దిక్కులు చూస్తే మార్కులు!

ఎవరికైనా ఏదైనా ఒక చిరునామా లేదా  ప్రాంతం గురించి చెప్పేటప్పుడు కచ్చితంగా దిక్కులతో సహా వివరిస్తుంటారు. అప్పటికి ఉన్న ప్రదేశం నుంచి ఎటు వైపు తిరిగి ఏ దిశలో వెళ్లాలో కూడా చెప్పేస్తుంటారు. అన్ని దిక్కులు అందరికీ తెలిసినవే. అయినప్పటికీ రీజనింగ్‌లో వచ్చే ప్రశ్నలు చదివి మాత్రం తప్పకుండా కాసేపు దిక్కులు చూడాల్సి వస్తుంది. కంగారు పడాల్సింది ఏమీ లేదు. దిక్కులను శ్రద్ధగా చూస్తూ, కొన్ని గణిత ప్రక్రియలు నేర్చుకొని ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే తేలిగ్గానే సమాధానాలు రాబట్టవచ్చు. 

దిక్కులు మొత్తం 8. వీటిలో ప్రధానమైనవి 4. అవి..

 
*  ఒక వ్యక్తి ఉత్తర దిశకు అభిముఖంగా ఉన్నప్పుడు అతడికి ఎడమ వైపున ఉండే దిక్కు పడమర. అతడి కుడి వైపు ఉండే దిక్కు తూర్పు.

*  ఏదైనా దిశకు అభిముఖంగా ఉన్న వ్యక్తి ఎడమ వైపు లేదా కుడి వైపు తిరిగాడు అంటే అతడు 90^o ల కోణంతో తిరిగాడు అని భావిస్తాం.

*  ప్రతి రెండు వరుస దిక్కులు లేదా మూలల మధ్య ఏర్పడే కోణం 90^o.

*  ఏదైనా ఒక ప్రధానమైన దిక్కు, దాని వెనువెంటనే వచ్చే మూలల మధ్య కోణం 45^o.

*  ఉత్తరం + కుడి వైపు (90^o) = తూర్పు

*  తూర్పు + ఎడమ వైపు (45^o) = ఈశాన్యం

*  దక్షిణం + కుడి వైపు (180^o) = ఉత్తరం

*  నైరుతి + ఎడమ వైపు (135^o) = తూర్పు

పైథాగరస్‌ సూత్రం:

    ఒక వ్యక్తి పటంలో చూపిన విధంగా A అనే ప్రదేశం నుంచి బయలుదేరి Bని చేరాడు. ఆ తర్వాత B నుంచి C ని చేరాడు. ఇప్పుడు అతడు ప్రయాణించిన దూరం కనుక్కోవడానికి పైథాగరస్‌ సూత్రం ఉపయోగిస్తాం. ఈ దూరం ఆ రెండు బిందువుల మధ్య ఉన్న కనిష్ఠ దూరానికి సమానం.

నీడలు

ఉదయం సమయం

*  సూర్యోదయ సమయానికి తూర్పునకు అభిముఖంగా ఉన్న ఒక వ్యక్తి నీడ ఎల్లప్పుడూ అతడికి వెనుకవైపు అంటే పడమర వైపు ఉంటుంది.

*  సూర్యోదయ సమయానికి ఉత్తరానికి అభిముఖంగా ఉన్న ఒక వ్యక్తి నీడ ఎల్లప్పుడూ అతడికి ఎడమవైపు అంటే పడమర వైపు ఉంటుంది.

*  ఉదయం సమయంలో వ్యక్తి/వస్తువు నీడ ఎల్లప్పుడూ పడమర వైపు ఉంటుంది.

సాయంత్రం సమయం

*  సూర్యాస్తమయ సమయానికి పడమర వైపు అభిముఖంగా ఉన్న ఒక వ్యక్తి నీడ ఎల్లప్పుడూ అతడి వెనుకవైపు అంటే తూర్పు వైపు ఉంటుంది.

*  సాయంత్రం సమయంలో వ్యక్తి/వస్తువు నీడ ఎల్లప్పుడూ తూర్పు వైపు ఉంటుంది.

*  మిట్టమధ్యాహ్న సమయానికి సూర్యుడి కిరణాలు నిట్టనిలువుగా పడటం వల్ల ఏ విధమైన నీడ ఏర్పడదు.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. ఒక వ్యక్తి దక్షిణ దిశగా ప్రయాణాన్ని ప్రారంభించి, మొదట ఎడమ వైపు తిరిగాడు. ఆ తర్వాత కుడి వైపు, కుడి వైపు, ఎడమ వైపు, కుడి వైపు, కుడి వైపు, ఎడమ వైపునకు మలుపులు తిరుగుతూ చివరగా కుడి వైపునకు తిరిగి గమ్యస్థానం చేరాడు. ప్రస్తుతం అతడు ఏ దిశకు అభిముఖంగా ఉన్నాడు?

    1) తూర్పు     2) పడమర     3) ఉత్తరం     4) దక్షిణం

సమాధానం: 3

సంక్షిప్త పద్ధతి: ప్రశ్నల్లో ఇచ్చిన ఒక ఎడమకి, ఒక కుడిని కొట్టివేసి మిగిలిన ఎడమ లేదా కుడి వైపులను వ్యక్తి ప్రయాణిస్తున్న దిశకు అనువర్తింపజేయాలి.

    కుడి + కుడి = 180^o

    దక్షిణం + 180^o (కుడి) = ఉత్తరం

2.  ఒక వ్యక్తి పడమర దిశగా తన ప్రయాణాన్ని ప్రారంభించి మొదట 45^o తో కుడి వైపు తిరిగాడు. ఆ తర్వాత 135^o తో కుడి వైపు, 90^o తో ఎడమ వైపు, 180^o తో కుడి వైపు, 135^o తో ఎడమ వైపు తిరిగి చివరగా 90^o తో మళ్లీ ఎడమ వైపు తిరిగి గమ్యస్థానం చేరాడు. అయితే ఆ వ్యక్తి ప్రస్తుతం ఏ దిశకు అభిముఖంగా ఉన్నాడు?

    1) నైరుతి      2) వాయవ్యం     3) దక్షిణం     4) ఈశాన్యం

సమాధానం: 2

సాధన: కుడి వైపు, ఎడమ వైపు తిరిగిన కోణాల మొత్తాల భేదాన్ని కనుక్కోవాలి. ఆ భేదం ఎడమలో మిగిలితే ఎడమ వైపు నుంచి లేదా కుడిలో మిగిలితే కుడి వైపు నుంచి వ్యక్తి ప్రారంభంలో ప్రయాణించిన దిశకు అనువర్తింపజేయాలి.

    360^o - 315^o = 45^o
    ∴ 45^o కుడి వైపు మిగిలింది కాబట్టి 
    పడమర + కుడి వైపు (45^o) = వాయవ్యం

3. రాజు ఇంటి నుంచి బయలుదేరి 30 కి.మీ. దక్షిణం వైపు నడిచాడు. ఆ తర్వాత ఎడమ వైపు తిరిగి 7 కి.మీ., మళ్లీ అక్కడి నుంచి 6 కి.మీ. ఉత్తర దిక్కుగా నడిచి ఆఫీస్‌ చేరుకున్నాడు. అయితే ఆఫీస్‌ నుంచి రాజు ఇంటికి ఉండే దిశ, దూరం కనుక్కోండి. 

    1) ఆగ్నేయం, 25 కి.మీ.    2) వాయవ్యం, 26 కి.మీ.       3) నైరుతి, 25 కి.మీ.      4) వాయవ్యం, 25 కి.మీ.

సమాధానం: 4

పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతం నుంచి

    AE² = AB² + BE²

           = 24² + 7²

           = 576 + 49

  AE² = 625

  AE = √625

         = 25 కి.మీ.

    ప్రస్తుతం ప్రయాణిస్తున్న దిశ ఉత్తరం కానీ, బయలుదేరిన స్థానం దృష్ట్యా వాయవ్య దిశ. 

4.  ఒక వ్యక్తి ప్రారంభ స్థానం నుంచి ఉత్తరం వైపు 3 కి.మీ., అక్కడి నుంచి పడమర వైపు 2 కి.మీ. నడిచాడు. అక్కడి నుంచి ఉత్తరం వైపు ఒక           కి.మీ., అక్కడి నుంచి తూర్పు వైపు 5 కి.మీ. నడిస్తే, అతడు ప్రారంభ స్థానం నుంచి ఎంతదూరంలో ఉన్నాడు?

    1) 5 కి.మీ.       2) 10 కి.మీ.    3) 8 కి.మీ.    4) 7 కి.మీ.

సమాధానం: 1

    AE =  4 కి.మీ., EF = 3 కి.మీ.

    AF² = AE²  + EF²     

           = 4² + 3²

           = 16 + 9

    AF²  = 25

   AF = √25 = 5 కి.మీ.

5. మోహన్‌ 5 కి.మీ దక్షిణం వైపు నడిచి, ఎడమ వైపు తిరిగి 4 కి.మీ. నడిచి, కుడి వైపు తిరిగి 3 కి.మీ, ఎడమ వైపు తిరిగి 5 కి.మీ, మళ్లీ ఎడమ వైపు తిరిగి 3 కి.మీ. నడిచి చివరగా కుడి వైపు తిరిగి 3 కి.మీ. నడిచి గమ్యస్థానం చేరాడు. అయితే అతడు బయలుదేరిన స్థానం నుంచి ఎంతదూరంలో ఉన్నాడు?

    1) 5 కి.మీ.     2) 12 కి.మీ.     3) 4 కి.మీ.    4) 13 కి.మీ.

సమాధానం: 4

    CF = 5 కి.మీ., BG = 12 కి.మీ., AB = 5 కి.మీ. 

    AG²  = AB² + BG²  

           = 5² + 12²

           = 25 + 144

           = 169

    AG = √169 = 13 కి.మీ.

రచయిత: గోలి ప్రశాంత్‌ రెడ్డి