సాంఖ్యాక శాస్త్రం

రాశుల సరాసరి మధ్యవిలువలు పునరావృతం! 

నెలకు ఎంత ఆదాయం వస్తుందో తెలిస్తే ఇంటి బడ్జెట్‌ సరిగా ప్లాన్‌ చేసుకోవచ్చు. అందుకోసం గణితంలో రాశుల సరాసరి కట్టే అంకమధ్యమం ఉపయోగపడుతుంది. కస్టమర్ల ఆదాయాలు, కొనుగోళ్లను విశ్లేషిస్తే వారి వ్యయాల తీరుతెన్నులు తెలుస్తాయి. మధ్య విలువలను వివరించే మధ్యగతం ఆ సమాచారాన్ని అందిస్తుంది. ఎలాంటి ఉత్పత్తులు లేదా సేవలను ఎక్కువమంది వినియోగదారులు ఇష్టపడుతున్నారో గుర్తిస్తే వ్యాపారాన్ని మరింత పెంచుకోవచ్చు. అది అర్థం కావాలంటే పునరావృత రాశిని పట్టి ఇచ్చే బాహుళకాన్ని లెక్కించాలి. నిత్యజీవితంతో ముడిపడిన ఈ గణిత ప్రక్రియలన్నింటినీ సాంఖ్యాకశాస్త్ర అధ్యయనంలో నేర్చుకోవచ్చు  

* సాంఖ్యాకశాస్త్ర పితామహుడు సర్‌ రోనాల్డ్‌ ఎ.ఫిషర్‌  

*  భారత సాంఖ్యాకశాస్త్ర పితామహుడు పి.సి.మహల్‌నోబిస్‌ 

కేంద్రీయ స్థాన కొలతలు 

1) అంకగణిత సగటు 

2) మధ్యగతం 

3) బాహుళకం 

అంకగణిత సగటు 

ఎ) అవర్గీకృత దత్తాంశానికి అంకగణిత సగటు 

1)     దత్తాంశంలోని రాశులు x₁, x₂, x₃, ..... x_n అయితే 

2)     దత్తాంశంలోని రాశులు x₁, x₂, x₃, ..... x_n , వాటి పౌనఃపున్యాలు వరుసగా  f₁, f₂, f₃, ..... f_n ,  అయితే 

బి) వర్గీకృత దత్తాంశానికి అంకగణిత సగటు 

1) ప్రత్యక్ష పద్ధతి: సగటు 

_fi  = iవ తరగతి పౌనఃపున్యం 

x_i  = iవ తరగతి మార్కు (తరగతి మధ్య విలువ) 

2) విచలన పద్ధతి లేదా ఊహించిన సగటు పద్ధతి: సగటు 

a = ఊహించిన సగటు (x_i లలో ఒకటి) 

f_i = iవ తరగతి పౌనఃపున్యం 

d_i = x_i - a

x_i = iవ తరగతి మార్కు (తరగతి మధ్య విలువ) 

3) సంక్షిప్త విచలన పద్ధతి లేదా సోపాన విచలన పద్ధతి: సగటు

a = ఊహించిన సగటు (x_i లలో ఒకటి) 

f_i  = iవ తరగతి పౌనఃపున్యం 

x_i  = iవ తరగతి మార్కు (తరగతి మధ్య విలువ) 

h = తరగతి పొడవు (తరగతి అంతరం)

మధ్యగతం  

ఎ) అవర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యగతం: 

* ఇచ్చిన దత్తాంశంలోని రాశుల లేదా పరిశీలనాంశాల మధ్య విలువను మధ్యగతం అంటారు. 

దత్తాంశంలో n రాశులను ఆరోహణ క్రమంలో రాయాలి.  

* n బేసిసంఖ్య అయితే 

మధ్యగతం =  వ రాశి అవుతుంది.

