• facebook
  • whatsapp
  • telegram

సంఖ్యావ్యవస్థ

అంకెలు: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అనే సంజ్ఞలను అంకెలు అంటారు. ఇవి 10 ఉంటాయి.
* అంకెలతో ఏర్పడినవి సంఖ్యలు. ఇవి అనంతం (అపరిమితం).
సంఖ్యామానం: ఒక సంఖ్యను అక్షరాల్లో రాయడాన్ని సంఖ్యామానం అంటారు.
ఉదా: నాలుగు వందల యాభై రెండు.
సంజ్ఞామానం: ఒక సంఖ్యను అంకెల్లో రాయడాన్ని సంజ్ఞామానం అంటారు.
ఉదా: 452
* 0 - 9 వరకు ఉండే 10 అంకెలను ఉపయోగించి సంఖ్యలను తయారు చేసే పద్ధతిని దశాంశమానం అంటారు.
* 0, 1 అనే రెండు అంకెలను మాత్రమే ఉపయోగించి సంఖ్యలను తయారు చేసే పద్ధతిని ద్విసంఖ్యామానం అంటారు.
* ఒక అంకె సంఖ్యలు: 9
* రెండు అంకెల సంఖ్యలు: 90
* మూడు అంకెల సంఖ్యలు: 900
* నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు: 9000

* సంఖ్యలను రెండు పద్ధతుల్లో రాయవచ్చు.
    1) హిందూ - అరబిక్ పద్ధతి/మెట్రిక్ మానం
    2) ఆంగ్ల సంఖ్యామానం/అంతర్జాతీయ మానం
 

1) హిందూ అరబిక్ సంఖ్యామానం:
* హిందూ అరబిక్ మానంలో స్థానాలు ఒకట్లు, పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, లక్షలు, ....., వంద కోట్లు వరకు ఉంటాయి.
* ఇవి కాకుండా మొత్తం హిందూ అరబిక్ మానాన్ని 35 స్థానాల వరకు లెక్కించారు.
* హిందూ సంఖ్యామానంలో కుడి నుంచి ఎడమకు 3వ, 5వ, 7వ, ..... స్థానాల తర్వాత కామాలు ఉంచి సంఖ్యలను సులభంగా చదవవచ్చు.
    ఉదా: 9,54,53,673
 

2) ఆంగ్ల సంఖ్యామానం/ అంతర్జాతీయమానం:
* ఆంగ్ల సంఖ్యామానంలో స్థానాలు ఒకట్లు, పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, వందవేలు, మిలియన్, పదిమిలియన్‌లు, వంద మిలియన్‌లు, బిలియన్, ......
    1 మిలియన్ = 10 లక్షలు
    1 బిలియన్ = 100 కోట్లు

* ఆంగ్ల సంఖ్యామానంలో కుడి నుంచి ఎడమకు ప్రతి మూడు స్థానాలకు కామాలు ఉంచి చదువుతాం.
     ఉదా: 637,943,271
* స్థానవిలువల విధానాన్ని ప్రవేశపెట్టిన గణిత శాస్త్రవేత్త భాస్కరాచార్యుడు.
స్థానవిలువ: ఒక సంఖ్యలోని అంకె ఏ స్థానంలో ఉందో ఆ స్థానాన్ని ఆ అంకెతో గుణించి తెలిపే విలువను స్థాన విలువ అంటారు.
    ఉదా: 7924 లో 9 స్థాన విలువ = 9 × 100 = 900
సహజ విలువ/ ముఖ విలువ: ఒక సంఖ్యలోని అంకె ఏ స్థానంలో ఉన్నప్పటికీ ఆ అంకెను మాత్రమే తెలిపితే దాన్ని సహజ విలువ/ ముఖ విలువ అంటారు.
* స్థాన విలువ సహజ విలువ సమానంగా ఉండే అంకె: 0
* ఏ అంకెకైనా స్థానవిలువ, సహజ విలువ సమానంగా ఉండాలంటే అది ఒకట్ల స్థానంలో ఉండాలి.
దత్తాత్రేయ రామచంద్ర కాప్రేకర్ (1895 - 1986)
* సంఖ్యలతో అనేక ప్రయోగాలు చేసిన ఉపాధ్యాయుడు.
* 6174ను కాప్రేకర్ స్థిరాంకం అంటారు.
* ఈయన డెమ్లో సంఖ్యలు, సెల్ఫ్ సంఖ్యలు, జనరేటెడ్ సంఖ్యలను రూపొందించారు.

