• facebook
  • whatsapp
  • telegram

ఘనం - 2 

సమ ముఖాల సమూహం!


రోడ్డు మీద నడుచుకుంటూ వెళుతుంటే కనిపించే భవనాలు, చెట్లు, రాళ్లు అన్నీ త్రిమితీయ జ్యామితీయ రూపమే. బిల్డింగుల అన్ని వైపుల్లో గోడలపై రకరకాల రంగులు వేసి ఉంటాయి. కాసేపు శ్రద్ధగా పరిశీలిస్తే ఏ రంగు, ఏవైపు, ఎంత భాగం, ఏవిధంగా వేసి ఉందో ఎవరైనా చెప్పేస్తారు. ఇలాంటిదే  రీజనింగ్‌లో ‘ఘనం’ అనే పాఠం. సమమైన ముఖాలు, మూలలు, అంచులు, రంగులు అంటూ కాస్త కంగారు పెట్టినప్పటికీ, నిత్య జీవిత ఉదాహరణలు గుర్తుతెచ్చుకొని, కొన్ని మౌలికాంశాలను తెలుసుకుంటే తేలిగ్గా మార్కులు సాధించుకోవచ్చు. 


ఘనం (క్యూబ్‌) అనేది ఒక త్రిమితీయ జ్యామితీయ (త్రీ డైమెన్షనల్‌) పటం. దీనిలో పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు సమానం. ఘనానికి 6 ముఖాలు, 8 మూలలు, 12 అంచులు ఉంటాయి.

ఒక ఘనానికి ఉన్న 6 ముఖాలపై ఒకే రకమైన లేదా విభిన్న రంగులు వేసి దాన్ని చిన్న చిన్న యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత లభించే వివిధ రకాల పటాల అనువర్తనాలను తెలుసుకుందాం.

ఒక ఘనానికి ఉన్న 6 ముఖాలపై రంగులు వేసి వాటిని చిన్న చిన్న యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత ప్రధానంగా 4 సందర్భాలు ఎదురవుతాయి. అవి.


1) మూడు వైపులా రంగు వేసిన యూనిట్‌ ఘనాలు

2) రెండు వైపులా రంగు వేసిన యూనిట్‌ ఘనాలు

3) ఒక వైపు రంగు వేసిన యూనిట్‌ ఘనాలు

4) ఏ వైపునా రంగు వేయని యూనిట్‌ ఘనాలు


పెద్ద ఘనాన్ని యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత మూడువైపులా రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలు అనేవి పెద్ద ఘనం మూలల వద్ద మాత్రమే కేంద్రీకృతమై ఉంటాయి.

 ప్రతి పెద్ద ఘనానికి 8 మూలలు ఉంటాయి. అందువల్ల మూడు వైపులా రంగులు వేసిన చిన్నఘనాల (యూనిట్‌ ఘనాలు) సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ 8.

 పెద్ద ఘనాన్ని యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత కేవలం రెండువైపులా రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలనేవి పెద్దఘనం అంచుల వద్ద మాత్రమే కేంద్రీకృతమవుతాయి.

 పెద్ద ఘనాన్ని యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత రెండువైపులా రంగు వేసిన చిన్న ఘనాల సంఖ్య = (n - 2) x 12

 పెద్ద ఘనాన్ని యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత కేవలం ఒక ముఖానికి మాత్రమే రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలు అనేవి పెద్దఘనం ముఖాలపైనే కేంద్రీకృతమవుతాయి.

 పెద్ద ఘనాన్ని యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత కేవలం ఒక ముఖానికి మాత్రమే రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలు = (n - 2)x 6

 పెద్ద ఘనాన్ని యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత ఏ ముఖానికీ రంగు వేయని చిన్న ఘనాలు పెద్దఘనం లోపల కేంద్రీకృతమవుతాయి.


పెద్ద ఘనాన్ని యూనిట్‌ ఘనాలుగా విభజించిన తర్వాత ఏ ముఖానికి కూడా రంగు వేయని చిన్నఘనాల సంఖ్య = (n - 3)2 ఇక్కడ n అంటే



మాదిరి ప్రశ్నలు


1.   4 సెం.మీ. భుజం ఉన్న ఒక ఘనం అన్ని ముఖాలపై రంగులు వేసి 1 సెం.మీ. భుజంగా ఉన్న చిన్న ఘనాలుగా విభజిస్తే ఏర్పడే చిన్న ఘనాల సంఖ్య ఎంత?

    1) 64      2) 36      3) 16      4) 216

సమాధానం: 1

వివరణ: చిన్న ఘనాల సంఖ్య = (భుజం)3 = 43 = 64 

2. ఒక ఘనానికి అన్నివైపులా నీలం రంగు వేసిన తర్వాత దాన్ని 125 సమానమైన చిన్న ఘనాలుగా కత్తిరించారు. వాటిలో ఎన్ని చిన్న ఘనాలకు ఒకే ఒక ముఖంపై రంగు వేసి ఉంటుంది?

    1) 27      2) 16      3) 54      4) 80

సమాధానం: 3

వివరణ: 125 = 53 ⇒ n = 5

ఒక ముఖంపై రంగు వేసిన ఘనాలు = (n - 2)2 x 6  = (5 - 2)2 x 6 = 54

3.  ఒక 10 సెం.మీ. భుజం ఉన్న ఘనం ఎదురెదురు ముఖాలపై నీలం, ఎరుపు, పసుపు రంగులు వేసి దాన్ని 1 సెం.మీ. భుజం ఉన్న చిన్న ఘనాలుగా విభజిస్తే మూడు ముఖాలపై రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలు ఎన్ని ఉన్నాయి?

