• facebook
  • whatsapp
  • telegram

గణితం, గణిత స్వభావం

* గణితంను ఇంగ్లిష్‌లో Mathematics అంటారు.
* Mathematics అనే పదం రెండు గ్రీకు పదాల కలయిక వల్ల ఏర్పడింది.
   1) Manthanein (నేర్చుకోవడం)
   2) techne (కళ లేదా సూక్ష్మ పద్ధతి)
* గణితం అంటే
i) ''మానవుడు నిత్యజీవితంలో ఎదుర్కొనే అన్ని సమస్యలను గణితశాస్త్ర భాషలోకి తర్జుమా చేసి సమస్యలకు తగిన పరిష్కారం, ఆలోచనా విధానం, ఆచరణీయమైన విధానాలను అందించే సామర్థ్యం ఉన్న శాస్త్రమే గణితం".
ii) కేవలం ఒక భాషా స్వరూపం.
iii) ఒక విధమైన తార్కిక నిర్మాణం.
iv) సంఖ్యలకు, అంతరాళాలకు సంబంధించిన విషయం.
v) దత్తాంశం నుంచి సారాంశాన్ని సాధించే పద్ధతి.
vi) సంఖ్యలతో కొలతలు; విజ్ఞానశాస్త్రాధార కొలతలతో వైశాల్యాలు, ఘనపరిమాణాలు, కాలం, బరువు మొదలైన అంశాలను గణించేది.
vii) అనిశ్చిత విషయాలను బహిర్గతపరచి నిశ్చిత విషయంగా అందించేది.

నిర్వచనాలు: 
బెల్:
సంఖ్యలు, రాశులు, మాపనాల విజ్ఞానమే గణితం.
మేరియా పియరీ: పరికల్పిత ఉత్పాదక వ్యవస్థే గణితం.
బెంజిమన్ పీర్స్: ఆవశ్యకత, పర్యవసానాలను ఊహించే విజ్ఞానమే గణితం. (డీఎస్‌సీ - 2008)
పాస్కల్: ఆత్మ యొక్క ఉత్తమోత్తమమైన అభ్యాసం. ప్రపంచ వృత్తులన్నింటిలోనూ ఇది చక్కనిది.
బెంజిమన్ ఫ్రాంక్లిన్: విజ్ఞానశాస్త్రం కంటే మిన్న అయ్యింది, అద్భుతమైంది, మానవుడి నిత్యజీవితంలో ఎంతో ఉపయోగపడేది, ప్రశంసనీయమైంది, ప్రదర్శించదగింది.
బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్: పరస్పర సంగతాలైన స్వీకృతాల నుంచి తప్పనిసరిగా ఉత్పన్నమయ్యే ఫలితాల సమగ్ర చర్చే గణితం.
ఫ్రాన్సిస్ బేకన్: సకల శాస్త్రాలకు మూలం, ద్వారం లాంటిది గణితం. (Mathematics is the gateway and key to all Sciences)   (డీఎస్‌సీ - 2012)
గాస్ (Gauss): Mathematics is the queen of Sciences and arithmetic is the queen of all mathematics.

గణిత స్వభావం (Nature of Mathematics) 

1. గణితం వరుస క్రమంపై ఆధారపడిన అంశం:
* గణితానికి సంబంధించిన అంశాలు ఒకదానిపై మరొకటి ఆధారపడి ఉంటాయి.
ఉదా: i) క.సా.గు. గుణిజాలపై; గుణిజాలు గుణకారంపై; గుణకారం సంకలనంపై ఆధారపడి ఉంటాయి.
     ii) వైశ్లేషిక రేఖాగణితం - బీజగణితం, ప్రాథమిక జ్యామితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

 

2. అమూర్త లక్షణం (Abstract):

* గణితం అనేక అమూర్త భావనలు ఉండే శాస్త్రం.
ఉదా: 'సంఖ్య' అనేది ఒక అమూర్త భావన.
      రెండు కలాలు, రెండు కాయలు
      'రెండు' అనేది అమూర్త భావన.