సహజ సంఖ్యలు: సహజంగా లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అంటారు.
* సహజ సంఖ్యాసమితిని 'N' తో సూచిస్తారు.
        N = {1, 2, 3, .....∞}
* సహజ సంఖ్యాసమితి అపరిమిత సమితి.
* సహజ సంఖ్యల్లో '0' ఉండదు.
* రుణ సంఖ్యలు, భిన్నాలు సహజ సంఖ్యలు కావు.
పూర్ణాంకాలు: సహజ సంఖ్యలకు సున్నాను చేర్చితే ఏర్పడే సంఖ్యలను పూర్ణాంకాలు అంటారు.
* పూర్ణాంకాల సమితిని W అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు.
     W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....., .∞}
* పూర్ణాంకాల్లో రుణ సంఖ్యలు, భిన్నాలు ఉండవు.
పూర్ణ సంఖ్యలు: రుణ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలను కలపగా ఏర్పడే సంఖ్యలను పూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు.
* దీన్ని Z అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు.
    Z = { -∞, ....., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..... .∞}
* పూర్ణ సంఖ్యల్లో భిన్నాలు ఉండవు.
* అతి చిన్న ధన పూర్ణ సంఖ్య: 1
* అతి పెద్ద రుణ పూర్ణ సంఖ్య: -1

అకరణీయ సంఖ్యలు (Q):
* అకరణీయ సంఖ్యలను Q అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు.
* ఒక సంఖ్య   రూపంలో ఉండి (q 0), p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే దాన్ని అకరణీయ సంఖ్య అంటారు.
* '0' ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
* భిన్నాలు, రుణ సంఖ్యలు అకరణీయ సంఖ్యలే.
* అంతంకాని, ఆవర్తనంకాని దశాంశ భిన్నాలు అకరణీయ సంఖ్యలు.
* π ఒక అకరణీయ సంఖ్య కాదు.
* π విలువను ప్రథమంగా గణించిన వ్యక్తి 'ఆర్కిమెడిస్'
* π విలువను నాలుగు దశాంశ స్థానాల వరకు సవరించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్త: ఆర్యభట్ట
* π విలువ 3.14 ను ఆధారంగా చేసుకుని మార్చి 14వ తేదీని π దినోత్సవంగా నిర్వహిస్తారు.
* ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మధ్య ఉండే అకరణీయ సంఖ్యలు అనంతంగా ఉంటాయి. ఈ ధర్మాన్ని సాంద్రత ధర్మం అంటారు.
* సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణసంఖ్యలు అన్నీ అకరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి.

కరణీయ సంఖ్యలు (Q' లేదా S):  

 రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు.
* n ఒక పరిపూర్ణ వర్గం కాని సహజ సంఖ్య అయితే  ను ఒక కరణీయ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా: , , , ....
* π ఒక కరణీయ సంఖ్య.
* π కరణీయ సంఖ్యలను కనుక్కున్నవారు: పైథాగోరియన్‌లు
*  ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించినవారు: పైథాగోరియన్‌లు
, , ..... కరణీయ సంఖ్యలు అని నిరూపించింది: థియోడరస్
వాస్తవ సంఖ్యలు (R): అకరణీయ, కరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు.
    R = Q U Q'
    Q  U Q' = Ø

సంఖ్యాసమితుల ధర్మాలు:
1. సంవృత ధర్మం:
a, b లు ఒకే సమితికి చెందిన సంఖ్యలు a * b = c అయితే c కూడా అదే సమితికి చెందిన మూలకం అయితే ఆ సమితి * పరిక్రియ దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించింది అంటారు.
 

2. స్థిత్యంతర ధర్మం: a, b లు ఒక సమితికి చెందిన మూలకాలు అయి a * b = b * a అయితే ఆ సమితి * పరిక్రియ దృష్ట్యా స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని లేదా వినిమయ ధర్మాన్ని పాటించింది అంటారు.
 

3. సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఒకే సమితికి చెందిన మూలకాలు అయి a* (b * c) = (a * b) * c అయితే ఆ సమితి * పరిక్రియ దృష్ట్యా సహచర ధర్మాన్ని పాటించింది అంటారు.
 

4. తత్సమ మూలక అస్థిత్వ ధర్మం: a, b లు ఒకే సమితికి చెందిన మూలకాలు. e కూడా అదే సమితికి చెందిన మూలకం అయితే a * e = e * a = a అయితే ఆ సమితి * పరిక్రియ దృష్ట్యా తత్సమ మూలక అస్థిత్వ ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.
    'e' విలువ సంకలన ప్రక్రియలో '0', గుణాకార ప్రక్రియలో 1 అవుతుంది.
 

5. విలోమ మూలక అస్థిత్వ ధర్మం:
    a, b లు ఒకే సమితికి చెందిన మూలకాలు, e తత్సమ మూలకం అయి a * b = b * a = e అయితే ఆ సమితి * పరిక్రియ దృష్ట్యా విలోమ మూలక అస్థిత్వ ధర్మాన్ని పాటించింది అంటారు.
* a కు సంకలన విలోమం -a (Z, Q లలో మాత్రమే)

* a కు గుణకార విలోమం   (Q, R లలో)
* '0' కు గుణకార విలోమం లేదు.
* ఒక సమితి సంవృత, సహచర, తత్సమ, విలోమ ధర్మాలను పాటిస్తే ఆ సమితి సమూహానికి చెందింది అంటారు.
* పై నాలుగు ధర్మాలతో పాటు స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని కూడా పాటిస్తే ఎబిలియన్ సమూహానికి చెందింది అంటారు.
 

విభాగ న్యాయాలు:
(i) a(b + c) = ab + ac   ఎడమ విభాగ న్యాయం
(ii) (a + b) c = ac + bc   కుడి విభాగ న్యాయం

* ఒక సమితి సంకలనం దృష్ట్యా, గుణకారం దృష్ట్యా ఎబిలియన్ సమూహామై, విభాగ న్యాయాలను పాటిస్తే ఆ సమితిని క్షేత్రం అంటారు.
 

క్రమ ధర్మాలు:
1) x, y లు ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు అయి x > y, x < y, x = y లలో ఏదో ఒక్కటి మాత్రమే సత్యం అవుతుంది. దీన్నే వర్గత్రయ విభజన ధర్మం అంటారు.
2) x, y, zలు ఏవైనా మూడు అకరణీయ సంఖ్యలు అయితే x > y, y > z అయితే x > z అవుతుంది. దీన్నే సంక్రమణ ధర్మం అంటారు.
3) x, y లు ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు; z ≠ 0, x > y అయితే x + z > y + z.

4) x, yలు ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు; x > y , z > 0 అయితే xz > yz.
* ఒక సమితి క్షేత్రమై క్రమధర్మాలను పాటిస్తే ఆ సమితిని క్రమానుసరణ క్షేత్రం అంటారు.
* అకరణీయ సంఖ్యాసమితి క్రమానుసరణ క్షేత్రం.


 

చతుర్విధ ప్రక్రియలు
1. సంకలనం:
సంకలనానికి వ్యవహారిక పదం కూడిక.
* A, B ల సంకలనాన్ని A + B గా రాస్తారు.
2. వ్యవకలనం: వ్యవకలనానికి వ్యవహారిక పదం తీసివేత.
* 36 - 12 = 24లో 36 ను వియోజ్యం, 12ను వియోగం, 24ను భేదం అని అంటారు.
గుణకారం: పునరావృత సంకలనాన్ని గుణకారం అంటారు.
                   ఒక రాశి గురించి ఇచ్చి ఎక్కువ రాశుల గురించి అడిగితే గుణకారం చేయాలి.
                   19 × 5 = 95 లో 19 ను గుణ్యం, 5ను గుణకం, 95ను లబ్ధం అని అంటారు.
4. భాగహారం: పునరావృత వ్యవకలాన్ని భాగహారం అంటారు.
 

