గొలుసు సూత్రం

సంక్లిష్ట గణనకు సరళ మార్గాలు!
 

ఇంజిన్‌లో ఒక చిన్న చక్రం పెద్ద చక్రాన్ని, ఆ చక్రం ఇంకా పెద్ద చక్రాన్ని తిప్పుతాయి. మొత్తం మీద అన్నీ కలిసి ఒక పెద్ద వాహనాన్ని లేదా యంత్రాన్ని నడిపిస్తాయి. అదే విధంగా అంకగణితంలోనూ చిన్న చిన్న గణనలు కలిసి సంక్లిష్ట సమస్యలకు సరళ మార్గాల్లో పరిష్కారాన్ని సూచిస్తాయి. దాన్నే సాంకేతికంగా ‘గొలుసు సూత్రం’ అంటారు. అధునాతన గణిత అనువర్తనాల్లో అనివార్యంగా మారిన  ఆ పద్ధతిని పోటీ పరీక్షార్థులు అర్థం చేసుకోవాలి. సంబంధిత మౌలిక గణిత పరిక్రియలను నేర్చుకుని ప్రాక్టీస్‌ చేయాలి.  

ఒక వస్తువు విలువ/ ధరను కనుక్కోవడం ద్వారా అనేక వస్తువుల  విలువను తెలుసుకోవడానికి ఒక గణనను నిర్వహించే మార్గం. దీన్ని స్థూలంగా ‘గొలుసు పద్ధతి’ అని చెప్పవచ్చు. ఇది నిర్దిష్ట రకాల  అంకగణిత కలాపాలను పరిష్కరించే ఒక ప్రాథమిక పద్దతి.  ఇది ప్రధానంగా నిష్పత్తి భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ నిష్పత్తి రెండు రకాలుగా ఉంటుంది.

ప్రత్యక్ష నిష్పత్తి (Direct Proportion):

‘రెండు పరిమాణాలు ప్రత్యక్ష నిష్పత్తి (అనులోమానుపాతం)లో ఉన్నాయి.’ అని చెప్పడానికి ఒకదాని పెరుగుదల/తగ్గుదలతో పోలిస్తే.. మరొకటి అదే మేరకు పెరుగుతుంది/తగ్గుతుంది.

ఎ)    ఒక వస్తువు పరిమాణం పెరిగితే, దాని ధర కూడా పెరుగుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే ఖర్చు అనేది ఆ వస్తువుల పరిమాణం లేదా సంఖ్యకు నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

బి)    కార్మికుల సంఖ్య పెరిగితే, వారు చేసే పని పరిమాణం కూడా ఎక్కువగానే ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే కార్మికులు చేసిన పని.. వారి సంఖ్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

పరోక్ష నిష్పత్తి (Indirect Proportion):

రెండు పరిమాణాలు పరోక్ష నిష్పత్తి (విలోమానుపాతం)లో ఉన్నాయి అని చెప్పడానికి ఒకదాని పెరుగుదల (లేదా తగ్గుదల)తో పోలిస్తే... మరొకటి అదే మేరకు తగ్గుతుంది (లేదా పెరుగుతుంది).

ఎ) వాహన వేగం పెరిగినట్లయితే, నిర్దిష్ట గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి పట్టే సమయం (కాలం) తగ్గిపోతుంది. (ఎక్కువ వేగం, తక్కువ సమయం) మరో మాటలో చెప్పాలంటే వేగం... కాలానికి పరోక్షంగా విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

బి)  నిర్దిష్ట మొత్తంలో పనిని పూర్తి చేయడానికి ఎక్కువ మంది వ్యక్తులను నియమించినట్లయితే, ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి తక్కువ సమయం పడుతుంది. స్పష్టంగా చెప్పాలంటే ఒక పనిని పూర్తిచేయడానికి పట్టే సమయం... వ్యక్తుల సంఖ్యకు పరోక్షంగా విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

*  విలోమానుపాతానికి వర్తించే సూత్రం 

M - Mens  (మనుషులు)  

D - Days(రోజులు) 

T - Time (కాలం)

W - Work (పని)

మాదిరి ప్రశ్నలు
 

1.  x మీ. తీగ ఖరీదు రూ. d అయితే, అదే రేటులో y మీ. తీగ ఖరీదు ఎంత? 

2. 6 బొమ్మల ఖరీదు రూ.264.37 అయితే 5 బొమ్మల ఖరీదు సుమారుగా ఎంత?

3 . 0.6 సెం.మీ., 6.6 కి.మీ.ను సూచించే పరివర్తన (స్కేలు) పటంలో 80.5 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్న రెండు బిందువులకు అనురూపంగా ఉంటే ఆ బిందువుల మధ్య అసలు దూరం ఎంత?

4 . ఒక కోటలో 150 మందికి 45 రోజులకు సరిపడా ఆహారం ఉంది. 10 రోజుల తరువాత 25 మంది ఆ కోటను వదిలి వెళ్లినా మిగతా ఆహారం ఇంకా ఎన్ని రోజులకు వస్తుంది?

