నిష్పత్తి - అనుపాతం

¤ ఒకే రకమైన రెండు రాశుల్లో మొదటిది, రెండోదాంతో ఎన్నిరెట్లు ఉందో పోల్చి చెప్పే గణిత ప్రక్రియను 'నిష్పత్తి' అంటాం.

¤ a, b లు ఒకే రకమైన రెండు రాశులు అయితే వాటి నిష్పత్తిని a : b అని రాస్తాం.  అని భిన్న రూపంలో చూపిస్తాం.

¤ a : b నిష్పత్తిలో aను పూర్వపదమని, bని పరపదమని అంటారు.

నిష్పత్తులు - రకాలు

వర్గ నిష్పత్తి: a : b యొక్క వర్గ నిష్పత్తి a² : b²

వర్గమూల నిష్పత్తి: a : b యొక్క వర్గమూల నిష్పత్తి  

ఘన నిష్పత్తి: a : b యొక్క ఘన నిష్పత్తి a³ : b³

ఘనమూల నిష్పత్తి: a : b యొక్క ఘనమూల నిష్పత్తి 

అనుపాతం: రెండు నిష్పత్తుల సమానత్వాన్ని అనుపాతం అంటాం.
       a : b = c : d అయితే, a : b : : c : d అని రాస్తాం.
       a : b : : c : d  ad = bc (అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యముల లబ్ధం)

అనుపాతం - రకాలు
మధ్యమానుపాతం (Mean proportional): a, b ల యొక్క మధ్యమానుపాతం అవుతుంది.

తృతీయ లేదా మూడో అనుపాతం (Third Proportional): a : b = b : c అయితే cని a, bల తృతీయ అనుపాతం అంటారు. అంటే  
చతుర్థానుపాతం (Fourth Proportional): a : b = c : d అయితే, d ని చతుర్థానుపాతం అంటారు. అంటే   

విలోమ నిష్పత్తి: a : b యొక్క విలోమ నిష్పత్తి  

 

బహుళ నిష్పత్తి: ఏవైనా రెండు నిష్పత్తుల్లో పూర్వపదాల లబ్ధానికి, పరపదాల లబ్ధానికి ఉన్న నిష్పత్తిని ఆ రెండు నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి అంటారు.
    a : b, c : dలు ఏవైనా రెండు నిష్పత్తులు అయితే వాటి బహుళ నిష్పత్తి ac : bd అవుతుంది.

మాదిరి సమస్యలు

1. 5, 8, 15 లకు చతుర్థానుపాత సంఖ్య ఎంత?
సాధన: చతుర్థానుపాతం   

2. 16, 36ల తృతీయానుపాత సంఖ్య ఎంత?
సాధన: తృతీయానుపాతం   

3. ఒక మ్యాచ్‌లో రాహుల్, రమేష్ పరుగుల నిష్పత్తి 13 : 7. రమేష్, రాహుల్ కంటే 48 పరుగులు తక్కువ చేశాడు. అయితే వారి పరుగులు విడివిడిగా ఎంత?
సాధన: రాహుల్, రమేష్‌ల పరుగుల నిష్పత్తి 13 : 7
  రాహుల్ చేసిన పరుగులు = 13x; రమేష్ చేసిన పరుగులు = 7x
దత్తాంశం నుంచి, వారి పరుగుల మధ్య తేడా 48.
కాబట్టి 13x - 17x = 48
 6x = 48

  రాహుల్ చేసిన పరుగులు = 13 × 8 = 104
     రమేష్ చేసిన పరుగులు = 7 × 8 = 56

4. రూ.784 ను నాలుగు భాగాలుగా విభజించారు. మొదటి భాగానికి 4 రెట్లు -  రెండో భాగానికి మూడు రెట్లు, మూడో భాగానికి రెట్టింపు, నాలుగోభాగానికి 12 రెట్లకు సమానంగా ఉండేలా ఆ విభజన ఉంది. ఒక్కో భాగం విలువ ఎంత?
సాధన: a, b, c, dలను విభజించి 4 భాగాలుగా అనుకుంటే దత్తాంశం నుంచి,
          4a = 3b = 2c = 12d .............. (1)
           a + b + c + d = 784 .............. (2)

(1) నుంచి 4a = 12d                   3b = 12d                               2c = 12d
         a = 3d                     3b = 12d                          c = 6d
    a, b, c విలువలను (2)లో ప్రతిక్షేపిస్తే
    3d + 4d + 6d + d = 784
     14d = 784

  a = 3d = 3(56) = 168;
b = 4d = 4(56) = 224;
c = 6d = 6(56) = 336.
  రూ.784 ను 4 భాగాలుగా విభజిస్తే ఒక్కోభాగం విలువ వరుసగా రూ.168, రూ.224, రూ.336, రూ.56

5. 200 మంది బాలురు, 300 మంది బాలికలు ఒక విందుకు వెళ్లారు. ఒక బాలుడు, ఒక బాలికకు అయ్యే ఖర్చుల నిష్పత్తి 3 : 2. విందుకయ్యే మొత్తం ఖర్చు రూ.18,000 అయితే ఒక్కో బాలుడు, బాలికకు అయ్యే ఖర్చు ఎంత?
సాధన: విందుకు వెళ్లిన మొత్తం బాలుర సంఖ్య = 200, బాలికల సంఖ్య = 300

ఒక్కో బాలుడు, బాలికకు అయ్యే ఖర్చుల నిష్పత్తి = 3 : 2
  ప్రతి ఒక్క బాలుడిపై అయ్యే ఖర్చు = రూ.3x
     ప్రతి ఒక్క బాలికపై అయ్యే ఖర్చు = రూ.2x
  200 మంది బాలురపై అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 3x × 200 = రూ.600 x
     300 మంది బాలికలపై అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 2x × 300 = రూ.600 x
     మొత్తం ఖర్చు = రూ. 18,000లు కాబట్టి         600x + 600x = 18,000
 రూ.1200x = 18,000

    ప్రతి ఒక్క బాలుడిపై అయ్యే ఖర్చు = 3 × 15 = రూ.45
    ప్రతి ఒక్క బాలికపై అయ్యే ఖర్చు = 2 × 15 = రూ.30

6. ఒక పర్సులో రూ.10, రూ.20, రూ.100 ల నాణేలున్నాయి. వాటి నిష్పత్తి 1 : 2 : 1. ఆ పర్సులో ఉన్న మొత్తం సొమ్ము రూ.750 అయితే రూ.20 నాణేల సంఖ్య ఎంత?
సాధన: పర్సులోని రూ.10, రూ.20, రూ.100 ల నాణేల సంఖ్య x, y, z అనుకుంటే

    10x + 20y + 100z = 750 ............ (1)
     x : y : z = 1 : 2 : 1
  x = k; y = 2k; z = k అవుతుంది.
    x, y, z విలువలను (1)లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
    10 k + 20(2k) + 100 k = 750
  150 k = 750

 k = 5
  రూ.20 విలువ ఉన్న నాణేల సంఖ్య = 2k = 2(5) = 10

7. ఒక వజ్రం విలువ రూ. 5,07,000. ఆ వజ్రం కిందికి పడిపోవటం వల్ల మూడు ముక్కలు అయితే, వాటి బరువుల నిష్పత్తి 2 : 4 : 7. వజ్రం విలువ దాని బరువు వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటే, వజ్రం పగిలిపోవడం వల్ల దాని విలువలో తగ్గుదల ఎంత?
సాధన: వజ్రం కింద పడి, మూడు ముక్కలుగా విరిగిన తర్వాత వాటి బరువుల నిష్పత్తి = 2 : 4 : 7
  ఒక్కో ముక్క బరువు 2x, 4x, 7x అనుకుంటే

  వజ్రం మొత్తం బరువు (w) = 2x + 4x + 7x = 13x
  దత్తాంశం నుంచి విలువ   (బరువు)²
  v  

 w²
  v = kw²
  v = k(13x)2
 v = 169 kx²
 5,07,000 = 169 kx²

 3 ముక్కల మొత్తం విలువ = k(2x)² + k(4x)² + k(7x)²
                           = 4x²k + 16x²k + 49x²k
                           = 69x²k
                           = 69(3,000)
                           = రూ. 2,07,000
  నష్టం = రూ.5,07,000 - 2,07,000 = రూ. 3,00,000

8. కొంత మొత్తాన్ని A, B, Cలకు 4 : 5 : 6 నిష్పత్తిలో పంచాల్సి ఉండగా, పొరపాటున   నిష్పత్తిలో పంచారు. దీని కారణంగా C కి రావలసిన దానికంటే రూ.12,000 తక్కువ వచ్చింది. C వాటా ఎంత?
సాధన: రూ. x మొత్తాన్ని A, B, C ల మధ్య పంచాల్సిన వాస్తవ నిష్పత్తి = 4 : 5 : 6
   C వాస్తవ వాటా  
  కానీ, A, B, Cల మధ్య పంచిన నిష్పత్తి =  
  4, 5, 6ల కసాగు 60 కాబట్టి, A, B, C ల మధ్య పంచిన నిష్పత్తి = 15 : 12 : 10
 C వాటా  

 
పంచాల్సిన మొత్తం = రూ. x
దత్తాంశం నుంచి   
    

  24x = 12,000 × 5 × 37

  C వాస్తవ వాటా   =  రూ. 37,000

9. A, B ల నెలవారీ ఆదాయాల నిష్పత్తి 5 : 6, ఖర్చుల నిష్పత్తి 4 : 3. A తన ఆదాయంలో 1/5వ వంతు దాచాడు. అయితే వారి పొదుపుల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన: A, B ల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 5 : 6
A ఆదాయం =  రూ.5x
B ఆదాయం = రూ.6x
A, B ల ఖర్చుల నిష్పత్తి = 4 : 3
A ఖర్చు = రూ. 4y
B ఖర్చు = రూ.3y
A దాచిన సొమ్ము = రూ.(5x - 4y)
B దాచిన సొమ్ము = రూ.(6x - 3y)
కానీ, A దాచిన సొమ్ము తన ఆదాయంలో 1/5వ వంతు కాబట్టి
5x - 4y =   (5x)

 5x - 4y = x
 4x = 4y
 x = y
A, B దాచిన సొమ్ముల నిష్పత్తి = రూ. (5x - 4x) : (6y - 3y) = 1 : 3

10. ఒక బ్యాగులో 50 పైసలు, 25 పైసలు, 10పైసల నాణేల నిష్పత్తి 5 : 9 : 4. బ్యాగులో ఉన్న మొత్తం సొమ్ము రూ.206 అయితే ఒక్కో రకం నాణేల సంఖ్య ఎంత?
సాధన: బ్యాగులో ఉన్న 50, 25, 10 పైసల నాణేల నిష్పత్తి = 5 : 9 : 4
           50, 25, 10 పైసల నాణేల సంఖ్య = 5x, 9x, 4x
           వాటి మొత్తం విలువ =                   

కానీ, దత్తాంశం నుంచి     = 206
 50 x + 45 x + 8 x = 4120
 103 x = 4120

  50 పైసల నాణేల సంఖ్య = 5x = 5 × 40 = 200
25 పైసల నాణేల సంఖ్య = 9x = 9 × 40 = 360
10 పైసల నాణేల సంఖ్య = 4x = 4 × 40 = 160