* n సరిసంఖ్య అయితే మధ్యగతం  రాశుల సరాసరి

    

బి) వర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యగతం 

మధ్యగతం = 

ఏ తరగతి యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యం n/2 ను మొదటిసారి అధిగమిస్తుందో ఆ తరగతిని మధ్యగత తరగతిగా తీసుకోవాలి. 

 l = మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు 

n = దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య 

cf = మధ్యగత తరగతి ముందు తరగతి యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యం 

f = మధ్యగత తరగతి పౌనఃపున్యం 

h = మధ్యగత తరగతి పొడవు

బాహుళకం 

ఎ) అవర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకం: ఇచ్చిన పరిశీలనల్లో లేదా రాశుల్లో ఎక్కువ సార్లు పునరావృతమయ్యే రాశిని ‘బాహుళకం’ అంటారు. 

బి) వర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకం: బాహుళకం 

*  గరిష్ఠ పౌనఃపున్యం ఉన్న తరగతిని బాహుళక తరగతిగా తీసుకోవాలి. 

l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు 

f₁ = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యం 

f₀ = బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యం 

f₂ = బాహుళక తరగతి తర్వాత ఉన్న తరగతి పౌనఃపున్యం 

h = బాహుళక తరగతి పొడవు 

వివిధ కేంద్రీయ స్థాన విలువలు 

ప్రత్యేక సందర్భాలు: 

*  అంకమధ్యమం దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల విలువలను (అత్యల్ప, అత్యధిక విలువలు కూడా) పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. కాబట్టి అంకమధ్యమాన్ని అత్యంత విశ్వసనీయమైన కేంద్రీయ స్థాన విలువ అంటారు. 

*  దత్తాంశంలోని విడివిడి రాశులు, ప్రత్యేకంగా అంత్యమ రాశుల విలువలకు ప్రాముఖ్యత లేనప్పుడు మధ్యగతాన్ని అనువైన కేంద్రీయ స్థాన విలువగా తీసుకుంటారు.  

*  అనేకసార్లు పునరావృతమయ్యే బహు ప్రాముఖ్యం గల రాశులను గుర్తించాల్సిన సందర్భంలో బాహుళకాన్ని కేంద్రీయ స్థాన విలువగా తీసుకుంటారు. 

*  అంకగణిత సగటు, మధ్యగతం, బాహుళకం మధ్య అనుభావిక సంబంధం

బాహుళకం = 3(మధ్యగతం)  2(అంకగణిత సగటు)  

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1.    0, 1, 0, 9, 6, 14, 0, 10, 20 ల అంకమధ్యమం కనుక్కోండి. 

1) 4.66    2) 2.22    3) 6.66     4) 8.33 

వివరణ: అంకమధ్యమం = 

జ: 3 

 

2. మొదటి - సహజ సంఖ్యల అంకగణిత సగటు కనుక్కోండి.

జ: 1

3. x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4) రాశుల అంకగణిత సగటు కనుక్కోండి.

వివరణ: x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4)

                    x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4)
​​​​​​

జ: 1

4.    7, 16, 121, 51, 101, 81, 1, 16, 9, 11, 16 రాశుల మధ్యగతం కనుక్కోండి. 

1) 11     2) 16     3) 81     4) 7

వివరణ: ముందుగా ఇచ్చిన రాశులను ఆరోహణక్రమంలో రాసుకోవాలి. మొత్తం సంఖ్యలు 11 కాబట్టి మధ్యగతం ౌౌ వ రాశి అవుతుంది. 

1, 7, 9, 11, 16, 16, 16, 51, 81, 101, 121 

n  = 11

మధ్యగతం =  వ పదం =  = 6వ పదం = 16 

జ: 2

 

5.  1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 ల బాహుళకం ఎంత?

1) 2    2) 3    3) 4    4) 5

వివరణ: 5 ఎక్కువ సార్లు పునరావృతమైంది. కాబట్టి బాహుళకం 5 అవుతుంది. 

జ: 4

 

6.  ఒక దత్తాంశం యొక్క మధ్యగతం 5, బాహుళకం 7 అయితే అంకగణిత సగటు కనుక్కోండి. 

1) 10    2) 8    3) 6    4) 4 

వివరణ: బాహుళకం = 3(మధ్యగతం)  2(అంకగణిత సగటు)

7 = 3 x 5 - 2 (అంకగణిత సగటు) 

అంకగణిత సగటు =

జ: 4

7. 10 రాశుల సరాసరి 7, 15 రాశుల సరాసరి 12. అయితే రాశుల అంకగణిత సగటు ఎంత? 

1) 7   2) 12   3) 10   4) 15 

వివరణ: m రాశుల యొక్క అంకమధ్యమం a

n రాశుల యొక్క అంకమధ్యమం b 

అయితే (m + n) రాశుల అంకమధ్యమం =

10 రాశుల సరాసరి 7

15 రాశుల సరాసరి 12

అయితే రాశుల అంకమధ్యమం 

జ: 3 

8.  మొదటి 5 ప్రధాన సంఖ్యల అంకమధ్యమం ఎంత?  

1) 5.6    2) 6.5    3) 3    4) 4 

వివరణ: మొదటి 5 ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11 

అంకమధ్యమం =  

జ: 1

9. మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల వ్యాప్తి కనుక్కోండి.

1) 66    2) 98    3) 97    4) 99 

వివరణ: వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ - కనిష్ఠ విలువ = 100 - 1 = 99

జ: 4

10. x, x + 3, x + 6, x + 9, x + 12  ల అంకగణిత సగటు 10 అయితే x  = ...

1) 1    2) 2    3) 3    4) 4 

జ: 4

ప్రాక్టీస్‌ బిట్లు 
 

1.  x₁ + 4, x₂ + 8, x₃ + 12, .... x₁₀ + 40 రాశుల సగటు 44. అయితే  x₁ + 2, x₂ + 4, x₃ +6...x₁₀ + 20 రాశుల సగటు ఎంత? 

1) 22   2) 29   3) 31  4) 39 

2.   x₁ ,x_2, ....x₁₀ రాశుల సగటు 8. ప్రతి రాశిని 2కు పెంచగా కొత్తరాశుల సగటు ఎంత?     

1) 10   2) 11   3) 12   4) 8 

3.  20 పరిశీలనాంశాల సగటు 12.5, పొరపాటున ఒక అంశం 15కు బదులు -15 అని నమోదుచేశారు. అయితే సరైన సగటు ఎంత? 

1) 12.5   2) 11   3) 14   4) 13 

 

4.  4, 6, a, 9, 10, 19 దత్తాంశానికి మధ్యగతం 7.5 అయితే a విలువ ఎంత? 

1) 6   2) 10   3) 7   4) 8 

 

5.   దత్తాంశానికి మధ్యగతం 8 అయితే x విలువను కనుక్కోండి. 

1) 24   2) 18   3) 27   4) 51 

6.  మొదటి పది ప్రధాన సంఖ్యల మధ్యగతం? 

1) 11   2) 13   3) 12   4) 10 

7. అంకమధ్యమం 40, మధ్యగతం 37 అయితే బాహుళకం ఎంత? 

 1) 31   2) 32   3) 33   4) 34 

8. 100 సంఖ్యల్లో 4లు 20, 5లు 40, 6లు 30 మిగిలినవి 10లు అయితే ఆ దత్తాంశానికి అంకగణిత సగటు ఎంత? 

1) 3.5    2) 5.6    3) 4.7    4) 5.8 

 

9.  చెప్పుల దుకాణాలు, గాజుల షాపుల్లో ఎక్కువగా ఉపయోగించే కేంద్రస్థాన విలువ? 

1) వ్యాప్తి   2) అంకమధ్యమం   3) బాహుళకం   4) మధ్యగతం 

10. ఒక క్రికెట్‌ బ్యాట్స్‌మెన్‌ తన 13వ మ్యాచ్‌లో 60 పరుగులు చేయడం వల్ల సగటు పరుగుల సంఖ్య 2 పెరిగింది. అయితే 13వ మ్యాచ్‌ తర్వాత అతడి సగటు ఎంత? 

1) 35   2) 36   3) 37   4) 39 

సమాధానాలు: 1-3, 2-1, 3-3, 4-1, 5-1, 6-3, 7-1, 8-2, 9-3, 10-2.

రచయిత: డి.సీహె.రాంబాబు