ఎన్ని రెట్లు.. ఎన్నో వంతు!
అందుబాటులో ఉన్న సమయాన్ని అందరూ రకరకాల పనుల కోసం విభజించుకుంటారు. పెట్టుబడులు పెడితే లాభాల గురించి లెక్కలు వేస్తారు. షాపింగ్లో రకరకాల] ధరలను సరిచూసుకుని వస్తువులు కొంటుంటారు. ఇవన్నీ నిష్పత్తి లెక్కలే. ఒకే ప్రమాణంలో వ్యక్తమయ్యే రాశుల మధ్య చేసే పోలికలే. నిత్య జీవితంలో ఎదురయ్యే ఘటనల ఆధారంగా నిష్పత్తిని అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఆ పరిజ్ఞానం శాతాలు, వడ్డీలు, భిన్నాలు, శ్రేణులు తదితర అంకగణిత భావనలపై పోటీ పరీక్షార్థులు పట్టు సాధించడానికి సాయపడుతుంది. విశ్లేషణాత్మక, విమర్శనాత్మక ఆలోచనా నైపుణ్యాలను పెంపొందించుకోవడానికి దోహదపడుతుంది.
నిష్పత్తి: ఒకే ప్రమాణాల్లో వ్యక్తపరిచే రాశుల పోలికను నిష్పత్తి అంటారు. దీన్ని a : b రూపంలో సూచిస్తారు. ఇక్కడ a ను పూర్వపదం, b ను పరపదం అంటారు.
రాశుల నిష్పత్తి: ఒకే ప్రమాణాలు ఉన్న రెండు రాశులను భాగహారం చేసి పోలిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ఆ రాశుల నిష్పత్తి అంటారు.
నోట్: నిష్పత్తి అనేది మొదటి రాశికి రెండో రాశి ఎన్ని రెట్లు లేదా ఎన్నో వంతు అనేది తెలియజేస్తుంది.
కనిష్ఠ రూపం: నిష్పత్తిలో పదాలకు 1 తప్ప మరో ఉమ్మడి కారణాంకం లేకపోతే ఆ నిష్పత్తిని కనిష్ఠ రూపంలో లేదా సాధారణ రూపంలో ఉందని అంటారు.
ఉదా: 5 : 7, 11 : 13
నోట్: ఎ) నిష్పత్తిలో ఉండే రెండు పదాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ నిష్పత్తిలో ఎలాంటి మార్పు ఉండదు.
బి) నిష్పత్తిలో ఉండే రెండు పదాలకు ఒకే సంఖ్యను కలపడం లేదా తీసివేయడం వల్ల దానిలో మార్పు వస్తుంది.
a : b అనేది ఒక నిష్పత్తి అయితే, అప్పుడు వర్గ నిష్పత్తి a2 : b2
బహుళ నిష్పత్తి: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నిష్పత్తుల్లో పూర్వపదాల లబ్ధానికి, పరపదాల లబ్ధానికి ఉండే నిష్పతిని బహుళ నిష్పత్తి లేదా మిశ్రమ నిష్పత్తి లేదా సంకీర్ణ నిష్పత్తి అంటారు.
* a : b, c : d ల బహుళ నిష్పత్తి ac : bd
* a : b, c : d, e : f బహుళ నిష్పత్తి ace : bdf
దివ్య నిష్పత్తి (Golden Ratio): పూర్వకాలంలో ఈ నిష్పత్తిని ఉపయోగించి అద్భుతమై కట్టడాలను నిర్మించారు.
దివ్య నిష్పత్తి = 1 : 1.618
ఉదా: తాజ్మహల్, పార్థెనన్ లాంటి చారిత్రక కట్టడాలను ఈ నిష్పత్తిని ఉపయోగించి నిర్మించారు.
* మానవ శరీరంలో కూడా దివ్య నిష్పత్తి ఒక భాగమై ఉంది.
ఉదా:
* చేతి మధ్యవేలు చివర నుంచి మోచేతి వరకు ఉండే దూరం : మణికట్టు నుంచి మోచేతి వరకు ఉండే దూరం
* భుజం రేఖ పొడవు : తల పొడవు
నిష్పత్తి ధర్మాలు:
* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు ఉండవు.