    1) 10      2) 100      3) 30      4) 8

సమాధానం: 4

వివరణ: మూడు ముఖాలపై రంగులు వేసిన చిన్న ఘనాలు పెద్ద ఘనం మూలల వద్ద మాత్రమే ఉంటాయి. వాటి సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ 8. 

4.   ఒక ఇంచు కొలత ఉన్న ఘనాకార చెక్కబొమ్మలను పేర్చి, 3 ఇంచుల కొలతలు ఉన్న ఒక పెద్ద ఘనాకార చెక్క దిమ్మెను తయారుచేయాలి. దీని అన్ని ముఖాలపై రంగులు వేసి, తిరిగి మళ్లీ ఒక ఇంచు ఘనాకార చెక్క బొమ్మలుగా మారిస్తే ఎన్నింటిపై ఏ విధమైన రంగు లేకుండా ఉంటుంది?

    1) 0       2) 1       3) 3        4) 4

సమాధానం: 2

వివరణ: ఏ ముఖంపై రంగు అంటని చిన్న ఘనాలు 

    = (n - 2)3 = (3 - 2)3 = 1 ఘనం

5.  1 మీ. భుజం ఉన్న 27 చిన్న ఘనాల్లో ఒక పెద్దఘనాన్ని ఏర్పరచి దాని ఎదురెదురు ముఖాలపై ఎరుపు, పసుపు, తెలుపు రంగులు వేశారు. ఒక ముఖానికి మాత్రమే పసుపు లేదా తెలుపు రంగు వేసిన మొత్తం ఘనాల సంఖ్య?

    1) 4      2) 8      3) 12         4) 16

సమాధానం: 1

వివరణ: 27 = 33  n = 3

ఒక ముఖంపై రంగు వేసిన చిన్న ఘనాల మొత్తం 

= (n - 2) x 6 = (3 - 2)2 x 6

              = 6 ఘనాలు 


ప్రశ్న(6 -8): ఒక ఘనాకార వస్తువు 6 ముఖాలపై నలుపు, ఎరుపు, తెలుపు, నీలం, ఆకుపచ్చ, పసుపు పచ్చ రంగుల్ని కింది నియమాల ఆధారంగా వేశారు.

* ఎరుపు రంగు ముఖం, నలుపు రంగు ముఖం ఎదురెదురుగా

* ఎరుపు, నలుపుల మధ్య ఆకుపచ్చ రంగు ముఖం

* పసుపు రంగు ముఖం, నీలం రంగు పక్కపక్కన

* ఎరుపు రంగు ఘనం అడుగు భాగాన అయితే

ABEF    ఎరుపు 

DCHG      నలుపు

ABCD   ఆకుపచ్చ

EFGH     నీలం

AFGD     తెలుపు

BCHE    పసుపు 

6.   ఘనం పై భాగాన వేసిన రంగు ఏది?

1) తెలుపు     2) నలుపు     3) పసుపు     4) ఏదీకాదు

సమాధానం: 2

వివరణ: పటం ఆధారంగా ఘనం పై భాగాన వేసిన రంగు నలుపు అవుతుంది.

7.   ఆకుపచ్చ రంగు ముఖానికి ఎదురుగా ఏ రంగు ఉంది?

    1) ఎరుపు     2) తెలుపు     3) నీలం      4) పసుపు 

సమాధానం: 3

వివరణ: పటం ఆధారంగా ఆకుపచ్చ రంగు ముఖానికి ఎదురుగా నీలం రంగు ఉంది.

8.  నీలం రంగు ముఖానికి పక్కనున్న ముఖాలు ఏవి? 

    1) నలుపు, తెలుపు, పసుపు, ఎరుపు     2) నీలం, నలుపు, ఎరుపు, తెలుపు  

    3) ఎరుపు, నలుపు, నీలం, తెలుపు     4) ఏదీకాదు

సమాధానం: 1

వివరణ: పటం ఆధారంగా నలుపు, తెలుపు, పసుపు, ఎరుపు పక్కపక్కన ఉంటాయి.


ప్రశ్న(9 - 10): ఒక ఘనం ఎదురెదురు భుజాలపై ఎరుపు, నలుపు, ఆకుపచ్చ రంగులు వేసి దాన్ని 64 సమఘనాలుగా విభజించారు.

9.   ఒక ముఖంపై ఆకుపచ్చ, మరో ముఖంపై నలుపు లేదా ఎరుపు రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలు ఎన్ని ఉన్నాయి? 

    1) 28       2) 8       3) 16        4) 24

సమాధానం: 3

వివరణ: 64 = 43  n = 4

కావాల్సిన చిన్న ఘనాల సంఖ్య = 8 x 2 = 16

10. గరిష్ఠంగా రెండు ముఖాలపై రంగులు వేసిన చిన్న ఘనాలు ఎన్ని ఉన్నాయి? 

    1) 48       2) 56       3) 28       4) 24

సమాధానం: 2

వివరణ: రెండు ముఖాలపై రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలు = (n - 2) x 12 = (4 - 2) x 12 = 24

ఒక ముఖంపై రంగు వేసిన చిన్న ఘనాలు = (n - 2)2 x 6 = (4 - 2)2 x 6 = 24

ఏ ముఖంపై రంగు వేయని చిన్న ఘనాలు = (n - 2)3 = (4 - 2)3 = 8

 మొత్తం కావాల్సిన చిన్న ఘనాలు = 24 + 24 + 8 = 56

రచయిత: గోలి ప్రశాంత్‌రెడ్డి 

Posted Date : 24-03-2023

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు