) 18           3) 12            4) 20

సమాధానం: 2

18. a + b + c = 9, ab + bc + ca = 26 అయితే a3 + b3 + c3 - 3abc = ....

1) 18           2) 21           3) 27            4) 30 

సమాధానం: 3
 

Posted Date : 30-12-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