* రెండు రాశుల నిష్పత్తిని కనుక్కోవడానికి వాటిని ఒకే ప్రమాణంలోకి మార్చాలి.
* నిష్పత్తిలో పదాలను ఎల్లప్పుడూ పూర్ణాంకాలుగా సూచించాలి.
* రెండు నిష్పత్తులను పోల్చాల్సి వచ్చినప్పుడు పూర్వ లేదా పరపదాలను సమానం చేయాలి. దీన్నే ‘తుల్య నిష్పత్తి’ అంటారు.
* నిష్పత్తిని భిన్న రూపంలోనూ రాయొచ్చు. కాబట్టి భిన్నాలకు వర్తించే ధర్మాలన్నీ నిష్పత్తులకూ వర్తిస్తాయి.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. ఎ) A : B = 1 : 2, B : C =- 3 : 5 అయితే A : B : C ఎంత?
1) 4 : 7 : 14 2) 3 : 6 : 9
3) 3 : 6 : 10 4) 4 : 5 : 3
సి) జీతాల నిష్పత్తి A : B = 1 : 2, B : C = 3 : 4, C : D = 5 : 6, D : E = 7 : 8 అయితే A, E ల జీతం నిష్పత్తి ఎంత?
1) 128 : 35 2) 35 : 128 3) 36 : 37 4) ఏదీకాదు
2. రూ.581లను A, B, C అనే ముగ్గురు వ్యక్తులు పంచుకుంటే A వాటా 4 రెట్లు, B వాటా 5 రెట్లు, C వాటా 7 రెట్లకు సమానం. అయితే A వాటా ఎంత (రూపాయల్లో)?
1) రూ.141 2) రూ.196 3) రూ.245 4) రూ.254
3. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 12 : 13. ఒక్కో సంఖ్యకు 2ను పెంచితే ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 13 : 14. అయితే ఆ సంఖ్యల్లో మొదటి సంఖ్య ఎంత?
1) 24 2) 36 3) 48 4) 37
వివరణ: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 12 : 13
4. A, B ల రాబడి నిష్పత్తి 5 : 3. A, B, C ల ఖర్చుల నిష్పత్తి 8 : 5 : 2. C ఖర్చు రూ.2000, B పొదుపు రూ.700 అయితే A రాబడి ఎంత?
1) రూ.9000 2) రూ.9500 3) రూ.5000 4) రూ.1000
5. ఎ) ఒక సంచిలో రూ.1, 50 పైసలు, 25 పైసల నాణేలు ఉన్నాయి. వాటి నిష్పత్తి 4 : 5 : 8. ఆ సంచిలో మొత్తం 170 నాణేలు ఉన్నాయి. అయితే మొత్తం ఎంత?
1) రూ.85 2) రూ.170 3) రూ.58 4) రూ.140
వివరణ: రూ.1 50 పై. 25 పై.
4 : 5 : 8
17 భాగాలు = 170, 1 భాగం = 10
రూ.1 నాణేలు 4 X 10 = 40 ⇒ 40 X 1 = రూ.40
50 పైసల నాణేలు 5 X 10 = 50 ⇒ 50 X 0.5 = రూ.25
25 పైసల నాణేలు 8 X 10 = 80 ⇒ 80 X 0.25 = రూ.20 ⇒ 40 + 25 + 20 = రూ.85
జ: 1
బి) ఒక సంచిలో రూ.10, రూ.5, రూ.2 నోట్లున్నాయి. వాటి నిష్పత్తి 1 : 2 : 3. ఆ సంచిలో రూ.260 ఉంటే రూ.5 నోట్ల సంఖ్య?
1) 10 2) 20 3) 30 4) 50
వివరణ: రూ.10 రూ.5 రూ.2
1 : 2 : 3
= (1 X 10) + (2 X 5) + (2 X 3) (10 + 10 + 6) = 26
ఆ సంచిలో మొత్తం విలువ= 260/26 = 10
రూ.5 నోట్ల సంఖ్య = 2 X 10 = 20
రచయిత: దొర కంచుమర్తి