క్షేత్రమితి - త్రిభుజం

మూడు భుజాలు.. ఆరు భాగాలు!

ఆకారాలకు సంబంధించిన అతి ప్రాథమిక అంశాల్లో త్రిభుజం ప్రధానమైనది. ఒక కాగితం మీద నాలుగైదు గీతలను ఇష్టారాజ్యంగా గీస్తే వాటిలో త్రిభుజం కచ్చితంగా ఏర్పడి ఉంటుంది. బిల్డింగులు, బ్రిడ్జిలు, ఇంకా నిర్మాణం ఏదైనా అందులో త్రిభుజం తప్పనిసరిగా ఉండే తీరుతుంది. నిత్య జీవితాలతో ముడిపడిన గణితంలో నిరంతరం కనిపించే త్రిభుజం, క్షేత్రమితిలో అత్యంత ప్రాధాన్యాన్ని కలిగి ఉంది. ఇది కోణాలు, భుజాలు, శీర్షాల వంటి కీలక భావనలతో అనేక రేఖాగణిత సూత్రాలకు, సిద్ధాంతాలకు ఆధారంగా మారింది. వివిధ గణిత విశ్లేషణలకు, పలు రకాల సమస్యల పరిష్కారానికీ మూలమై నిలిచిన ఈ మూడు కోణాల రూపం గురించి పోటీ పరీక్షార్థులు తెలుసుకోవాలి. 

వైశాల్యం: ఒక సమతలంలో ఒక సంవృత పటం ఆక్రమించిన ప్రాంతాన్ని ఆ పటం వైశాల్యం (ఏరియా) అని అంటారు.

చుట్టుకొలత: ఆకారం, సరిహద్దుల యొక్క దూరాన్ని చుట్టుకొలత నిర్వచిస్తుంది. అయితే అది ఆక్రమించిన ప్రాంతాన్ని వివరిస్తుంది.

కొలతల ప్రమాణం: 

ఎ)     చుట్టుకొలతను కొలవడానికి ప్రమాణాలు - మిల్లీమీటరు, సెంటీమీటరు, మీటరు. 

బి)     వైశాల్యాన్ని కొలవడానికి ప్రమాణాలు - చదరపు సెం.మీ., చదరపు మీ.

త్రిభుజం 

మూడు భుజాలున్న సంవృత పటాన్ని త్రిభుజం అంటారు. త్రిభుజంలో 6 భాగాలుంటాయి. అవి

1) 3 భుజాలు 2) 3 శీర్షాలు

భుజాల పరంగా త్రిభుజాలు 3 రకాలు.

1) విషమబాహు త్రిభుజం 

2) సమద్విబాహు త్రిభుజం 

3) సమబాహు త్రిభుజం

విషమబాహు త్రిభుజం: మూడు భుజాలు వేర్వేరుగా ఉండే త్రిభుజాన్ని విషమబాహు త్రిభుజం అంటారు. 

విషమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం 

ఇక్కడ s ను చుట్టుకొలతలో సగభాగం అని అంటారు.  

‣    బ్రహ్మగుప్తుడు, ఆర్యభట్టుడు అనే ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోవడానికి ఇదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించారు. 

సమద్విబాహు త్రిభుజం: రెండు భుజాలు సమానంగా ఉండి మూడో భుజం వేరుగా ఉండే త్రిభుజాన్ని సమద్విబాహు త్రిభుజం అంటారు. 

సమద్విబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం 

చుట్టుకొలత = 2a + b

వివరణ: ‣ ΔABD నుంచి 

పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతం ద్వారా AB² = BD² + AD²

 

సమద్విబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం 

గమనిక: ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో మధ్యగత, లంబ రేఖలు (ఎత్తు) ఒకే విధంగా ఉంటాయి. 

సమబాహు త్రిభుజం: మూడు భుజాలు సమానంగా ఉండే సంవృత పటాన్ని సమబాహు త్రిభుజం అంటారు.     

                  

చుట్టుకొలత = 3a 


త్రిభుజ ధర్మాలు 

‣     ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాల మొత్తం మూడో భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. 

‣     ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాల బేధం మూడో భుజం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

‣     ఒక త్రిభుజంలోని ఒక భుజాన్ని పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్య కోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం. 

‣     త్రిభుజం యొక్క భుజాల మధ్య బిందువుల వ్యతిరేక శీర్షాలను కలిపే రేఖలను మధ్యగత రేఖలు అంటారు. త్రిభుజం యొక్క మూడు మధ్యగతరేఖలు కలిసే బిందువును గురుత్వ కేంద్రం (G) అంటారు. 
    పక్కన ఉన్న త్రిభుజంలో G ని గురుత్వ కేంద్రం అని అంటారు. ఒక త్రిభుజంలోని గురుత్వకేంద్రం మధ్యగత రేఖలను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. 

‣     ఒక త్రిభుజంలోని భుజాల మధ్య బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం, దత్త త్రిభుజ వైశాల్యంలో నాలుగో వంతు ఉంటుంది. 

ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం: ఒక త్రిభుజంలోని ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన సరళ రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది. 

‣    ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖా ఖండం మూడో భుజానికి సమాంతరంగా, అందులో సగం ఉంటుంది. 


అపలోనియస్‌ సిద్ధాంతం: ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మీది వర్గాల మొత్తం, మూడో భుజంలోని సగం యొక్క వర్గం, దానిపై గీసిన మధ్యగత రేఖ వర్గాల మొత్తానికి రెట్టింపు అవుతుంది. 
AB² + AC² = 2 (BD² + AD²)

‣    ఒక సమబాహు త్రిభుజానికి ఒక అంతర వృత్తం, ఒక బాహ్యవృత్తం తీసుకుంటే వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి 1 : 4.

‣    ఒక సమబాహు త్రిభుజంలో అన్ని మధ్యగత రేఖలు, ఆ సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని 6 సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి.

రచయిత: దొర కంచుమర్తి