 

3. గణితం తార్కికమైంది:
* తర్కమే గణితానికి పునాది.
*గణితశాస్త్ర భావనలన్నీ పూర్తిగా తార్కిక నిర్మాణం వల్లే ఏర్పడ్డాయని భావించినవారు రస్సెల్, వైట్‌హెడ్.
4. ప్రతి గణిత ప్రవచనం మానవుడి అంతర్బుద్ధి (సహజ జ్ఞానం) వల్ల ఏర్పడుతుంది.
5. గణితాన్ని రోదసి సంబంధాల, సంఖ్యల, నమూనాల అధ్యయనం అని కూడా అనవచ్చు.
6. ఒక అధ్యయనానికి సంబంధించి విషయ విశ్లేషణకు, ఫలితాలను రాబట్టడానికి గణితం ఎక్కువగా తోడ్పడుతుంది.

 

7. కచ్చితత్వం (Accuracy):
¤ గణితం హేతువాద పద్ధతి ద్వారా కచ్చితమైన ఫలితాలను సాధించడానికి వీలైన శాస్త్రం. గణితంలో సందిగ్ధతకు తావులేదు. గణితంలోని ఫలితాలను 'సరైనవి', 'సరికానివి' అని మాత్రమే వర్గీకరించవచ్చు.
ఉదా: 4 × 9 = 36. ఈ ఫలితం ఎవరు చెప్పినా ఒకేవిధంగా ఉంటుంది.
8. సరిచూసే పద్ధతి గల శాస్త్రం.

 

9. ఆగమన - నిగమన హేతువాదం:
¤ ఆగమన హేతువాదం: ఒక విషయాన్ని అనేకసార్లు పరిశీలించినప్పుడు ఒకే ఫలితం వచ్చినట్లయితే, మిగతా అన్ని సందర్భాల్లో కూడా అదే ఫలితం వస్తుందన్న నమ్మకం కలిగితే, అలాంటి విషయ నిర్ధరణను ఆగమన హేతువాదం అంటారు.
ఉదా: 3 + 5 = 8
     7 + 11 = 18
    11 + 3 = 14
       పై ఉదాహరణల ద్వారా 'రెండు బేసిసంఖ్యల మొత్తం ఒక సరిసంఖ్య' అని తెలుసుకోవచ్చు.
నిగమన హేతువాదం: కొన్ని స్వానుభవ విషయాలు, అనిర్వచిత పదాలు, స్వీకృతాలు, నిరూపించబడిన సత్యాలపై ఆధారపడిన హేతువాదమే నిగమన హేతువాదం.
ఉదా: 'వృత్తంలో ఒక చాపం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం అదే చాపంతో మిగిలిన పరిధిపై ఏర్పడే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది' అనే సత్యం ఆధారంతో అర్ధ వృత్తఖండంలోని కోణం లంబకోణం (Right Angle) అని నిరూపించడం.
10. గణితం అభ్యసించడం ద్వారా విద్యార్థుల్లో తార్కిక ఆలోచనా శక్తి, సృజనాత్మక శక్తులు అభివృద్ధి చెందుతాయి.
11. జ్యామితి ఆధారంగా నిర్మించే కట్టడాలు, ప్రకృతిలో సౌష్ఠవ రూపంలో ఉండే పూలు, ఆకులు, శిల్పాలు, పజిల్స్ అన్నీ గణిత నియమాలకు లోబడిన విషయాలే. కాబట్టి గణితానికి సౌందర్య లక్షణం (Aesthetic Character) ఉంది.

 

గణిత స్వభావం - ప్రసిద్ధ వాదాలు: 
గణిత స్వభావాన్ని వివరించే వాదాలు 3. అవి
(1) తార్కికవాదం
(2) సహజ జ్ఞానవాదం 

(3) సాంప్రదాయకవాదం
 

1. తార్కికవాదం (School of Logicism):
* గణితం తర్కంతో సమానం.
* ఈ వాదంలో కొన్ని సంక్షిప్త స్వీకృతాల నుంచి గణితాన్ని అభివృద్ధి చేస్తారు. స్వీకృత సమితి వాదం, దాని అనుమితి సూత్రాలను ఉపయోగించి సాధారణ గణితపు గణనీయమైన అంశాలన్నింటినీ పూర్తిగా సాంప్రదాయక భాషలో సాధించే ప్రయత్నం ఈ వాదంలో ప్రధానం.
* ఈ వాదాన్ని ప్రచారం చేసినవారు బెర్డ్రాండ్ రస్సెల్, ఎ.ఎన్. వైట్‌హెడ్. వీరు 'ప్రిన్స్‌పియా మేథమెటికా' అనే గ్రంథాన్ని రచించారు.