* ఎక్కువ రాశుల గురించి ఇచ్చి ఒక్కరాశి గురించి అడిగితే భాగహారం చేయాలి.

విభాజ్యం = విభాజకం × భాగఫలం + శేషం

భాజనీయతా సూత్రాలు
2 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె సరిసంఖ్య లేదా సున్నాగా ఉండాలి.
     ఉదా: 642, 9734...
3 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 3తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్య అంకమూలం 3గా ఉండాలి.
     ఉదా: 642, 9273
4 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 4తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్యలోని చివరి రెండు అంకెలు సున్నాలు లేదా 4తో భాగించబడాలి.
     ఉదా: 46256, 69272
5 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 5తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె '0' లేదా 5గా ఉండాలి.
     ఉదా: 570, 635
6 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 6తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే అది 2, 3లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.
     ఉదా: 432, 522

7 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం:
i) ఒక మూడంకెల సంఖ్య abc 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే 2a + 3b + c 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.
ii) ఒక నాలుగంకెల సంఖ్య abcd 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే 6a + 2b + 3c + d 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.
8 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 8తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్యలోని చివరి మూడంకెలు సున్నాలు లేదా 8తో భాగించబడే సంఖ్యగా ఉండాలి.
     ఉదా: 6512, 6088
9 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 9తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్య అంకమూలం 9గా ఉండాలి.
     ఉదా: 4212, 12312
11 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య 11తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్యలోని సరి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం, బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తానికి మధ్య భేదం సున్నా లేదా 11 గుణిజంగా ఉండాలి.
గుణిజాలు: ఒక సంఖ్యతో నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్యలు ఆ సంఖ్య యొక్క గుణిజాలు.
     ఉదా: 6 గుణిజాలు: 6, 12, 18, 24,....
* గుణిజాలు అపరిమితం
కారణాంకాలు లేదా భాజకాలు: ఒక సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలు కారణాంకాలు లేదా భాజకాలు.
ఉదా: 16 కారణాంకాలు: 1, 2, 4, 8, 16

* కారణాంకాలు పరిమితం.
* ప్రతి సంఖ్యకు 1 కారణాంకం, దానికదే కారణాంకం.
ap × bq × cr అనే ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాసిన సంఖ్య యొక్క
i) కారణాంకాల సంఖ్య = (p + 1) (q + 1) (r + 1)
ii) ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య = p + q + r


ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా అభాజ్య సంఖ్యలు
1, అదే సంఖ్య మాత్రమే కారణాంకాలుగా ఉండే సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
* కనిష్ఠ/సరి ప్రధాన సంఖ్య: 2
* ''ప్రధాన సంఖ్యా సమితి అపరిమితం" - యూక్లిడ్.
* సంఖ్యా లక్షణాలపై, ప్రధాన సంఖ్యలపైన ఎనలేని కృషి చేసిన గణిత శాస్త్రవేత్త శ్రీనివాస రామానుజన్.
* రామానుజన్ సంఖ్య: 1729
      1729 = 103 + 93 = 123 + 13

* 1 - 100 వరకు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు: 25
* 1 - 50 వరకు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు: 15
* 100 - 200 వరకు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు: 21
* 200 - 300 వరకు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు: 16
* 300 - 400 వరకు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు: 16
* 400 - 500 వరకు ఉండే ప్రధాన సంఖ్యలు: 17
* ప్రధాన సంఖ్యలను వేరు చేసే పద్ధతిని ప్రవేశపెట్టింది: ఎరటోస్తనీస్
* ఫెర్మీ ప్రధాన సంఖ్యారూపం 

