క.సా.గు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం - Least Common Multiple):
* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాల్లో మిక్కిలి చిన్నదాన్ని ఆ సంఖ్యల ‘క.సా.గు’ అంటారు.
గ.సా.భా (గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం - Greatest Common Divisor):
* రెండు లేెదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య భాజకాల్లో మిక్కిలి పెద్ద దాన్ని ఆ సంఖ్యల గ.సా.భా అంటారు.
క.సా.గు, గ.సా.భా మధ్య సంబంధం:
* ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి క.సా.గు, గ.సా.భాల లబ్ధానికి సమానం.
* a, b లు రెండు సంఖ్యలు, వాటి క.సా.గు L, గ.సా.భా G అయితే,
a x b = L x G
క.సా.గు ను కనుక్కునే పద్ధతులు: క.సా.గు ను మూడు పద్ధతుల్లో కనుక్కుంటారు. అవి:
1. గుణిజాల పద్ధతి
2. ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
3. భాగాహార పద్ధతి
ఉదా: 12, 15ల క.సా.గును కనుక్కోండి.
గుణిజాల పద్ధతి:
12కి గుణిజాలు: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ........
15కి గుణిజాలు: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ........
12, 15ల సామాన్య/ ఉమ్మడి గుణిజాలు
= 60, 120, 180, ........
* ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యల్లో చిన్న సంఖ్య గుణిజం పెద్ద సంఖ్య అయితే, ఆ రెండు సంఖ్యల క.సా.గు పెద్ద సంఖ్య అవుతుంది.
* ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే, ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి క.సా.గు అవుతుంది.
* ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే, ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి క.సా.గు అవుతుంది.
ఉదా: 8, 15ల క.సా.గు = 8 x 15 = 120
గ.సా.భా ను కనుక్కునే పద్ధతులు: గ.సా.భా ను మూడు పద్ధతుల్లో కనుక్కుంటారు. అవి:
1. కారణాంకాల పద్ధతి
2. ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
3. భాగాహార పద్ధతి: ఈ విధానాన్ని యూక్లిడ్‌ అనే శాస్త్రవేత్త ప్రతిపాదించారు.
ఉదా: 24, 32ల గ.సా.భా కనుక్కోండి.
కారణాంకాల పద్ధతి:
24కి కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
32కి కారణాంకాలు = 1, 2, 4, 8, 16, 32
24, 32ల ఉమ్మడి కారణాంకాలు = 1, 2, 4, 8
24, 32ల గ.సా.భా = 8
* ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యల్లో పెద్దసంఖ్య కారణాంకం చిన్నసంఖ్య అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా చిన్నసంఖ్య అవుతుంది.
ఉదా: 15, 45ల గ.సా.భా = 15
* ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యలు ‘పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు’ అయితే వాటి గ.సా.భా = 1
ఉదా: 4, 9 ల గ.సా.భా = 1
* ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే వాటి గ.సా.భా = 1
* రెండు వరుస సంఖ్యల గ.సా.భా = 1
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. హరిత, లలిత, రమ్య ఒక బాటను చుట్టడానికి వరుసగా 100 సె., 120 సె., 110 సె. సమయం పట్టింది. వారు ముగ్గురూ ఒకేసారి బయలుదేరితే, మళ్లీ ఎంత సమయానికి కలుసుకుంటారు?
1) 1 గం. 45 ని. 2) 1 గం. 30 ని. 3) 1 గం. 50 ని. 4) 1 గం. 40 ని.
2. నాలుగు గడియారాలు 18, 24, 40, 60 నిమిషాల వ్యవధిలో వరుసగా మోగుతాయి. ఆ నాలుగూ ఉదయం 5 గం.లకు ఒకేసారి మోగితే, మళ్లీ అన్నీ ఒకేసారి ఎన్ని గంటలకు మోగుతాయి?
1) ఉదయం 9 గం. 2) ఉదయం 11 గం. 3) ఉదయం 10 గం. 4) ఉదయం 8 గం.
3. కింది సంఖ్యల్లో దేనికి 3 కలిపితే 15, 21, 25 లతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
1) 522 2) 525 3) 528 4) 252
4. మూడు సంఖ్యలు 2 : 3 : 4 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వాటి క.సా.గు 360 అయితే ఆ మూడు సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
1) 240 2) 250 3) 260 4) 270
5. ఏ గరిష్ఠ మూడంకెల సంఖ్యను 75, 45, 60 తో భాగిస్తే ప్రతిసారి శేషం 4 వస్తుంది?
1) 900 2) 934 3) 904 4) 924
సాధన: 75, 45, 60 ల క.సా.గు
6. 12, 15, 18, 24 లతో భాగితమయ్యే ప్రతి సందర్భంలోనూ శేషం ‘9’ ఇచ్చే 5 అంకెల గరిష్ఠ సంఖ్య?
1) 99792 2) 99279 3) 99739 4) 99720
7. 12, 18, 24 ల గ.సా.భా ఎంత?
1) 18 2) 6 3) 12 4) 4
సాధన: గ.సా.భా అనేది ఇచ్చిన సంఖ్యల్లో చిన్నసంఖ్యకు సమానంగా లేదా చిన్నసంఖ్య కారణాంకాల్లో ఏదో ఒకటిగా ఉంటుంది.
ఇచ్చిన ఆప్షన్స్‌ ప్రకారం 12, 18, 24 లను 6 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ 12, 18, 24ల గ.సా.భా = 6 సమాధానం: 2
8. ఒక గది కొలతలు వరుసగా 12 మీ., వెడల్పు 15 మీ., ఎత్తు 18 మీ. అయితే గది కొలతలన్నింటినీ కచ్చితంగా కొలవగలిగే టేపు గరిష్ఠ పొడవు ఎంత?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 12
సాధన: 12, 15, 18 ల గ.సా.భా = 3
12, 15, 18 ని 3 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. సమాధానం: 2
2 8 64 10
10. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 4. వాటి గ.సా.భా 4 అయితే క.సా.గు ఎంత?
1) 46 2) 36 3) 48 4) 54
సాధన: సంఖ్యలు = 3x, 4x
3x, 4x ల గ.సా.భా = x ⇒ x = 4
3x, 4x ల క.సా.గు = 3 x X x 4 = 12x
= 12 x 4 = 48 సమాధానం: 3
గమనిక: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల గ.సా.భా, ఆ సంఖ్యల క.సా.గు ను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
* రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా 14, అయితే ఈ కింది వాటిలో ఆ రెండు సంఖ్యల క.సా.గు కానిది ఏది?
1) 448 2) 364 3) 336 4) 204
సాధన: 448, 364, 336 లను 14 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
204ను 14 నిశ్శేషంగా భాగించదు కాబట్టి, ఆ సంఖ్యల క.సా.గు 204 కాదు. సమాధానం: 4