5 . 14 పళ్లున్న పెద్ద చక్రంలో తిరిగే విధంగా 6 పళ్లున్న చిన్న చక్రాన్ని అమర్చారు. చిన్న చక్రం 21 పరిభ్రమణాలు చేస్తే పెద్ద చక్రం చేసే   భ్రమణాలు ఎన్ని?

1) 4    2) 9    3) 12    4) 19

వివరణ: విలోమానుపాతంలో ఉన్నాయి కాబట్టి

ఎక్కువ పళ్లు ....... తక్కువ పళ్లు

6 x 21 = 14 x X ⇒ x = 9              

జ: 2

6 . ఒక పనిని 19 రోజుల్లో అయిదుగురు పురుషులు లేదా 9 మంది స్త్రీలు చేయగలరు. అదే పనిని ముగ్గురు పురుషులు, ఆరుగురు స్త్రీలు ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలరు?

1) 12    2) 15    3) 18    4) 21

వివరణ: అయిదుగురు పురుషులు లేదా 9 మంది స్త్రీలు

7.  x మంది, x  రోజుల్లో; రోజుకు x గంటలు పనిచేస్తూ x యూనిట్ల పనిచేస్తారు. y మంది రోజుకు y గంటలు పనిచేస్తూ y రోజుల్లో ఎన్ని యూనిట్ల  పనిచేస్తారు? 

8 . రూ.21.25 ఖర్చుతో రోజుకు 5 గం. పనిచేసే (వెలిగే) 80 దీపాలను 10 రోజుల వరకు వెలిగించవచ్చు. 30 రోజుల వరకు రూ.76.50 ఖర్చుతో రోజుకు 4 గంటలు వెలిగించడానికి అవసరమయ్యే దీపాల సంఖ్య ఎంత? 

1) 120    2) 150    3) 100    4) 180

9 . 100 రోజుల్లో ఒక పనిని కొంతమంది పూర్తిచేస్తారు. 10 మంది ఎక్కువైతే మరో 10 రోజులు పని పూర్తి కావడానికి పట్టేది. అలా అయితే ముందున్న పనివాళ్లు ఎంతమంది?

1) 81    2) 90    3) 110    4) 108

వివరణ: ముందు పని వారి సంఖ్య x అనుకుంటే

100 x x = (x - 10) x 110

10x = 11x - 110
x = 110

జ: 3

10. ఒక పనిని 12 రోజుల్లో కొంతమంది చేయగలరు. సగం పనిని, రెట్టింపు మంది ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు?

1) 6   2) 4   3) 3    4) 12

వివరణ: ఆ పనివారి సంఖ్య = x అనుకుంటే 

జ: 3

11.12 మంది పురుషులు, 18 మంది బాలురు 7 1/2 గంటలు పనిచేస్తూ, ఒక పనిని 60 రోజుల్లో పూరి చేయగలరు. ఇద్దరు బాలురు చేసే ఒక పనిని.. ఒక పురుషుడు చేయగలిగితే.. రోజుకు 9 గంటలు పనిచేస్తూ 50 రోజుల్లో రెట్టింపు పనికి, 21 మంది పురుషులతో ఎంతమంది బాలురును  సహాయానికి నియమించాలి? 

1) 42    2) 48    3) 54    4) 60

వివరణ: లెక్క ప్రకారం 1 పురుషుడు = 2 బాలురు

12 మంది పురుషులు + 18 మంది బాలురు = 12 x 2 + 18 = 42 మంది బాలురు

జ: 1

12. ఒక కాంట్రాక్టరు 38 రోజుల్లో ఒక పనిని పూర్తిచేయడానికి 30 మందిని నియమించాడు. 25 రోజుల తరువాత అయిదుగురిని అదనంగా నియమించడం వల్ల పని ఒక రోజు ముందుగానే అయిపోయింది. అదనపు పనివారిని నియమించకపోతే, పని ఎన్ని రోజులు ఆలస్యంగా పూర్తి అయ్యేది?

వివరణ: లెక్క ప్రకారం మొత్తం రోజులు = 38

ఒక రోజు ముందుగానే అంటే (38 - 1) = 37

25 రోజుల తరువాత 12 రోజుల్లో మిగతా పనిని పూర్తి చేశారు.

కాబట్టి 35 మంది మిగతా పనిని 12 రోజుల్లో పూర్తి చేశారు.

జ: 3

13. 14 రోజుల్లో ఒక పనిని ఇద్దరు పురుషులు, 7గురు బాలురు చేస్తారు. ముగ్గురు పురుషులు, 8 మంది బాలురు 11 రోజుల్లో అదే పనిని చేస్తారు. అయితే 8 మంది పురుషులు, 6 గురు బాలురు 3 రెట్ల పనిని చేయడానికి ఎన్ని రోజులు పడుతుంది?

జ: 4

రచయిత: దొర కంచుమర్తి