* ఒకే ప్రమాణాలు ఉన్న రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రాశులను పోల్చడాన్ని నిష్పత్తి అంటారు.
* నిష్పత్తిని ' : ' గుర్తుతో సూచిస్తారు.
* a, b అనే రెండు రాశులను a : b లేదా a/b అని రాస్తారు.
* a : b లో a ను పూర్వ పదం (antecedent), b ను పరపదం (consequent) అంటారు.
* ఒక నిష్పత్తిలో పూర్వ, పర పదాలను ఏదైనా శూన్యేతర సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ నిష్పత్తి విలువ మారదు.
* ఏదైనా ఒక నిష్పత్తిలో పూర్వ, పర పదాలను ఏదైనా శూన్యేతర సంఖ్యతో కూడినా లేదా తీసివేసినా ఆ నిష్పత్తి విలువ మారుతుంది.
* నిష్పత్తి ఒక స్థిర సంఖ్య. దీనికి ప్రమాణాలు ఉండవు.
విలోమ నిష్పత్తి (Reciprocal ratio):
* ఒక నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పర పదాలను తారుమారు చేస్తే ఏర్పడే నిష్పత్తిని విలోమ నిష్పత్తి అంటారు.
a : b విలోమ నిష్పత్తి b : a
a : b : c విలోమ నిష్పత్తి
వర్గ నిష్పత్తి (Duplicate ratio):
* ఒక నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పర పదాలను వర్గం చేస్తే ఏర్పడే నిష్పత్తిని ‘వర్గ నిష్పత్తి’ అంటారు.
a : b వర్గ నిష్పత్తి = a2 : b2
వర్గమూల నిష్పత్తి (Sub-Duplicate ratio):
* ఒక నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పర పదాలకు వర్గ మూలం చేస్తే ఏర్పడే నిష్పత్తిని వర్గమూల నిష్పత్తి అంటారు.
a : b వర్గమూల నిష్పత్తి rout √a : √b
ఘన నిష్పత్తి (Triplicate ratio):
* ఒక నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పర పదాలను ఘనం చేస్తే ఏర్పడే నిష్పత్తిని ఘన నిష్పత్తి అంటారు.
a : b ఘన నిష్పత్తి = a3 : b3
ఘనమూల నిష్పత్తి (Sub-Triplicate ratio):
* ఒక నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పర పదాలను ఘన మూలం చేస్తే ఏర్పడే నిష్పత్తిని ఘనమూల నిష్పత్తి అంటారు.
a : b ఘన మూల నిష్పత్తి ∛a : ∛b
బహుళ/ సంయుక్త నిష్పత్తి (Compound ratio):
* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నిష్పత్తుల లబ్ధాన్ని వాటి బహుళ నిష్పత్తి అంటారు.
a : b, c : d ల బహుళ నిష్పత్తి ac : bd
సమాన/ తుల్య నిష్పత్తి (Equivalent ratio):
* ఒక నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పర పదాలను ఏదైనా శూన్యేతర సంఖ్యలతో గణించినా లేదా భాగించినా వచ్చే నిష్పత్తులు దత్త నిష్పత్తికి సమాన నిష్పత్తులు అవుతాయి.
నిష్పత్తి కనిష్ఠ రుపం:
* ఒక నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పర పదాలకు సామాన్య కారాణాంకం 1 మాత్రమే ఉంటే, ఆ నిష్పత్తి కనిష్ఠ రూపంలో ఉందని చెప్పొచ్చు.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. a : b = 2 : 3, b : c = 5 : 7 అయితే a : b : c ఎంత?
1) 10 : 15 : 28 2) 15 : 10 : 28 3) 10 : 15 : 21 4) 15 : 10 : 21
2. P, Q లు 3 : 4 నిష్పత్తిలో, Q, R లు 12 : 13 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అయితే P, R ల నిష్పత్తి?
1) 13 : 9 2) 9 : 13 3) 21 : 27 4) 9 : 17
3. x లో 25 %, y లో 15% కి, z లో 10% కి సమానమైతే x : y : z = .....