 

2. సహజ జ్ఞానవాదం (School of Intutionism): ఈ వాదం ప్రకారం
* మానవుడి సహజసిద్ధమైన ఆలోచనల ఫలితంగా సహజసంఖ్యలు ఏర్పడ్డాయి.
* సహజసంఖ్యల నిర్మాణంపై గణితం ఆధారపడి ఉంది.
* గణితం అనేది ఒక నిర్మాణాత్మక ప్రక్రియ.
* గణితం తన విశ్వాన్ని తానే నిర్మించుకుంటుంది.
* గణిత భావనలు మానవుడి ఆలోచనల్లో లీనమై ఉంటాయి.
* ఈ వాదాన్ని ప్రచారం చేసినవారు: లియోపాడ్ క్రోనేకర్, హెన్రీ పాయింకేర్.

 

3. సాంప్రదాయక వాదం (School of Formalism):
* ఈ వాదం ప్రకారం
* గణితంలోని ప్రతి శాఖకు తనదైన స్వీకృతాలు, మౌలిక భావనలు, నియమాలు, సిద్ధాంతాలతో కూడి ఉన్న ఒక సాంప్రదాయక నిగమన పద్ధతి ఉంది.
* గణితం నిలకడైన, సంపూర్ణమైన పూర్వ నిర్ధారిత నియమావళుల ప్రకారం ఆడే ఒక ఆట.
* ఈ వాదాన్ని డేవిడ్ హిల్‌బర్ట్ ప్రవేశపెట్టారు. 'గ్రండ్లా గెనెడర్ మేథమెటికా' (గణిత పునాదులు) అనే గ్రంథాన్ని రచించాడు.

 

గణిత చరిత్ర అధ్యయనం - ప్రయోజనాలు: 
* మానవజాతి నిజమైన చరిత్ర అంటే మానవ మేథాచరిత్రే. మానవుడి ప్రగతికి గణితం ఒక ప్రామాణిక కొలబద్ద.
* చారిత్రకాంశాల పరిచయం, అధ్యయనం గణితం పట్ల ఆసక్తి, అభిరుచులను పెంచుకోవడానికి, సులభ అవగాహనకు సహకరిస్తాయి.
* గణితానికి ఇతర శాస్త్రాలతో గల సంబంధాన్ని, దానిలోని అనేక శాఖల మధ్య సహసంబంధాన్ని తెలుసుకునేందుకు చరిత్ర ఉపకరిస్తుంది.
* గణిత శాస్త్రజ్ఞుల జీవిత చరిత్రలు, ఆలోచనా రీతులు, సాధించిన పద్ధతులు గణితం నేర్చుకునేవారికి ప్రేరణగా, మార్గదర్శకంగా ఉంటాయి.
* ''గణితాన్ని దాని చరిత్ర నుంచి విడగొట్టే ఏ ప్రయత్నం వల్లనైనా గణితం నష్టపోయినంతగా ఏ శాస్త్రం ఇటువంటి ప్రయత్నాల వల్ల నష్టపోదు అని నేను దృఢంగా చెప్పగలను". - డబ్ల్యు. గ్లైషర్
* గణితాన్ని దాని చరిత్రతో కలిపి బోధించడం వల్ల గణిత భావనల అవగాహన మెరుగవుతుంది. - డి.స్టాండర్


గణిత చరిత్ర జ్ఞానం వల్ల ఉపాధ్యాయుడికి కలిగే ప్రయోజనాలు: 
* గణితం పట్ల అభిరుచి కలిగించవచ్చు.
* గణిత భావనల అవగాహన తేలిక అవుతుంది.
* మెరుగైన బోధనకు తోడ్పడుతుంది.
* నూతన అంశాల అన్వేషణ, పరిశీలనకు విద్యార్థుల్లో ప్రేరణ కలిగేలా ప్రయత్నించవచ్చు. (డీఎస్‌సీ - 2006)
* అనేక ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతులు తెలుసుకునే వీలుంటుంది.
¤* ఏఏ అంశాల నుంచి ఏ గణిత శాఖ ఎలా ప్రారంభమై అభివృద్ధి చెందిందో తెలుస్తుంది.
* తోటి ఉపాధ్యాయులతో మేథా సంబంధిత భావ వినిమయానికి ఉపయోగపడుతుంది.
* భావనను అవగాహన చేసుకోవచ్చు.
* ''గణితాన్ని ఆలోచనల, సమస్యల చరిత్రగా ప్రదర్శించాలి".  - లైబ్నిజ్

