స్తూపం

స్తూపం

స్తూపం వ్యాసార్ధం = r; ఎత్తు = h అయితే

i) భూపరిధి = 2πr యూ.

ii) భూవైశాల్యం = πr² చ.యూ.

iii) పక్కతల వైశాల్యం = భూపరిధి × ఎత్తు

=- 2πr × h

= 2πrh చ.యూ.

iv) సంపూర్ణతల వైశాల్యం = పక్కతల వైశాల్యం + 2 × భూవైశాల్యం

= 2πrh + 2πr²

= 2πr(h + r) చ.యూ.

v) ఘనపరిమాణం = భూవైశాల్యం × ఎత్తు

= πr² × h = πr²h ఘ.యూ.

బోలు స్తూపం (Hollow cylinder)

i) భూవైశాల్యం = π(R² - r²) చ.యూ.

ii) వక్రతల (పక్కతల) వైశాల్యం = స్తూపం బాహ్యతల వైశాల్యం + స్తూపం అంతరతల వైశాల్యం

= 2πRh + 2πrh

= 2πh (R + r) చ.యూ.

iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యం =- 2πh(R + r) + 2π (R² - r²)

= 2π(R + r) (h + R - r) చ.యూ.

iv) ఘనపరిమాణం = πh (R² - r²) ఘ.యూ. 

మాదిరి సమస్యలు

1. ఒక క్రమ స్తూపం భూవ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ., ఎత్తు 15 సెం.మీ అయితే కిందివాటిని జతపరచండి.  

i) భూపరిధి	a) 660 చ.సెం.మీ.
ii) భూవైశాల్యం	b) 144 సెం.మీ.
iii) పక్కతల వైశాల్యం	c) 968 చ.సెం.మీ.
iv) సంపూర్ణతల వైశాల్యం	d) 154 చ.సెం.మీ.
	e) 44 సెం.మీ.

1) 1- c, 2- d, 3- a, 4- e          2) 1- e, 2- b, 3- d, 4- c

3) 1- e, 2- d, 3- a, 4- c          4) 1- b, 2- d, 3- a, 4- c

సాధన:

r = 7 సెం.మీ., h = 15 సెం.మీ.

i) భూపరిధి = - 2πr = 2 ×

 × 7  = 44 సెం.మీ.

ii) భూవైశాల్యం = - πr² = × 7 × 7 = 154 చ.సెం.మీ.

iii) పక్కతల వైశాల్యం = -2πr × h = 44 × 15 = 660 చ.సెం.మీ.

iv) సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr (h + r) = 2 × × 7(15 + 7) 

= 2 ×  × 7 × 22 = 968 చ.సెం.మీ.

సమాధానం: 3

2. ఒక క్రమ స్తూపం వ్యాసార్ధం 7 మీ., ఎత్తు 24 మీ. అయితే ఆ స్తూపం ఘనపరిమాణం ఎంత? (మీ³.లలో)

1) 3696            2) 3796           3) 3496              4) 3896

సాధన:

స్తూపం వ్యాసార్ధం (r) = 7 మీ.

ఎత్తు (h) = 24 మీ.

ఘనపరిమాణం (v) = πr²h

= × 7 × 7 × 24

= 22 × 7 × 24

= 3696 మీ3.

సమాధానం: 1

3. ఒక క్రమ స్తూపం వక్రతల వైశాల్యం, సంపూర్ణతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 1 : 2. సంపూర్ణతల వైశాల్యం 616 సెం.మీ.² అయితే ఆ స్తూపం ఘనపరిమాణం ఎంత? (సెం.మీ.³ లలో)

1) 1198         2) 1178           3) 1098             4) 1078

సాధన:

క్రమ స్తూపం వ్యాసార్ధం r,

ఎత్తు = h అనుకుందాం

స్తూపం వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh చ.యూ.

స్తూపం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(h + r) చ.యూ.

లెక్క ప్రకారం,

2πrh : 2πr (h + r) = 1 : 2 

లెక్క ప్రకారం, సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 616 సెం.మీ².

2πr(h + r) = 616

2πr(r + r) = 616      (.^.. h = r)

2πr ×  2r = 616.

4πr² = 616

r = 7 సెం.మీ. h = 7 సెం.మీ.     (.^.. h = r)
స్తూపం ఘనపరిమాణం (v) = πr²h
=  × 7 × 7 × 7
= 22 × 49
= 1078 సెం.మీ³.
సమాధానం: 4

4. రెండు క్రమ స్తూపాల వ్యాసార్ధాలు 2 : 3 నిష్పత్తిలో, వాటి ఎత్తులు 5 : 4 నిష్పత్తిలో ఉంటే వాటి వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత?
1) 5 : 2       2) 5 : 3       3) 5 : 6       4) 5 : 9

సాధన:
రెండు క్రమ స్తూపాల వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి = r₁ : r₂ = 2 : 3
r₁ = 2r
r₂ = 3r
ఎత్తుల నిష్పత్తి = h₁ : h₂ = 5 : 4
h₁ = 5h
h₂ = 4h
ఆ స్తూపాల వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 2πr₁h₁ : 2πr₂h₂
                                   = 2π(2r)(5h) : 2π(3r)(4h)
                                   = 20 : 24
                                   = 5 : 6
సమాధానం: 3

5. ఒక క్రమ స్తూపం సంపూర్ణతల వైశాల్యం 462 సెం.మీ². దాని వక్రతల వైశాల్యం సంపూర్ణతల వైశాల్యంలో 1/3వ వంతు ఉంటే ఆ స్తూపం ఘనపరిమాణం ఎంత? (సెం.మీ³.లలో)

1) 439             2) 539             3) 639            4) 739

సాధన:

స్తూపం వ్యాసార్ధం = r,

ఎత్తు = h అనుకుందాం
లెక్కప్రకారం, వక్రతల వైశాల్యం =  (సంపూర్ణతల వైశాల్యం)
2πrh =

 [2πr(h + r)]
6πrh = 2πrh + 2πr²
6πrh - 2πrh = 2πr²
4πrh = 2πr²
2h = r
h =  
లెక్క ప్రకారం,
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 462

సమాధానం: 2

6. ఒక క్రమ స్తూపాకారంలో ఉన్న మిశ్రమ లోహం వ్యాసం 4.5 సెం.మీ., ఎత్తు 10 సెం.మీ. అయితే దాని నుంచి 1.5 సెం.మీ. వ్యాసం, 0.2 సెం.మీ. మందంతో ఎన్ని స్తూపాకార నాణేలను తయారుచేయవచ్చు?

1) 400        2) 425          3) 450           4) 475

సాధన:

స్తూపం వ్యాసం = 4.5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం = సెం.మీ. = 2.25 సెం.మీ.
ఎత్తు = 10 సెం.మీ.
నాణేం వ్యాసం = 1.5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం =

 సెం.మీ. = 0.75 సెం.మీ.
ఎత్తు (మందం) = 0.2 సెం.మీ.

సమాధానం: 3