• facebook
  • whatsapp
  • telegram

ప్రధాన సంఖ్యలు, సంయుక్త సంఖ్యలు    

రెండైతే ప్రధానం.. దాటితే సంయుక్తం!

బ్యాంకుల లావాదేవీలైనా. పరీక్షల దరఖాస్తులైనా ఇప్పుడు ఓటీపీ (వన్‌ టైమ్‌ పాస్‌వర్డ్‌) లపైనే నడుస్తున్నాయి. ఒకసారి వచ్చిన ఓటీపీ మళ్లీ రాదు. సుడోకు పజిల్స్‌ కూడా వేటికవే ప్రత్యేకంగా ఉంటాయి. వీటన్నింటినీ సృష్టించడానికి గణితంలో కారణాంకాలను ఉపయోగిస్తారు. వాటి ఆధారంగా సంఖ్యలను పలు రకాలుగా వర్గీకరించారు. అందులో ప్రధాన సంఖ్యలు, సంయుక్త సంఖ్యలు ముఖ్యమైనవి. ఇవి సంఖ్యా సిద్ధాంతానికి పునాదుల లాంటివి. సమాచార భద్రత, కంప్యూటర్‌ అల్గారిథమ్స్, ఇంటర్‌నెట్, వివిధ కమ్యూనికేషన్‌ వ్యవస్థల్లోనూ వినియోగించే ఆ సంఖ్యల గురించి అభ్యర్థులు తెలుసుకోవాలి. వాటి లక్షణాలు, ఏర్పరిచే సంబంధాలపై అవగాహన పెంచుకోవాలి. 


ప్రధాన సంఖ్యలు: ఒకటి, అదే సంఖ్య కలిగి ఉండే కారణాంకాలు ఉంటే అలాంటి సంఖ్యలను ‘ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime Numbers) అని అంటారు.

సరి ప్రధాన సంఖ్య - 2

సరి సంఖ్యల సాధారణ రూపం 6n ± 1

 పైన ఇచ్చిన వివరణ ప్రకారం 25, 35 లాంటి సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కావు. దీన్ని బట్టి అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు 6n ± 1 రూపంలో ఉంటాయి. కానీ 6n ± 1 రూపంలో ఉండే ప్రతీ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య కానవసరం లేదు.

ప్రధాన సంఖ్యల్లో రకాలు 

1) కవల ప్రధాన సంఖ్యలు

2) ప్రధాన సంఖ్యా త్రికం

కవల ప్రధాన సంఖ్యలు (Twin - Prime Numbers): ఏదైనా రెండు వరుసగా వచ్చే ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య భేదం 2 అయితే అలాంటి సంఖ్యలను ‘కవల ప్రధాన సంఖ్యలు’ అని అంటారు.

ఉదా: (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73)

గమనిక: 1 నుంచి 100 వరకు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యల్లో 8 కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు ఉంటాయి.

ప్రధాన సంఖ్యా త్రికం (Triplet Prime Numbers): ఏవైనా మూడు వరుస ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య భేదం 2 అయితే అలాంటి సంఖ్యలను ‘ప్రధాన సంఖ్యా త్రికం’ అని అంటారు. ఉదా: (3, 5, 7)

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (సాపేక్ష ప్రధానాంకాలు) (Relatively Prime Numbers or Coprimes): ఏవైనా రెండు సంఖ్యలకు 1 మినహా వేరే సామాన్య కారణాంకాలు లేకపోతే వాటిని ‘పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు’ అని అంటారు.

ఉదా: (4, 15) పరస్పర ప్రధానాంకాలు.

4 యొక్క కారణాంకాలు:  , 2, 4

15 యొక్క కారణాంకాలు:  , 3, 5, 15

* సామాన్య ఉమ్మడి కారణాంకం  -1

* 4, 15 లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.

1 నుంచి 1000 లోపు ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య  -168

అవి 

1 - 100  = 25

101 - 200  = 21

201 - 300  = 16

301 - 400  = 16

401 - 500  = 17

501 - 600  = 14

601 - 700  = 16

701 - 800  = 14

801 - 900  = 15

901 - 1000 = 14

      -----------------

            168

      -----------------

ముఖ్య గమనిక: 1

ఫెర్మా:

*   రూపంలో ఉన్న సంఖ్యలు   ప్రధానాంకాలే అని ఫెర్మా ఊహించాడు. కానీ n =  1, 2, 3, 4 అయినప్పుడు మాత్రమే ఇది సత్యమవుతుంది. 

