వృత్త లేదా పైచిత్రాలు

ముఖ్యాంశాలు:

* ఒక వృత్తంలో కేంద్రం చుట్టూ ఏర్పడే కోణాల మొత్తం 360^o.

* ఒక వృత్తంలో రెండు వ్యాసార్ధాలతోను, వాటి మధ్య ఉన్న చాపరేఖతో ఆవరించిన ప్రాంతాన్ని సెక్టారు (త్రిజ్యాంతరం) అంటారు.

* సెక్టారు కోణాన్ని కేంద్రీయ కోణం అంటారు.

* దత్తాంశంలో ఇచ్చిన సరుకు విలువను 100% గా పరిగణిస్తారు.

* 100% = 360^oగా సూచిస్తారు.   కాబట్టి 10% = 36^o  ,   1% = 3.6^o

* ఇచ్చిన మొత్తం సరుకును లేదా దత్తాంశాన్ని విభజించి పై లేదా వృత్తాకార చిత్రంలో సెక్టారులుగా చూపిస్తారు.

మోడల్ - 1

*  కింది పై చిత్రం ఒక ప్రదేశం వార్షిక వ్యవసాయ ఉత్పత్తిని తెలియజేస్తుంది. చిత్రాన్ని పరిశీలించి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి. గోధుమలు 100^o, పంచదార 80^o, బియ్యం 40^o, మిగిలింది 140^o

1. మొత్తం ఉత్పత్తి 8100 టన్నులైతే బియ్యం ఉత్పత్తి ఎంత?

2. పంచదార ఉత్పత్తి 2400 టన్నులైతే గోధుమ ఉత్పత్తి ఎంత?

3. గోధుమ ఉత్పత్తి, బియ్యం ఉత్పత్తి కంటే ఎంత శాతం అధికం?

సాధన:

a) గోధుమలు = 1000  కాబట్టి  

మొత్తం ఉత్పత్తి 810^o టన్నులు

కాబట్టి 360^o = 810^o
100^o = ?
100^o =  × 8100 = 2250  టన్నులు
b) చక్కెర =  80^o

=   × 100 =   = 22 %
మొత్తం ఉత్పత్తి = 8100 టన్నులు
360^o = 8100 టన్నులు
80^o = ?

c) బియ్యం= 400 కాబట్టి   × 100 = 11

%

మొత్తం ఉత్పత్తి = 8100 టన్నులు
360^o = 8100  టన్నులు
40^o = ?

40^o =   × 8100 = 900 టన్నులు
d) మిగిలింది = 140^o
కాబట్టి   × 100 =  = 38 %
మొత్తం ఉత్పత్తి =  8100 టన్నులు
360^o = 8100 
140^o = ? 
∴ 140^o =   × 8100 = 3150 టన్నులు

1. జ:  C నుంచి బియ్యం ఉత్పత్తి 900 టన్నులు
2. జ: పంచదార ఉత్పత్తి 2400 టన్నులైతే
         80% = 2400 టన్నులు
గోధుమ ఉత్పత్తి =  

  ×  2400 = 3000   టన్నులు
3. జ:  గోధుమలు = 100^o బియ్యం ఉత్పత్తి = 40^o
అధికం = 60^o
∴ 40^o మీద అధికం = 60^o 
∴ 100^o = ? =   × 60% = 150%

మోడల్ - 2

* ఒక బోర్డు పరీక్షలో 540 మార్కులు సాధించిన ఒక విద్యార్థి వివిధ సబ్జెక్టుల్లో సాధించిన వివరాలు ఈ చిత్రంలో ఉన్నాయి. చిత్రాన్ని పరిశీలించి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.

1. ఏ సబ్జెక్టులో విద్యార్థి 108 మార్కులు సాధించాడు?
2. ఏ పరీక్షలో 16  % మార్కులు సాధించాడు?
3. హిందీ, గణితం, మొత్తం మార్కులు, ఇంగ్లిష్, సైన్సు, సోషల్ మొత్తం మార్కులకు వ్యత్యాసం ఎంత?

సాధన:
a) 360^o = 100%  ఆంగ్లం = 63^o  కాబట్టి 63^o = ?
--> 63^o  =  =  =  17.5%
b) గణితం 90^o  కాబట్టి 90^o = ?
90^o =  

 × 100 = 25%
c) హిందీ 60^o  కాబట్టి 60^o = ?
60^o =  × 100 =   = 16 %
d) సైన్సు 75^o  కాబట్టి 75^o = ?
75^o =  × 100 = = 20 %
e) సోషల్ 72^o  కాబట్టి 72^o = ?
72^o =   × 100 = 20%
మొత్తం మార్కులు = 540

1. జ: సోషల్‌లో 108 మార్కులు సాధించాడు.
2. జ:  హిందీలో 16  % మార్కులు సాధించాడు.
3. జ:  హిందీ + గణితం = 90 +135 = 225 మార్కులు
ఇంగ్లిష్ + సైన్సు + సోషల్ = 94.5 + 112.5 + 108 = 315 మార్కులు
∴ వ్యత్యాసం = 315 - 225 = 90 మార్కులు.

 మోడల్ - 3

* ఒక కుటుంబం ఆహారం, దుస్తులు, అద్దె, ఇతర ఖర్చులు, పొదుపులపై ఖర్చుపెట్టిన మొత్తాలను కింది వృత్తాకార చిత్రం సూచిస్తుంది. ఆహారం 108^o, అద్దె 72^o, దుస్తులు 72^o, ఇతర ఖర్చులు 72^o. అయితే పొదుపెంత? ఆ కుటుంబం వార్షికాదాయం రూ.60,000/- అయితే వారి ఆహారం, అద్దె, దుస్తులు, ఇతర ఖర్చుల మొత్తమెంత? వాటి వివరాలను శాతాల్లో కూడా తెలపండి.

సాధన:
కుటుంబ సంవత్సర ఆదాయం = రూ. 60,000/-
a) ఆహారానికి 108^o
360^o = 60,000
108^o = ?
108^o =   × 60,000
= రూ.18,000
∴ ఆహారానికి అయ్యే ఖర్చు =  రూ.18,000/-
360^o = 100%  

   × 100 = 30%
108% = ?
∴ ఆహారానికి అయ్యే ఖర్చు  = 30%

b) అద్దెకు 720 

3600 = 60,000

72^o = ?
72^o =   × 60,000 = రూ.12,000
అద్దెకు అయ్యే ఖర్చు = రూ.12000
360^o = 100%  

   × 100 = 20%
72% = ?
∴ అద్దెకు అయ్యే ఖర్చు శాతం = 20%
c) దుస్తులకు 72^o కాబట్టి అయ్యే ఖర్చు రూ.12,000/- ఖర్చు శాతం 20%
d) ఇతర ఖర్చులకు 72^o కాబట్టి అయ్యే ఖర్చు రూ.12,000/- ఖర్చు శాతం 20%
e) పొదుపు = మొత్తం సొమ్ము - (ఆహారం + అద్దె + దుస్తులు + ఇతర ఖర్చుల మొత్తం) = రూ.60,000 - (18,000 + 12,000 + 12,000 + 12000) = రూ 6000/-
పొదుపు శాతం =  × 100 = 10%

మోడల్ - 4

* కింది వృత్తాకార చిత్రాల్లో ఒక పారిశ్రామిక సంస్థ ఉద్యోగుల వివరాలు, ఆ సంస్థ సంవత్సరాంతర ఖర్చుల వివరాలు ఉన్నాయి. ఇచ్చిన చిత్రాలను పరిశీలించి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
మొత్తం ఖర్చు = రూ.12 కోట్లు మొత్తం ఉద్యోగులు = 1200 మంది.

1. అకౌంట్స్ విభాగం నుంచి అయ్యే ఖర్చు మొత్తం ఎంత?
2. మార్కెటింగ్ విభాగానికి చెందిన ఉద్యోగుల జీతం నిమిత్తం అయ్యే ఖర్చు మొత్తం ఎంత?
3. కంప్యూటర్ విభాగానికి చెందిన ఉద్యోగుల టెలిఫోన్ ఖర్చు ఎంత?
4. ఆరోగ్యం విభాగానికి చెందిన ఒక్కొక్క ఉద్యోగిపై అయ్యే ఖర్చు ఎంత?

1. జ: అకౌంట్స్ విభాగం నుంచి అయ్యే ఖర్చు
= రూ.12 కోట్లలో 14%
= రూ.14/100 × 12 కోట్లు = రూ. 1.68 కోట్లు

2. జ:  కంపెనీలో మొత్తం ఉద్యోగుల జీతం = రూ.12 కోట్లలో 30%
= రూ.  × 12,00,00,000 =  రూ. 3,60,00,000
కాబట్టి మార్కెటింగ్ ఉద్యోగుల జీతం నిమిత్తం అయ్యే ఖర్చు
= రూ.36,000000 ×   = రూ.61,20,000 

3. జ:  కంప్యూటర్ విభాగానికి చెందిన ఉద్యోగుల టెలిఫోన్ ఖర్చు
= రూ.  ×× 12 కోట్లు
= రూ.

 ×× 120 మిలియన్‌లు
= రూ.1.152 మిలియన్‌లు
= రూ.11.52 లక్షలు

4. జ: ఆరోగ్య విభాగంపై అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = రూ. 12 కోట్లలో 13% 
=× 12 కోట్లు = రూ.1.56  కోట్లు = 15600000
ఒక్కొక్క ఉద్యోగిపై అయ్యే ఖర్చు = రూ.15600000/ 1200 = రూ.13000

 మోడల్ - 5

కింది సమాచారం చదివి, ఇచ్చిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
A, B, C, D, E, F అనే వివిధ కోర్సుల్లో విద్యార్థుల శాతం, వారిలో బాలికల శాతం కింది వృత్తాకార చిత్రంలో చూపించారు.
మొత్తం విద్యార్థులు = 1200 మంది (బాలికలు 800 మంది, బాలురు 400 మంది)

1. కోర్సు D లో చేరిన బాలుర, బాలికల నిష్పత్తి ఎంత?
2. ఏయే కోర్సుల్లో బాలుర సంఖ్య సమానం?
3. కోర్సు E లో బాలుర కంటే బాలికలు ఎంత శాతం అధికం?
4. ఏ కోర్సులో బాలుర సంఖ్య తక్కువ?
5. C కోర్సులోని బాలికల సంఖ్య?

సాధన:
1. జ: కోర్సు D లో బాలికల సంఖ్య = 800 లో 30%
= ×800=240
కోర్సు D లోని మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 1200లో
35% =

× 1200 = 420
కాబట్టి బాలుర సంఖ్య = 420 - 240 = 180 మంది
... బాలుర, బాలికల నిష్పత్తి = 180 : 420 = 3 : 4
2. జ: ఒకొక్క కోర్సులో బాలుర సంఖ్య
కోర్సు E లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 12% - 800 లో 14% = 144 - 112 = 32
కోర్సు F లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 13% - 800లో 14% = 156 - 112 = 44
కోర్సు A లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 20% - 800లో 30% = 240 - 240 =0
కోర్సు D లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 35% - 800 లో 30% = 420 - 240 = 180
కోర్సు C లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 5% - 800 లో 2% = 60 - 16 = 44
C, Fలలో బాలుర సంఖ్య సమానం
3. జ:  కోర్సు E లో బాలికల సంఖ్య = 800 లో 14%
= × 800 = 112
కోర్సు E లో బాలుర సంఖ్య = 32
కావలసిన శాతం =  × 100 = 28.57%
4. జ: కోర్సు A
5. జ:  C కోర్సులోని బాలికల సంఖ్య = 800లో  2%
 × 800=16%

మోడల్ - 6

* ఒక వృత్తాన్ని కొన్ని సెక్టార్లుగా విభజించి, వాటిలో సమాచారాన్ని సూచించే చిత్రాలను ‘వృత్తరేఖా చిత్రాలు’ అంటారు. (లేదా) ఇచ్చిన సమాచారాన్ని, వృత్తాన్ని సెక్టార్లుగా విభజించి, దృశ్య రూపంలో ప్రదర్శించడాన్ని వృత్తరేఖా చిత్రం/ పై చిత్రం అంటారు.

* ప్రతి సెక్టార్‌ కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం (సెక్టార్‌ వైశాల్యం) అది సూచించే అంశ విలువకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ఉదా: ఒక కుటుంబం నెలవారీ ఆదాయం-ఖర్చు వివరాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి.

పై పట్టికలోని దత్తాంశాన్ని వృత్తరేఖా చిత్రం ద్వారా ప్రదర్శించడానికి, వృత్తాన్ని 5 సెక్టార్లుగా విభజించాలి.

వృత్త కేంద్రం వద్ద మొత్తం కోణం 360^o

మాదిరి సమస్యలు

1. కింది వృత్తరేఖా చిత్రంలో విద్యార్థులు పాఠశాలకు ఏయే రవాణా మార్గాల ద్వారా వస్తారనే అంశాలు పేర్కొన్నారు. వీటి ఆధారంగా ఇచ్చిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

I. పాఠశాలకు కాలినడకన వచ్చే విద్యార్థులకు సంబంధించి కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం......

1) 144^o  2) 48^o  3) 36^o  4) 72^o

II. పాఠశాలకు వచ్చే విద్యార్థుల్లో మోటారు బైకు మీద వచ్చే వారి శాతం?

III. పాఠశాలకు కారులో వచ్చే విద్యార్థుల సంఖ్య 10 అయితే, బస్సులో వచ్చే వారు ఎంత మంది?

1) 60   2) 50   3) 70   4) 75

IV. కాలినడకన పాఠశాలకు వచ్చే విద్యార్థుల సంఖ్య 180 అయితే, పాఠశాల మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?

1) 540  2) 480  3) 450  4) 420

 సాధన: 

I. వృత్తంలో కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం = 360^o

బస్సు + కారు + మోటారు బైకు + నడక  = 360^o

120^o + 24^o + 72^o + x = 360^o

216^o + x = 360^o

x = 360^o - 216^o = 144^o

                                 సమాధానం: 1

II. మోటారు బైకు మీద పాఠశాలకు వచ్చే 

III. కారులో వచ్చే విద్యార్థులకు సంబంధించిన కోణం = 24^o

బస్సులో వచ్చే విద్యార్థులకు సంబంధించిన కోణం = 120^o

24^o కోణం = 10 మంది విద్యార్థులు

120^o కోణం = ?

x 10 = 50  

                         సమాధానం: 2

IV. నడక = 144^o, మొత్తం = 360^o,

 144^o కోణం = 180 విద్యార్థులు

360^o కోణం = ? 

2. కింది వృత్తరేఖా చిత్రం ఒక కుటుంబం నెలకు ఆహారం, అద్దె, దుస్తులు, విద్య, పెట్రోల్, ఇతర అవసరాలకు సంబంధించి చేసే ఖర్చులను సూచిస్తుంది. రేఖా చిత్రం ఆధారంగా కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు తెలపండి.

I. కుటుంబం ఆహారానికి చేసిన ఖర్చు రూ.9000 అయితే, విద్యకు చేసిన ఖర్చు?

1) రూ.5000    2) రూ.5200   3) రూ.5400    4) రూ.6000

II. కుటుంబం పెట్రోల్‌కు చేసిన ఖర్చుకు సంబంధించి కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం విలువ....

1) 48       2) 42^o          3) 50^o      4) 54^o

III. కుటుంబం ఆహారంపై రూ.9000 ఖర్చు చేసింది. అద్దె, విద్య కోసం అయిన ఖర్చును మినహాయించి, మిగిలిన వాటిపై ఆ కుటుంబం చేసిన ఖర్చు మొత్తం ఎంత?

1) రూ.18,600    2) రూ.17,600       3) రూ.15,600    4) రూ.22,600

IV. కుటుంబం పెట్రోల్‌పై చేసిన ఖర్చు రూ.6000 అయితే, దుస్తులపై చేసిన ఖర్చు ఎంత?

1) రూ.5000    2) రూ.4800      3) రూ.4500    4) రూ.5400

V. కుటుంబం ఇంటి అద్దె, దుస్తులు, పెట్రోల్‌పై చేసిన మొత్తం ఖర్చు శాతం, ఆహారంపై చేసిన ఖర్చు శాతం కంటే ఎంత మొత్తం ఎక్కువ?

1) 15%      2) 16%        3) 17%          4) 18%

సాధన: 

I. ఆహారానికి చేసిన ఖర్చు = రూ.9000

 ఆహారానికి చేసిన ఖర్చు శాతం = 30%

 విద్య కోసం చేసిన ఖర్చు శాతం = 18%

 విద్యకు సంబంధించిన ఖర్చు 

II. పెట్రోల్‌పై చేసిన ఖర్చు శాతం = 15%

  పెట్రోల్‌ ఖర్చుకు సంబంధించి కేంద్రం వద్ద 

III. ఆహారంపై చేసిన ఖర్చు శాతం = 30%

  ఆహారంపై చేసిన ఖర్చు = రూ.9000

  కుటుంబం మొత్తం ఖర్చు = రూ. x

  రూ. xలో 30% = రూ.9000