1) 3 : 5 : 15 2) 6 : 10 : 5 3) 6 : 10 : 15 4) 6 : 15 : 5
5. a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5, c : d = 6 : 7 అయితే a : b : c : d = ......
1) 16 : 24 : 30 : 35 2) 16 : 24 : 35 : 30 3) 16 : 30 : 24 : 35 4) 16 : 24 : 36 : 35
7. 3 : 4 : 5 నిష్పత్తిలో ఉన్న 3 సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 1250. అయితే 3 సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
1) 55 2) 75 3) 65 4) 60
సాధన: అ సంఖ్యలు 3x, 4x, 5x
(3x)2 + (4x)2 + (5x)2 = 1250
9x2 + 16x2 + 25x2 = 1250
50x2 = 1250
x2 = 25
x = 5
అ సంఖ్యలు 15, 20, 25
మొత్తం = 15 + 20 + 25 = 60
సమాధానం: 4
8. రెండు పూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం 72. అయితే అవి ఉండటానికి అవకాశం లేని నిష్పత్తి?
1) 5 : 7 2) 3 : 5 3) 3 : 4 4) 4 : 5
సాధన:
∴ ఇచ్చిన సంఖ్యను నిష్పత్తుల మొత్తం నిశ్శేషంగా భాగించాలి. అలా భాగించకపోతే ఆ నిష్పత్తి ఉండటానికి అవకాశం ఉండదు.
సమాధానం: 3
9. A, B, C ల వేతనాల నిష్పత్తి 2 : 3 : 5. వారి వేతనాలను 15%, 10%, 20% ల చొప్పున పెంచితే, వేతనాల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
1) 23 : 33 : 60 2) 33 : 23 : 60 3) 23 : 34 : 60 4) 60 : 23 : 33
సాధన: పెరిగాక వేతనాల నిష్పత్తి
11. 60 లీటర్ల మిశ్రమంలో పాలు, నీళ్లు 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఈ మిశ్రమానికి ఎన్ని లీటర్ల నీరు కలిపితే ఏర్పడే కొత్త మిశ్రమంలో పాలు, నీళ్లు 1 : 2 నిష్పత్తిలోకి మారతాయి?
1) 60 లీ. 2) 70 లీ. 3) 50 లీ. 4) 65 లీ.
సాధన: 60 లీ. మిశ్రమంలో
13. A, B, C అనే వ్యక్తులు రూ.920ను పంచుకున్నారు. A, B లు 2 : 3 నిష్పత్తిలో, B, C లు 5 : 7 నిష్పత్తిలో పంచుకుంటే C వాటా ఎంత?
1) రూ.420 2) రూ.920 3) రూ.480 4) రూ.360
1. ఒక సంఖ్యను రెండు భాగాలు చేస్తే వాటి నిష్పత్తి 8 : 9, ఆ భాగాల్లో మొదటి భాగం విలువ 104 అయితే అసలు సంఖ్య ఎంత?
1) 212 2) 221 3) 168 4) 196
సాధన: సంఖ్యను రెండు భాగాలు చేస్తే వాటి నిష్పత్తి = 8 : 9
మొదటి భాగం = 8x;
రెండో భాగం = 9x అనుకోండి.
మొదటి భాగం = 8x = 8 × 13 = 104
రెండో భాగం = 9x = 9 × 13 = 117
అసలు సంఖ్య = 104 + 117 = 221
సంక్షిప్త పద్ధతి:
మొదటి భాగం రెండో భాగం సంఖ్య
2. ఒక సంఖ్యను మూడు భాగాలు చేస్తే వాటి మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి 2 : 3 : 6. రెండో భాగం 48 అయితే అసలు సంఖ్య ఎంత?
1) 176 2) 192 3) 184 4) 224
సాధన: సంఖ్యను 3 భాగాలు చేస్తే వాటి మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి = 2 : 3 : 6
మొదటి భాగం = 2x; రెండో భాగం = 3x;
మూడో భాగం = 6x అనుకోండి
రెండో భాగం = 48
అసలు సంఖ్య = 2x + 3x + 6x = 11x
= 11 × 16 = 176
సంక్షిప్త పద్ధతి:
మొదటి రెండో మూడో ఆ సంఖ్య
భాగం భాగం భాగం
3. a : b = 3 : 4 అయితే (5a + b) : (3a + 2b) = ......
1) 15 : 17 2) 19 : 15 3) 18 : 17 4) 19 : 17
సాధన: a : b = 3 : 4
a = 3x; b = 4x అనుకోండి.
5a + b = 5(3x) + 4x
= 15x + 4x =- 19x
3a + 2b = 3(3x) + 2(4x)
= 9x + 8x = 17x
(5a + b) : (3a + 2b) = 19x : 17x
= 19 : 17
సంక్షిప్త పద్ధతి: a : b = 3 : 4
Þ (5a + b) : (3a + 2b)
= [ 5(3) + 4] : [3(3) + 2(4)]
= [15 + 4] : [9 + 8]
= 19 : 17
సమాధానం: 4
A : B : C = 7k : 9k : 11k
= 7 : 9 : 11
సంక్షిప్త పద్ధతి:
6. 5A = 6B = 4C అయితే A : B : C = .....
1)15 : 12 : 10 2) 15 : 10 : 12 3) 10 : 12 : 15 4) 12 : 10 : 15
సాధన: 5A = 6B = 4C
5, 6, 4ల క.సా.గు = 60
7. A : B = 4 : 5, B : C = 3 : 2 అయితే A : C = ......
1) 5 : 6 2) 6 : 5 3) 10 : 9 4) 9 : 10
8. A, Bలు రూ.2090 సొమ్మును పంచుకున్నారు. Aకి లభించిన సొమ్ములో 7వ వంతు విలువ Bకి లభించిన సొమ్ములో 12వ వంతు విలువకు సమానం. అయితే తికి లభించిన సొమ్ము ఎంత?
1) రూ.770 2) రూ.1200 3) రూ.1320 4) రూ.1080
సాధన: A, Bలు పంచుకున్న సొమ్ము = రూ.2090
దత్తాంశం ప్రకారం,
9. A, B, Cలు రూ.39,900లను పంచుకున్నారు. అందులో Aకి లభించిన సొమ్ముకు 4 రెట్లు విలువ, Bకి లభించిన సొమ్ముకు 6 రెట్లు విలువ, Cకి లభించిన సొమ్ముకు 9 రెట్లు విలువ సమానం. అయితే Bకి లభించిన సొమ్ము విలువ ఎంత?
1) రూ.10,600 2) రూ.11,600 3) రూ.12,600 4) రూ.13,600
సాధన: A, B, C లు పంచుకున్న మొత్తం సొమ్ము = రూ.39,900
లెక్క ప్రకారం,
4 x A కి లభించిన సొమ్ము = 6 x Bకి లభించిన సొమ్ము = 9 Cకి లభించిన సొమ్ము
10. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 4 : 5. ప్రతి సంఖ్యకు 8 కలిపాక వచ్చే సంఖ్యల నిష్పత్తి 6 : 7. అయితే ఆ సంఖ్యలు వరుసగా....
1) 32, 40 2) 24, 30 3) 20, 25 4) 16, 20
సాధన: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి = 4 : 5
మొదటి సంఖ్య = 4x;
రెండో సంఖ్య = 5x అనుకోండి.
లెక్కప్రకారం
(4x + 8) : (5x + 8) = 6 : 7
7(4x + 8) = 6(5x + 8)
అభ్యాస ప్రశ్నలు
1. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 17 : 13. ఆ సంఖ్యల్లో మొదటి సంఖ్య 289 అయితే రెండో సంఖ్య....
జ: 221
2. ఒక సంఖ్యను 4 : 9 : 12 నిష్పత్తిలో విభజించాక రెండో భాగం విలువ 180 అయ్యింది. మొదటి భాగానికి, మూడో భాగానికి మధ్య ఉన్న భేదమెంత?
జ: 160