సంక్లిష్టత నుంచి సరళీకరణకు!
ప్రతి పనికీ ఒక క్రమం ఉంటుంది. అది తప్పితే ఆ పని కష్టం కావచ్చు లేదా పూర్తికాకపోవచ్చు. ఈ సూత్రం గణితానికీ అతికినట్లు సరిపోతుంది. ఏ లెక్క చేయాలన్నా ఒక పద్ధతి ఉంటుంది. దాన్ని పాటించకపోతే సరైన జవాబు రాదు. సూక్ష్మీకరణులు అనే అధ్యాయాన్ని ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే సంక్షిష్టమైన గణిత ప్రక్రియలను సరళీకరించి సమాధానాలు రాబట్టే నియమాలపై అవగాహన పెరుగుతుంది. ఇది అన్ని రకాల లెక్కలు చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
(a − b)3 = a3 − b3 − 3a2b + 3ab2
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
మాదిరి ప్రశ్నలు
పైన ఉన్నx విలువను ప్రతిక్షేపించగా
6 + x = x2
x2 − x − 6 = 0
x2 − 3x + 2x − 6 = 0
x(x − 3) + 2(x − 3) = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
x = 3, x = −2
∴ x = 3 అవుతుంది.
సంక్షిప్త పద్ధతి:
+ ఉంది కాబట్టి పెద్ద సంఖ్యను తీసుకోవాలి.
గమనిక: + ఉంటే పెద్ద సంఖ్యను, - ఉంటే చిన్న సంఖ్యను తీసుకోవాలి.
x2 − x − 72 = 0
x2 − 9x + 8x − 72 = 0
x(x − 9) + 8(x − 9) = 0
(x − 9)(x + 8) = 0
x = 9, x = −8
∴ x = −8 అవుతుంది.
సంక్షిప్త పద్ధతి:
- ఉంది కాబట్టి చిన్న సంఖ్యను తీసుకోవాలి.
+ ఉంది కాబట్టి పెద్ద సంఖ్యను తీసుకోవాలి.
x2 − 20 = 5
x2 = 5 + 20
x2 = 25
x2 = 52
∴ x = 5 అవుతుంది.
7. 72519 x 99999 = .............
1) 7251827481 2) 7151827481
3) 7251847481 4) 7252827481
సమాధానం: 1
సాధన: ఎన్ని 9 లు ఉంటే అన్ని సున్నాలు రాసి ఎడమ వైపు సంఖ్యను తీసివేయాలి.
8. 106 × 106 − 94 × 94 = .............
1) 2100 2) 2200 3) 2300 4) 2400
సమాధానం: 4
సాధన: ముందున్న సూత్రాలను ఉపయోగిస్తే సూక్ష్మీకరణుల్లో సమాధానాన్ని సులువుగా గుర్తించవచ్చు.
106 = a, 94 = b అనుకుందాం
అప్పుడు దత్తాంశం ప్రకారం
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
= (106 + 94)(106 − 94)
= 200 × 12 = 2400
ఈ పద్ధతి గ.సా.భా.లో ఉంది.
a + b + c = 2 + 1 + 8 = 11 అవుతుంది.
రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి
