గురుత్వం సమక్షంలో చలనం

* వస్తువును భూమిపై నుంచి కొంత వేగంతో పైకి విసిరితే అది భూమి ఆకర్షణ కారణంగా తిరిగి కిందికి పడుతుంది.

* వస్తువు చలనాన్ని వివరించడానికి ఒకే అక్షం అవసరమైతే, అది ఏకమితీయ చలనం లేదా రెండు అక్షాలు అవసరమైతే అది ద్విమితీయ చలనం.

* నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు, స్వేచ్ఛగా కిందికి పడే వస్తువులు ఏకమితీయ చలనానికి ఉదాహరణలు. 

* ఒక వస్తువును భూమి ఉపరితలానికి కొంత కోణంతో పైకి విసిరితే,  దాని చలనాన్ని ద్విమితీయ చలనానికి ఉదాహరణగా పేర్కొంటారు.

* గురుత్వాకర్షణతో పైకి వెళ్లే వస్తువు వేగం క్రమంగా తగ్గితే, స్వేచ్ఛాపతనానికి వేగం క్రమంగా పెరుగుతుంది. కాబట్టి పైకి వెళ్లే వస్తువుకు ఉండే త్వరణం '-g' అయితే కిందికి పడే వస్తువుకు '+g'  అవుతుంది. 

* గురుత్వాకర్షణ అన్ని వస్తువులపై సమానంగా పనిచేస్తుంది. దీంతో పై చలనాలన్నీ సమత్వరణాన్ని (g) కలిగి ఉంటాయి. 

* 400 సంవత్సరాల క్రితం, గెలీలియో అనే శాస్త్రవేత్త వేర్వేరు ద్రవ్యరాశితో ఉన్న రెండు ఫిరంగి గుండ్లను, పీసా టవర్‌ నుంచి ఏకకాలంలో వదిలితే, అవి రెండూ భూమిని ఒకేసారి చేరతాయని నిరూపించారు. ఈ సందర్భాలన్నింటిలో, గాలి కలగజేసే వ్యతిరేక బలాన్ని పరిగణించం. 

స్వేచ్ఛా పతన వస్తువు విషయంలో చలన సమీకరణాలు

నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు విషయంలో చలన సమీకరణాలు

నిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు వేగం క్రమంగా తగ్గి, గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద శూన్యమై తిరుగు ప్రయాణం అవుతుంది.

  నిట్టనిలువుగా విసిరిన వస్తువు గరిష్ఠ ఎత్తును చేరడానికి పట్టే ఆరోహణ కాలం 

ప్రక్షేపకం (Projectile)

సాధారణంగా వస్తువులను నిట్టనిలువుగా పైకి విసరడం కష్టం. కానీ, భూమి ఉపరితలానికి కొంత కోణంతో పైకి విసరొచ్చు. వస్తువులను కొంత కోణం  తో పైకి విసిరితే ఆ వస్తువు చలనాన్ని ప్రక్షేపక చలనం అంటారు.

ఉదా: కప్ప దూకడం, ఫీల్డర్‌ బంతిని కీపర్‌ వైపు విసరడం, ఈటెలను విసరడం, లాంగ్‌ జంప్‌ చేయడం, ఫుట్‌బాల్‌ని గోల్‌పోస్ట్‌లోకి తన్నడం, ఫిరంగి గుండును పేల్చడం మొదలైనవి.

ప్రక్షేపకం చలనం ద్విమితీయ (2D) చలనం. తలంలో వస్తువు చలనానికి (motion in a place) ఇది ఉదాహరణ. ప్రక్షేపకం చలనాన్ని వివరించడానికి రెండు నిరూపక అక్షాలు (X, Y) అవసరం. రెండు అక్షాలపై చలనాలు స్వతంత్రాలు. అంటే ఒకదానిపై ఉండే చలనాన్ని మరొక అక్షంపై ఉండే చలనం ప్రభావితం చేయదు.

   ప్రక్షేపక కోణంతో పైకి విసిరిన వస్తువుపై కేవలం గురుత్వాకర్షణ బలం మాత్రమే పనిచేస్తుంది. దీంతో దాని వేగం Y అక్షం దిశలో క్రమంగా తగ్గి, గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద శూన్యమై, తిరిగి పెరుగుతుంది. కానీ X అక్షం దిశలో దాని వేగం అంశం స్థిరంగా ఉంటుంది. 

ప్రక్షేపకం పరావలయం పథంలో ప్రయాణించి భూమిని చేరుతుంది.

* X అక్షంపై ప్రక్షేపకం ప్రయాణించే దూరం 

ఇక్కడ u = తొలివేగం, g = గురుత్వ త్వరణం

* ఒకే R విలువకు సాధ్యమయ్యే ప్రక్షేపక కోణాలు రెండు. అవి వరుసగా 

ఉదా: 23^o, 67^o

* వస్తువును 

కోణంతో విసిరితే అది గరిష్ఠ వ్యాప్తిని పొందుతుంది. క్రికెట్‌ బ్యాట్స్‌మెన్‌ సులభంగా క్యాచ్‌ అవుట్‌ కాకుండా సిక్సర్‌ కొట్టాలంటే అతను 45^o వాలు కోణంతో బంతిని బ్యాట్‌తో కొట్టాలి.

*  Y అక్షం దిశలో పొందే గరిష్ఠ స్థానభ్రంశం ‘గరిష్ఠ ఎత్తు’ (H)కి సమానం.

* గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద వేగం, గతిజ శక్తి, ద్రవ్యవేగాలు శూన్యం కావు.

* ప్రక్షేపకం పలాయన కాలం  

*  అయితే ప్రక్షేపకం నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు అవుతుంది.

* ఒక వస్తువును కొంత ఎత్తు నుంచి క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరితే అది పరావలయ మార్గంలో ప్రయాణించి కొంత దూరంలో పడిపోతుంది. దీనిపై కూడా నిలువు ్బ్త్ర - అక్షం) దిశలో మాత్రమే త్వరణం పనిచేస్తుంది.

ఉదా: తుపాకీ నుంచి వచ్చిన బుల్లెట్, రాకెట్‌ ప్రయోగం, కొంత ఎత్తులో ఎగురుతున్న విమానం నుంచి వదిలిన వస్తువు.

* దీనికి కూడా రెండు అక్షాల్లో చలన సమీకరణాలను అనువర్తింపజేస్తే కింది ఫలిత సమీకరణాలను పొందొచ్చు.

అవి:

1. పలాయన కాలం గి = ఒౌౌ

2. క్షితిజ సమాంతర దిశలో స్థానభ్రంశం లేదా 

3. భూమిని తాకే సమయంలో వస్తువు వేగం 

* ఇది నిట్టనిలువుగా h ఎత్తుకు విసిరిన వస్తువు విషయంలో అది తిరిగి భూమిని చేరే తుది వేగానికి సమానం.  

* ఒక వ్యక్తి h ఎత్తు ఉన్న శిఖరంపై ఉన్నాడు. అతడి వద్ద రెండు బంతులు ఉన్నాయి.   వాటిలో ఒక దాన్ని స్వేచ్ఛగా వదిలి, మరొక దాన్ని అదే క్షణంలో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరితే అవి రెండూ ఒకేసారి ఒకే వేగంతో  భూమిని చేరతాయి.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. 14 మీ. వ్యాసార్ధంతో ఉండే వృత్త పరిధిపై ఒక వ్యక్తి పావు చుట్టు తిరిగి వస్తే, అతని స్థానభ్రంశం ఎంత?

1) 28 మీ.     2)

 

3) 88 మీ.     4) 44 మీ.

2. 9.8 మీ./సె. వేగంతో నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువు ఎంతకాలం తర్వాత భూమిని చేరుతుంది? (గాలి వల్ల కలిగే ఘర్షణ శూన్యం.్శ

1) 1 సె.   2) 4.9 సె.   3) 2 సె.   4) 3 సె.

3. స్వేచ్ఛగా కిందికి పడే వస్తువు 1వ, 2వ, 3వ, 4వ..... సెకన్లలో ప్రయాణించే దూరాల నిష్పత్తి ఎంత?

1) 1 : 2 : 3 : 4...    2) 1 : 3 : 5 : 7... 

3) 2 : 4 : 6 : 8...

4)  

4. ఒకే వ్యాప్తి, వేర్వేరు గరిష్ఠ ఎత్తులను కలిగిన రెండు ప్రక్షేపకాల తొలి ప్రక్షేపక కోణాలు...

1) 20^o, 40^o     2) 30^o, 90^o 

3) 60^o, 120^o    4) 30^o, 60^o 

5. వక్రమార్గంలో స్థిర వడితో ప్రయాణించే వస్తువు విషయంలో...

ఎ) వేగం స్థిరం 

బి) వేగం మారుతూ ఉంటుంది

సి) త్వరణం శూన్యం 

డి) త్వరణం ఉంటుంది

1) ఎ  2) బి, సి  3) ఎ, సి  4) బి, డి

6. ప్రక్షేపకం విషయంలో కింది వాటిలో సరైంది ఏది?

1) గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద వేగం శూన్యం

2) గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద త్వరణం శూన్యం

3) X - అక్షం దిశలో వేగం స్థిరం

4) Y - అక్షం దిశలో వేగం స్థిరం

సమాధానాలు

1 - 2    2 - 3    3 - 2    4 - 4    5 - 4    6 - 3