వృత్తానికి స్వర్శరేఖలు

వృత్తానికి స్పర్శరేఖ: ఒక వృత్తాన్ని ఒకే బిందువు వద్ద స్పర్శిస్తూ (స్పృశిస్తూ) గీసిన రేఖను ఆ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ(Tangent) అంటారు.

పటంలో అనేది వృత్తాన్ని ఒకే బిందువు A వద్ద స్పర్శిస్తుంది. కాబట్టి  వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అవుతుంది. A ని స్పర్శబిందువు అంటారు.

* ఒక వృత్తాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించే రేఖను ఆ వృత్తానికి ఛేదనరేఖ (లేదా) ఖండిత రేఖ అంటారు.

పటంలో  వృత్తానికి ఛేదనరేఖ అవుతుంది.

* స్పర్శరేఖ (Tangent)  అనే పదం లాటిన్‌ పదమైన టాన్‌ (Tangere) నుంచి వచ్చింది. ‘టాన్‌గ్రీ’ అంటే ‘స్పర్శించడం’ అని అర్థం.

* ఒక వృత్తంపై  ఉన్న ఏదైనా బిందువు గుండా గీసిన స్పర్శరేఖ, ఆ స్పర్శబిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబంగా ఉంటుంది.

* వృత్త వ్యాసార్ధానికి స్పర్శబిందువు గుండా గీసిన రేఖను ఆ వృత్తానికి ఆ బిందువు వద్ద అభిలంబం (Normal) అని అంటారు.

* ఒక తలంలో వృత్తంపై వ్యాసార్ధం చివరి బిందువు గుండా గీసిన రేఖ దానికి లంబంగా ఉంటే, ఆ రేఖ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అవుతుంది.

* ఒక బిందువు నుంచి ఒక వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఆ బిందువు స్థానాన్ని బట్టి ఉంటుంది.

i) బిందువు (P) వృత్తం లోపల ఉంది కాబట్టి, ఆ బిందువు నుంచి వృత్తానికి స్పర్శరేఖలను గీయలేం.

* వృత్తం అంతరంలో ఉన్న బిందువు నుంచి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల సంఖ్య = 0

ii) బిందువు (P) వృత్తంపై ఉంది కాబట్టి ఆ బిందువు గుండా వృత్తానికి ఒక స్పర్శరేఖను గీయగలం. 

* వృత్తంపై ఉన్న బిందువు గుండా వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య = 1

iii) బిందువు (P) వృత్తానికి బాహ్యంగా ఉంది. కాబట్టి ఆ బిందువు నుంచి వృత్తానికి రెండు సమాన పొడవులు ఉన్న స్పర్శరేఖలను గీయగలం.

* వృత్తానికి బాహ్యంగా ఉన్న బిందువు నుంచి ఆ వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య = 2.

* వృత్తానికి బాహ్య బిందువు గుండా గీసిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం. అంటే  PA = PB.

స్పర్శరేఖ పొడవు:

'O' కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తంలో AP వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ, OA వ్యాసార్ధం అయితే స్పర్శరేఖ పొడవు  (AP) 

(d = వృత్త కేంద్రం నుంచి బాహ్యబిందువు ‘P’ కు ఉన్న దూరం r = వృత్తవ్యాసార్ధం.)

* వృత్తానికి బాహ్య బిందువు నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య ఏర్పడే కోణ సమద్విఖండన రేఖపై ఆ వృత్త కేంద్రం ఉంటుంది.

పటంలో OP, ∠APB  కోణసమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.

* రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాల్లో బాహ్యవృత్తం జ్యా, అంతరవృత్తం స్పర్శబిందువు వద్ద సమద్విఖండన చేస్తాయి.

* O కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి బాహ్యబిందువు A నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు  AP, AQ  అయితే, 

* ఒక వృత్తం ABCD చతుర్భుజాన్ని P, Q, R, S బిందువుల వద్ద తాకింది. అయితే  AB + CD = BC + DA అవుతుంది.

AB + CD = BC + DA

మాదిరి సమస్యలు

1. 'O' కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి వ్యాసార్ధం 20 సెం.మీ. వృత్తంపై ఉన్న P బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ PQ.OQ = 29 సెం.మీ. అయితే PQ పొడవు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)

1) 27         2) 25         3) 23         4) 21 

= 21 సెం.మీ.     

సమాధానం: 4

2. 'O' కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి 17 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్న బాహ్యబిందువు P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖ PA పొడవు 15 సెం.మీ. అయితే ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత? (సెం.మీ.లలో) 

1) 8              2) 9            3) 10            4) 12 

3.  PA, PB లు  “O” కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు.  ∠AOB = 120°  అయితే  ∠APB విలువ ఎంత?

సమాధానం: 2

4. O కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి బాహ్యబిందువు P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు PA, PB. ∠APB = 110° అయితే ∠POA  విలువ ఎంత? 

90° + 55° + ∠POA = 180°

145° + ∠POA = 180°

∠POA = 180° − 145° = 35° 

సమాధానం: 1

5. ఒక వృత్తం బాహ్యబిందువు P నుంచి ఆ వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం 60°.  ఆ వృత్తవ్యాసార్ధం 6 సెం.మీ. అయితే ఒక్కొక్క స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)

గమనిక: ఒక వృత్తం బాహ్యబిందువు P నుంచి ఆ వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం ‘θ’. ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం ‘r’  యూ. అయితే ఒక్కొక్క స్పర్శరేఖ పొడవు