*  n=5 అయినప్పుడు  అనేది ‘సంయుక్త సంఖ్య’ అని ఆయిలర్‌   నిరూపించాడు.

* మిక్కిలి పెద్ద ప్రధానాంకం లేదని చూపడం ద్వారా ప్రధానాంకాల సమితి అపరిమితమని యూక్లిడ్‌ రుజువు చేశాడు.

* ఇటీవల కనుక్కున్న పెద్ద ప్రధానాంకం 2756839  -1 దీంట్లో 2,27,832 అంకెలు ఉన్నాయని బ్రిటిష్‌ శాస్త్రవేత్తలు ప్రకటించారు.

* సెంట్రల్‌ మిస్సోరి విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన శాస్త్రవేత్తలు 2016, జనవరిలో అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్యను కనుక్కున్నారు. ఇందులో 2.2 కోట్లు అంకెలుంటాయని పేర్కొన్నారు. ఇప్పటివరకు అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్య (55 లక్షల) కంటే ఇది నాలుగు రెట్లు అధికం. 

* గ్రేట్‌ ఇంటర్నెట్‌ మెర్సెన్నె ప్రైమ్‌ సెర్చ్‌ (GIMPS) లో భాగంగా వీరు ఈ   ఆవిష్కరణ జరిపారు. దీని కోసం   ప్రత్యేకంగా ప్రైమ్‌-95 అనే సాఫ్ట్‌వేర్‌ను గింప్స్‌ నిపుణులు అభివృద్ధి చేశారు. కొత్త అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్యకు m74207281 అనే పేరు పెట్టారు.

ముఖ్య గమనిక: 2

* ఏవైనా రెండు వరుస సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు కావాలంటే అవి ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరంలేదు.

* ప్రధాన సంఖ్యలన్నీ (2 మినహా) బేసి సంఖ్యలే కానీ బేసి సంఖ్యలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు కావు.

ఇచ్చిన ప్రశ్నలో ప్రధాన సంఖ్యను   గుర్తించడం...

ఉదా: 191 ప్రధాన సంఖ్యా?కాదా?

ఇలా అడిగినప్పుడు ఇచ్చిన సంఖ్యకు  దగ్గరగా ఉన్న పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యను  తీసుకోవాలి. అంటే 196.

ఈ సంఖ్య ఏ సంఖ్యకు వర్గమో  కనుక్కోవాలి. 

196 = 142 

14    ఇప్పుడు 14 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యలను తీసుకోవాలి. అవి 13, 11, 07, 05, 03, 2. ఇవి 191ను నిశ్శేషంగా భాగించకూడదు. ఇలా భాగించని ఆ సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యగా గుర్తించాలి. 

13 

11 

07

05

03

02

సంయుక్త సంఖ్యలు (CompositeNumbers): రెండు కంటే ఎక్కువ    కారణాంకాలు ఉండే సంఖ్యలను ‘సంయుక్త సంఖ్యలు’ అని అంటారు.

* అతి చిన్న సంయుక్త సంఖ్య 4.

* అతి చిన్న బేేసి సంయుక్త సంఖ్య 9.

* ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా రాయొచ్చు.

(ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం)

 36 = 22 x 32

సమున్నత సంయుక్త సంఖ్య: ఒక సంయుక్త సంఖ్యకు తన ముందు ఉన్న సంఖ్య కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉంటే అలాంటి సంఖ్యను ‘సమున్నత సంయుక్త సంఖ్య’ అని అంటారు.

ఉదా: 4 యొక్క కారణాంకాలు, 6 యొక్క కారణాంకాలు పరిశీలిస్తే

4 = 1, 2, 4 (3 కారణాంకాలు)

6 = 1, 2, 3, 6 (4 కారణాంకాలు)

4 తో పోలిస్తే 6ను సమున్నత సంయుక్త సంఖ్య అని అంటారు.

కారణాంకాల సంఖ్యను కనుక్కోవడం(No. of the factors):        

ఉదా: 48 యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య ఎంత?

కారణాంకాల మొత్తాన్ని కనుక్కోవడం:

ఉదా: 36 యొక్క కారణాంకాల మొత్తం ఎంత?


రచయిత:దొర కంచుమర్తి  

Posted Date : 02-04-2024

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