గణితశాస్త్రం - చారిత్రక సమీక్ష 

అరబ్బులు - గణితశాస్త్రం
* అరబ్బులు అరిస్టాటిల్, యూక్లిడ్, అపల్లోనియస్, ఆర్కిమెడిస్, టాలమీ రచనలను అరబ్బీ భాషలోకి అనువదించారు.
* గణితశాస్త్ర సమాహారం (Mathematical Collections)ను రచించనవారు: టాలమీ (ఈయన గ్రీకు దేశస్థుడు).
* గణితశాస్త్ర సమాహారాన్ని అరబ్బులు ఆల్మగెస్ట్ (Almagest)గా పిలిచేవారు.


* వీరు 10 ఆధారంగా గల భారతీయ సంఖ్యా విధానాన్ని వారి దేశంలో ప్రవేశపెట్టారు.
* బీజగణితాన్ని రచించిన అరబ్బు గణిత శాస్త్రవేత్త అల్ ఖ్వారిజ్మి (Al-Khowarizmi).
* అమికబుల్ నంబర్స్ (Amicable Numbers) అనే అంశంపై ఒక గ్రంథాన్ని రచించినవారు: టబిట్ ఇబిన్ కొర్ర (Tabit ibn Korra)
* మాత్రికా చతురస్రాల గురించి చర్చించిన తొలి చైనేతరుడు టబిట్ ఇబిన్ కొర్ర.
* టాంజెంట్ పట్టికలను తయారుచేసినవారు అల్ ఖ్వారిజ్మి.
* కో టాంజెంట్ పట్టికలను తయారుచేసినవారు అల్ బట్టాని.
* సంఖ్యా సిద్ధాంతాన్ని ప్రవేశపెట్టినవారు అల్ బార్కి.

ఈజిప్టు దేశస్థులు 
* ప్రాచీనకాలంలో ఈజిప్ట్ దేశంలో నిర్మించిన పిరమిడ్లు వారి 'రేఖా గణిత జ్ఞానానికి' నిదర్శనం.
* క్రీ.పూ. 1700 సంవత్సరంలో 'ఈజిప్షియన్ పాపిరస్' అనే కరదీపికను రచించినవారు: అహిమ్స్ (AHEMS)
* వీరు స్వీకృతాలపై ఆధారపడిన జ్యామితిని రూపొందించలేకపోయారు.
* వీరు దశాంశ పద్ధతిని ఉపయోగించారు.
* ఈజిప్షియన్లకు సమగ్రమైన, సూక్ష్మమైన సంజ్ఞా విధానం లేదు.
* ఈజిప్షియన్లు భిన్నాలు రాయడంలో లవాన్ని స్థిరంగా ఉంచేవారు.
* ''క్షేత్రగణితం నైలునది వరప్రసాదం" - హెరడోటస్ (HERODOTUS)
* ఈజిప్షియన్లు 'వృత్త వ్యాసంలో   వంతు తగ్గించి దాన్ని వర్గం చేస్తే వృత్త వైశాల్యం లభిస్తుంది' అని పేర్కొన్నారు. 


 

గ్రీకులు

గ్రీకు శాస్త్రజ్ఞులు: థేల్స్, పైథాగరస్, ప్లాటో, యూక్లిడ్, ఆర్కిమెడిస్, అపల్లోనియస్, హెరాన్, హిప్పార్కస్, డయాఫాంటస్, ఎరటోస్థనీస్, హిప్సీక్లీస్, నికోమాకస్.
 

థేల్స్:
* గ్రీకు దేశంలో రేఖాగణిత అధ్యయనాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు.
* 'అయోనిక్ పాఠశాల'ను స్థాపించాడు.

 

పైథాగరస్ (Pythogorus): 
* పైథాగరస్ దక్షిణ ఇటలీలోని క్రాటన్‌లో 'పైథాగరియన్ పాఠశాల'ను స్థాపించాడు.
* ఇతడి అకాడమీ చిహ్నం: అయిదు శీర్షాల నక్షత్రం.
* ఎక్కువగా కృషి చేసిన అంశం: వైశాల్యం
* సంఖ్యావాదాన్ని అభివృద్ధి చేశాడు. త్రిభుజ సంఖ్యలు, చతురస్ర సంఖ్యలు, స్నేహ సంఖ్యలు, పరిపూర్ణ సంఖ్యలను పరిచయం చేశాడు.
* సంఖ్యలను బేసి, సరి సంఖ్యలుగా వర్గీకరించాడు.
* ప్రతి బేసి సంఖ్యను రెండు వర్గాల భేదంగా చూపాడు.
* 1 నుంచి 2n + 1 వరకు గల బేసిసంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ ఒక కచ్చిత వర్గం అవుతుంది అని నిరూపించాడు.
* ఒకే చుట్టుకొలత ఉండే అన్ని రకాల సంవృత పటాల్లో వృత్తం చాలా ఎక్కువ వైశాల్యం కలిగి ఉంటుందని చెప్పాడు.
* గణిత విజ్ఞానాన్ని సంగీతంలో ప్రవేశపెట్టాడు.
* త్రిభుజంలో మూడు కోణాల మొత్తం 180O అని చెప్పాడు.
* ప్రాచుర్యం పొందిన ఇతడి సిద్ధాంతం: ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం యొక్క వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం.

ప్లాటో (Plato):
* ఈయన సోక్రటీస్ (Socrates) కు స్నేహితుడు, శిష్యుడు.
* 'ఉపపత్తికి విశ్లేషణను ఒక పద్ధతిగా కనుక్కోవడం' అతడు సాధించిన గొప్ప విజయాల్లో ఒకటి.
* గణిత శాస్త్రజ్ఞులను తయారుచేస్తాడని పేరుపొందాడు.
* ప్లాటో సమకాలికులు: యుడోక్సస్, అరిస్టాటిల్.
* ఈయన అరిస్టాటిల్ నిగమన తర్కాన్ని క్రమబద్ధీకరించాడు.

 

యూక్లిడ్ (Euclid)
* ఎలిమెంట్స్ (Elements) గ్రంథాన్ని రచించాడు.
* ఇతడి మరో గ్రంథం డాటా (Data).
* ఒకటి కంటె పెద్దదైన ఏ పూర్ణసంఖ్యనైనా ప్రధానసంఖ్యల లబ్ధంగా ఒకేఒక విధంగా రాయవచ్చని చెప్పాడు..
* కరణీయ సంఖ్యలు, పైథాగరీయన్ త్రికాలను కనుక్కున్నాడు.
* 'ఫాదర్ ఆఫ్ జామెట్రీ' (Father of Geometry) గా గౌరవం పొందాడు.

 

ఆర్కిమెడిస్:
      ఈయన రచించిన పుస్తకాలు
      1) Centre of Plane Gravities
      2) Quadrature of Parabola
      3) The Method
      4) The Measurement of a Circle
      5) Mensuration of a Circle
* అనేక పుస్తకాలు రచించడం వల్ల ఇతడికి 'న్యూటన్ ఆఫ్ యాంటీక్విటీ' (Newton of Antiquity) అనే బిరుదు వచ్చింది.
అపల్లోనియస్: శాంఖవ పరిచ్ఛేదం (Conic Section) పై 8 పుస్తకాలు రచించాడు.
హెరాన్: త్రిభుజ వైశాల్యానికి దాని భుజాలపై ఆధారపడిన సూత్రాన్ని కనుక్కున్నాడు.
హిప్పార్కస్: ఖగోళ శాస్త్రానికి ఉపయోగపడే 'త్రికోణమితి'ని కనుక్కున్నాడు.
డయాఫాంటస్: ఇతడి గ్రంథం అరిథ్‌మెటికా (Arithmetica).
ఎరటోస్థనీస్: సంయుక్త సంఖ్యలను వేరుచేయడం ద్వారా ప్రధాన సంఖ్యలను కనుక్కునే పద్ధతిని కనిపెట్టాడు.
హిప్సీక్లీస్: బహుభుజి సంఖ్యలు, అంకగణిత శ్రేణులపై కృషి చేశాడు. ఇతడి గ్రంథం: రైజింగ్ ఆఫ్ ది స్టార్స్ (Rising of the Stars).
నికోమాకస్: ఇంట్రడక్టియో అరిథ్‌మెటికా (Introductio Arithmetica) అనే గ్రంథాన్ని రచించాడు.

భారతీయులు
* దశాంశమానాన్ని ప్రపంచానికి అందించారు.
* భారతదేశంలో మొదటిసారిగా (క్రీ.శ. 876లో) సున్న (0)ను ఉపయోగించారు.
* రుణరాశుల ఉనికిని గుర్తించింది భారతీయులే.
* ప్రాచీన గణిత శాస్త్రవేత్తలు: ఆర్యభట్ట, బ్రహ్మగుప్త, మహావీర, భాస్కరాచార్య, వరాహమిహిర, శ్రీధరపద్మనాభ మొదలైనవారు.
* 20వ శతాబ్దపు గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో ప్రసిద్ధుడు శ్రీనివాస రామానుజన్.

 

ఆర్యభట్ట:
* క్రీ.శ.476లో పాటలీపుత్రంలో జన్మించాడు.
* ఇతడి గ్రంథం ఆర్యభట్టీయం (Aryabhatiya).
* ఆర్యభట్టీయంలో 4 పాదాలు (121 శ్లోకాలు) ఉన్నాయి.
      1) గీతికా పాదం
      2) గణిత పాదం
      3) కాలక్రియా పాదం
      4) గోళ పాదం
* వ్యాసార్ధం 100గా గల వృత్తంలో బహుభుజిని నిర్మించి, దాని భుజాల సంఖ్యను పెంచడం ద్వారా Π కి సరైన విలువ కనుక్కున్నాడు.
* Π = 3.1416
* ఆర్యభట్టీయంను 'ఆజ్‌బబాహర్' అనే పేరుతో అరబ్బీ భాషలోకి అనువదించారు.
* ఇతడి ప్రియ శిష్యుడు: లాటదేవ
* భారతదేశం ప్రయోగించిన మొదటి ఉపగ్రహం - ఆర్యభట్ట.

 

భాస్కరాచార్య:
* క్రీ.శ. 12వ శతాబ్దానికి చెందినవాడు.
* ఇతడి గ్రంథాలు 1) సిద్ధాంత శిరోమణి  (డీఎస్‌సీ - 2012)
                 2) కరణ కుతూహలం.
* సిద్ధాంత శిరోమణి 4 భాగాలుగా ఉంటుంది.
   i) లీలావతి గణితం
   ii) బీజ గణితం
   iii) గణితాధ్యాయం
   iv) గోళాధ్యాయం
* సున్నాకు చెందిన నియమాలు ఇచ్చాడు.
* ఇతడి ప్రకారం Π విలువ 3.1255. సామాన్య గణనలకు Π విలువను  గా తీసుకోవచ్చని ప్రతిపాదించాడు.
* ఒక ధనరాశి వర్గమూలం ధన, రుణరాశుల్లో ఏదైనా కావచ్చని, కానీ ఒక రుణరాశికి వర్గమూలం లేదని చెప్పాడు.

 

శ్రీనివాస రామానుజన్

* క్రీ.శ. 1887 డిసెంబరు 22న తమిళనాడులోని ఈరోడ్‌లో జన్మించాడు.
* శుద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో రామానుజన్ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి పొందాడు.
* ఇతడి గణిత పరిశోధనా విషయాలన్నీ ముఖ్యంగా సంఖ్యావాదానికి (Theory of Numbers) చెందుతాయి.
* మాజిక్ స్క్వేర్స్, కంటిన్యూడ్ ఫ్రాక్షన్స్, ఎలిప్టిక్ ఇంటిగ్రల్స్‌పై పరిశోధనలు చేశాడు.
* 'రెండు కంటే పెద్దదైన ప్రతి సరిసంఖ్యను రెండు ప్రధానసంఖ్యల మొత్తంగా రాయగలం' అనే గోల్డ్‌బాక్ కంజక్చర్
(Goldbach's Conjecture) యొక్క వివరణను రామానుజన్ కనుక్కున్నాడు.
ఉదా: 8 = 3 + 5
     10 = 3 + 7
     14 = 3 + 11
* రామానుజన్ సంఖ్య: 1729
1729 = 103 + 93 = 123 + 13
* 'సమున్నత సంయుక్త సంఖ్యలు' అనే భావనను ప్రవేశపెట్టాడు.
ఉదా: 6 ఒక సమున్నత సంయుక్త సంఖ్య.
* Π విలువకు అనేక సూత్రాలు ఇచ్చాడు. ఇతడు ఇచ్చిన సూత్రాలను ఉపయోగించి కంప్యూటర్ల సహాయంతో Π విలువను 17.5 మిలియన్ దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కున్నారు.

 

రెనెడెకార్టె:
* 'ఆధునిక గణితానికి' పితామహుడు.
* ఇతడి ప్రసిద్ధ గ్రంథం - డిస్‌కోర్స్ ఆన్ మెథడ్.
* వర్గమూలానికి మొదటిసారిగా   గుర్తును ఉపయోగించాడు.

 

జార్జి కాంటర్:
* సమితి వాదాన్ని ప్రతిపాదించి అభివృద్ధి చేసిన శాస్త్రవేత్త.
* ఆధునిక గణిత భాషకు ఆద్యుడు.
* ఇతడి సంచలనాత్మక వ్యాసం 'థియరీ ఆఫ్ ఇన్‌ఫైనట్ సెట్'.
* రాయల్ సొసైటీ సిల్వెస్టర్ మెడల్, డాక్టర్ ఆఫ్ లాస్ పురస్కారాలను పొందాడు.

గణితం, గణిత స్వభావం 

       గణితం అంటే, సంఖ్యలతో కొలతలు, విజ్ఞాన శాస్త్రాధార కొలతలతో వైశాల్యాలు, ఘనపరిమాణాలు, కాలం, బరువు మొదలైన అంశాలను గణించేది.
* అనిశ్చిత విషయాన్ని బహిర్గతపరచి నిశ్చిత విషయంగా అందించేది.
* గణ్ అంటే లెక్కించడం కాబట్టి గణితమంటే లెక్కించే పని, లెక్క అని పేర్కొనవచ్చు.
      గణితాన్ని ఇంగ్లిష్‌లో Mathematics అంటారు. ఈ పదం గ్రీక్ భాషలోని Manthanein (నేర్చుకోవడం), Techne (ఒక కళ లేదా సూక్ష్మ పద్ధతి) అనే పదాల నుంచి పుట్టింది.


ప్రముఖ వ్యక్తుల నిర్వచనాలు 
* ఆవశ్యకత, పర్యవసానాలను ఊహించే విజ్ఞానమే గణితం - బెంజిమన్ పీర్స్
* సకల శాస్త్రాలకు మూలం, ద్వారం లాంటిది గణితం - ఫ్రాన్సిస్ బేకన్
* విజ్ఞాన శాస్త్రం కంటే మిన్నయినది, అద్భుతమైంది, మానవుడికి నిత్యజీవితంలో ఎంతో ఉపయోగపడేది, ప్రశంసనీయమైంది, ప్రదర్శించబడేదే గణితం - బెంజిమన్ ఫ్రాంక్లిన్
* సంఖ్యా రాశుల మాపనాల విజ్ఞానమే గణితం - బెల్
* పరికల్పిత ఉత్పాదక వ్యవస్థే గణితం - మేరియాపియరీ
* హేతువాదంలో మానవుడి మేధస్సు స్థిరపడే మార్గమే గణితం - లాక్

గణిత స్వభావం
1. గణితం అమూర్త లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
* గణితంలోని భావనలన్నీ అమూర్త భావనలు.
ఉదా: సంఖ్య అనేది అమూర్త భావన.
2. గణిత భావనలన్నీ ఒకదానిపై మరొకటి ఆధారపడి ఉంటాయి, శాశ్వతమైనవి.
ఉదా: క.సా.గు. అనే భావన సామాన్య గుణిజాల మీద; సామాన్య గుణిజాలు అనే భావన గుణకారం మీద, గుణకారం సంకలనం మీద, సంకలనం సంఖ్యలపై ఆధారపడి ఉంటాయి.
3. గణితం కచ్చితత్వాన్ని (Accuracy) ని కలిగి ఉంటుంది.
* గణితంలోని ఫలితాలు సరైనవి, సరికానివి అని మాత్రమే వర్గీకరించవచ్చు. సందిగ్ధతకు తావు లేదు.
4. గణితం తార్కికమైంది.
* తర్కమే గణితానికి పునాది. గణిత భావనలన్నీ తార్కిక నిర్మాణం వల్లే ఏర్పడ్డాయని రస్సెల్, వైట్‌హెడ్ భావించారు.
5. సరిచూసే పద్ధతిని కలిగి ఉంటుంది (Self verification): సమస్యలను గణిత పద్ధతుల్లో సాధించిన తర్వాత ఫలితాలను సరిచూసుకునే అవకాశం ఉంది.
6. హేతువాదాన్ని కలిగి ఉంటుంది. గణితానికి మూలం హేతువాదం.

i) ఆగమన హేతువాదం: ఒక విషయాన్ని అనేకసార్లు పరిశీలించినప్పుడు ఒకే ఫలితాన్ని పొందినట్లయితే, మిగతా అన్ని సందర్భాల్లో కూడా అదే ఫలితానిస్తుందని నమ్మకం కలిగితే అలాంటి విషయ నిర్ధారణను ఆగమన హేతువాదం అంటారు.
ఉదా: రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఒక సరి సంఖ్య అవుతుంది అని విషయ నిర్ధారణ చేయడం.
ii) నిగమన హేతువాదం: కొన్ని స్వానుభవ విషయాలు, అనిర్వచిత పదాలు, స్వీకృతాలు, నిరూపించిన సత్యాలపై ఆధారపడిన హేతువాదాన్ని నిగమన హేతువాదం అంటారు.
ఉదా: వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని ఇస్తే ఆ వృత్త వైశాల్యాన్ని గణించడం.
7. గణితాన్ని రోదసీ సంబంధాల, సంఖ్యల, నమూనాల అధ్యయనం అని కూడా అంటారు.
8. గణితం కచ్చితమైన, అందమైన, లోతైన నిర్మాణాలతో వ్యవహరిస్తుంది.
9. గణితం సహజసిద్ధమైన ఆలోచనా విధానాన్ని కలిగి ఉంటుంది.


గణిత స్వభావం - ప్రసిద్ధ వాదాలు
గణిత స్వభావాన్ని వివరించే వాదాలు 3
1. తార్కిక వాదం (School of Logicism)
2. సహజజ్ఞాన వాదం (School of Intuitionism)
3. సాంప్రదాయిక వాదం (School of Formalism)
* తార్కిక వాదం: ఈ వాదాన్ని ప్రచారం చేసిన వారు బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్, ఎ.ఎన్. వైట్‌హెడ్.
* ప్రిన్స్‌పియామేథమెటికా అనే గ్రంథం ఈ వాదాన్ని వివరిస్తుంది. ఈ వాదం ప్రకారం, 
* గణితం అంతా తర్కమే.
* గణితానికి సంబంధించిన అంశాలన్నింటినీ ఏ వైరుధ్యం లేకుండా తర్కం నుంచే సాధించవచ్చు.
* సహజజ్ఞాన వాదం: ఈ వాదాన్ని ప్రచారం చేసినవారు లియోపాడ్‌ క్రోనేకర్, హెన్రీ పాయింకేర్. ఈ వాదం ప్రకారం, 
* గణితం అనేది ఒక నిర్మాణాత్మక ప్రక్రియ.
* గణితం తన విశ్వాన్ని తానే నిర్మించుకుంటుంది. 
* గణిత భావనలు అన్నీ మానవుడి ఆలోచనలో లీనమై ఉంటాయి.
* సాంప్రదాయికవాదం: ఈ వాదాన్ని ప్రచారం చేసింది డేవిడ్ హిల్‌బర్ట్. గ్రండ్లాగెన్‌డెర్ మేథమెటికా (గణిత పునాదులు) అనేది ఈయన రాసిన గ్రంథం.

 

ఈ వాదం ప్రకారం, 
* గణితంలోని ప్రతి శాఖ తనదైన స్వీకృతాలు, మౌలిక భావనలు, నియమాలు, సిద్ధాంతాలతో కూడి ఉన్న ఒక సాంప్రదాయిక నిగమన పద్ధతిని కలిగి ఉంది. 
* గణితం అనేది నిలకడైన, సంపూర్ణమైన పూర్వ నిర్ధారిత నియమావళుల ప్రకారం ఆడే ఆట.
* గణిత చరిత్ర జ్ఞానం వల్ల ఉపాధ్యాయుడికి కలిగే ప్రయోజనాలు: గణితం పట్ల అభిరుచి కలిగించవచ్చు.
* మెరుగైన బోధనకు తోడ్పడుతుంది. 
* ఏయే అంశాల నుంచి ఏ గణితశాఖ ఎలా ప్రారంభమై అభివృద్ధి చెందిందో తెలుస్తుంది. 
* నూతన అంశాల అన్వేషణ, పరిశీలనకు వారిలో ప్రేరణ కలిగించవచ్చు. 
* అనేక ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతులు తెలుసుకునే వీలు కలుగుతుంది.

Posted Date : 09-10-2020

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

పేపర్ - II

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