* n = 5 అయితే   ప్రధాన సంఖ్య కాదు అని తెలిపింది - ఆయిలర్
* ఆయిలర్ ప్రధాన సంఖ్యా రూపం: 2K - 1
శుద్ధ సంఖ్య/ పరిపూర్ణ సంఖ్య: ఒక సంఖ్యకు చెందిన కారణాంకాల మొత్తం ఆ సంఖ్యకు రెట్టింపు అయితే దాన్ని శుద్ధ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా: 6, 28, 496, .....
శుద్ధ సంఖ్య సాధారణ రూపం: (2K - 1) (2K - 1)

కవల ప్రధాన సంఖ్యలు: రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య భేదం '2 అయితే వాటిని కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా: (3, 5) (5, 7) (11, 13), .....
* 1 - 100 వరకు ఉండే కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు: 8
* 1 - 50 వరకు ఉండే కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు: 6
* 50 - 100 వరకు ఉండే కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు: 2
పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు/ సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు:
    ఏ రెండు సంఖ్యలకైనా '1' మాత్రమే ఉమ్మడి కారణాంకంగా ఉంటే వాటిని పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
   ఉదా: (2, 3) (5, 7) (23, 27)
 

అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం:
1 కంటే పెద్దదైన ప్రతి సహజ సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా ఒకే ఒక విధంగా రాయవచ్చు. వాటి క్రమంలో మార్పు ఉండొచ్చు.
సంయుక్త సంఖ్యలు: 1 తప్ప ప్రధాన సంఖ్యలు కాని ఇతర సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.
* 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు సంయుక్త సంఖ్య కాదు.
* కనిష్ఠ సంయుక్త సంఖ్య: 4
* 1 నుంచి 100 వరకు ఉండే సంయుక్త సంఖ్యలు: 74
* 1 నుంచి 50 వరకు ఉండే సంయుక్త సంఖ్యలు: 34
* 50 నుంచి 100 వరకు ఉండే సంయుక్త సంఖ్యలు: 41

వర్గం - వర్గమూలాలు - ఘనం - ఘనమూలాలు

వర్గం: ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధాన్ని దత్త సంఖ్య యొక్క వర్గం అంటారు.
* అన్ని వర్గ సంఖ్యలు కచ్చిత వర్గాలే కానీ అన్ని కచ్చిత వర్గాలు వర్గ సంఖ్యలు కావు.
ఉదా: 2.25 కచ్చితవర్గం కానీ వర్గసంఖ్య కాదు కారణం అది పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
గమనిక: వర్గ సంఖ్య అంటే అది పూర్ణసంఖ్య అయి ఉండాలి. కచ్చిత వర్గం అంటే అది అకరణీయ సంఖ్య అయి ఉండొచ్చు.
* n అంకెల సంఖ్య యొక్క వర్గంలో 2n లేదా (2n - 1) అంకెలు ఉంటాయి.
* ఒక సరిసంఖ్య యొక్క వర్గం సరిసంఖ్య; బేసిసంఖ్య యొక్క వర్గం బేసి సంఖ్య అవుతుంది.
* n2, (n + 1)2 మధ్య కచ్చిత వర్గాలు కాని సంఖ్యలు 2n ఉంటాయి.
పాలిండ్రోమ్ అంటే ఒక పదం/ వాక్యం/ సంఖ్యను ఎటువైపు నుంచి చదివినా ఒకే విధంగా ఉండటం.
       ఉదా: 121, 12321, ..... వీటినే ద్విముఖ సంఖ్యలు అంటారు.
వర్గమూలం: ఒక సంఖ్యను రెండు సమాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయగలిగితే వాటిలో ఒకదాన్ని దత్త సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం అంటారు.
* వర్గమూలాన్ని  తో సూచిస్తారు.
* ప్రతి ధన సంఖ్యకు రెండు వర్గమూలాలు ఉంటాయి. ఒకటి ధన సంఖ్య కాగా రెండోది రుణ సంఖ్య.

* ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం కనుక్కోవడానికి ప్రధానంగా రెండు పద్ధతులు ఉంటాయి.
    1. ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
    2. భాగాహార పద్ధతి
* ఇచ్చిన సంఖ్య కచ్చిత వర్గం కాకుండా ఉండి, ఆ సంఖ్యకు ఎంత కలిపితే లేదా ఎంత తీసివేస్తే కచ్చిత వర్గం అవుతుంది అనే ప్రశ్నకు భాగాహార పద్ధతిని; ఆ సంఖ్యను దేంతో గుణిస్తే లేదా భాగిస్తే కచ్చిత వర్గం అవుతుంది అనే ప్రశ్నకు ప్రధాన కారణాంక పద్ధతిని ఉపయోగించాలి.
ఘనం: ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో 3 సార్లు గుణించగా వచ్చే లబ్ధాన్ని దాని ఘనం అంటారు.
    సరి సంఖ్య ఘనం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్యయే. బేసి సంఖ్య ఘనం ఎల్లప్పుడు బేసి సంఖ్యయే.



ఘనమూలం: ఒక సంఖ్యను మూడు సమాన సహజ సంఖ్యల లబ్ధంగా రాస్తే వాటిలో ఒకదాన్ని ఇచ్చిన సంఖ్యకు ఘనమూలం అంటారు.
* ఘనమూలాన్ని  అనే సంకేతంతో సూచిస్తారు.
* ఘనమూలాన్ని ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాసి కనుక్కోవచ్చు.
* ఘనసంఖ్య యొక్క ఘనమూలం కనుక్కోవడానికి ఒకట్ల స్థానంతో ప్రారంభించి మూడేసి అంకెలను సమూహాలుగా విభజించాలి. ఇచ్చిన సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ఆధారంగా ఘనమూలం యొక్క ఒకట్ల స్థానం రాయాలి. రెండో సమూహం ఏ

ఏ సంఖ్యల ఘనాల మధ్య ఉందో వాటిలో చిన్న సంఖ్యను పదుల స్థానంగా రాస్తే ఘనమూలం లభిస్తుంది .
పైథాగోరియన్ త్రికాలు
   a, b, c లు మూడు ధనపూర్ణ సంఖ్యలై a2 + b2 = c2 అయితే (a, b, c)ని పైథాగోరియన్ త్రికం అంటారు.

a    b    c
3    4    5
5    12    13
6    8    10
7    24    25
8    15    17
9    40    41
9    12    15
11

60    61

కసాగు - గసాభా

కసాగు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం)
* ఇచ్చిన సంఖ్యలతో నిశ్శేషంగా భాగించే కనిష్ఠ సంఖ్య కసాగు.
* కసాగును కనుక్కోవడానికి ఉపయోగించే పద్ధతులు: 3
     1) గుణిజాల పద్ధతి
     2) ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
     3) భాగాహార పద్ధతి
* రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల కసాగు, వాటి లబ్ధం
ఉదా: 9, 14 ల కసాగు = 14 × 9 = 126
* రెండు సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య రెండో సంఖ్యకు గుణిజమైనా లేదా కారణాంకమైనా వాటిలో పెద్ద సంఖ్య కసాగు.
ఉదా: 4, 12ల కసాగు = 12
 

గసాభా (గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం లేదా కారణాంకం):
* ఇచ్చిన సంఖ్యలను నిశ్శేషంగా భాగించే గరిష్ఠ సంఖ్య గసాభా.
* గసాభా కనుక్కునే పద్ధతులు: 3
    1) భాజకాల పద్ధతి

    2) ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
    3) భాగహార పద్ధతి
* భాగహార పద్ధతి ద్వారా గసాభా కనుక్కునే విధానాన్ని తెలిపింది: యూక్లిడ్
* రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల గసాభా = 1
* రెండు సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య రెండో దాని గుణిజమైనా లేదా కారణాంకమైనా అయితే చిన్న సంఖ్య గసాభా అవుతుంది.
ఉదా: 6, 18ల గసాభా = 6

* రెండు సంఖ్యలు a, b అయితే వాటి కసాగు, గసాభాల మధ్య సంబంధం
    కసాగు × గసాభా = a × b

Posted Date : 15-10-2020

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

పేపర్ - I

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