ప్రస్తారాలు

 అమరిక కుదిరితే మార్కు దక్కినట్లే! * చాలా రోజుల తర్వాత ఆరుగురు స్నేహితులు కలిశారు. అందరూ కూర్చున్న క్రమంలో కూర్చోకుండా ఫొటోలు దిగాలనుకున్నారు. అంతేకాదు తమకు ఇష్టమైన కొన్ని పాటలను విన్న వరుసలో వినకుండా వినాలనుకున్నారు. ఆలోచనలు బాగానే ఉన్నాయి. కానీ ఆ అమరికలను ఆలోచించడానికే సమయం సరిపోతుందేమో అని ఆందోళన చెందారు. కానీ అందులోనే ఉన్న ఒక గణితం విద్యార్థి కొన్ని లెక్కలు వేసి కాసేపట్లో పరిష్కారం చూపించాడు. అంతే అందరూ ఆనందంగా దాన్ని ఫాలో అయిపోయారు.  గణితంలోని ప్రస్తారాలు పాఠం నేర్చుకుంటే ఆ విధంగా అమరికలపై పట్టు కుదురుతుంది. కంప్యూటర్‌ సైన్స్, క్రిప్టోగ్రఫీ తదితరాల్లో ఈ నైపుణ్యం చాలా అవసరం. ప్రస్తుతానికి ప్రతి పోటీ పరీక్షలో మార్కులు సాధించుకోవడానికి కూడా తప్పకుండా తెలుసుకోవాలి.   ఇచ్చిన n విభిన్న అంశాల్లో అన్నింటిని లేదా కొన్నింటిని తీసుకొని వాటి వల్ల ఏర్పాటు చేయగలిగిన విభిన్న అమరికలను ప్రస్తారాలు (Permutations) అంటారు. ఉదా: 1) x, y, z అక్షరాల నుంచి ఒకేసారి అన్ని అక్షరాలను తీసుకుంటే అవి ఏర్పరిచే విభిన్న అమరికలు లేదా ప్రస్తారాలు                    xyz, yzx, zxy, zyx, yxz, xzy 2)   a, b, cఅక్షరాల నుంచి ఒకేసారి 2 అక్షరాలను తీసుకుంటే అవి ఏర్పరిచే విభిన్న అమరికలు లేదా ప్రస్తారాలు           ab, bc, ca, cb, ba, ac  *  n ఒక ధనాత్మక పూర్ణాంకం అయితే factorial ‘n’ను n! లేదా  n తో సూచిస్తారు.     n! = n(n − 1)(n − 2) ..... × 3 × 2 × 1     5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120     4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24       3! = 3 × 2 × 1 = 6       2! = 2 × 1 =- 2      1! = 1      0! = 1  *   n వస్తువులన్నింటిలో r వస్తువులను ఒకేసారి తీసుకున్నప్పుడు ఏర్పడే అన్ని ప్రస్తారాలనుnPrతో సూచిస్తారు.  nPr = n(n − 1)(n − 2)........(n − r + 1)  * n వస్తువుల నుంచి అన్నింటినీ ఒకేసారి తీసుకున్నప్పుడు ఏర్పడే ప్రస్తారాల సంఖ్యను  nPn తో సూచిస్తారు.         nPn = n!        nP1 = n       nP0 = 1 * n వస్తువులను ఒక వరుసక్రమంలో (రేఖీయంగా) అమర్చే విధానాల (ప్రస్తారాలు) సంఖ్య → n!  * n వస్తువులను వృత్తాకారంగా అమర్చే విధానాల సంఖ్య  → (n − 1)! *  ఒకేవిధంగా ఉండే P1వస్తువులు, మరొక రకంగా ఉండే P2 వస్తువులు ..... అదేవిధంగా ఇంకో రకంగా ఉండే  Pr వస్తువులు                                                -! మాదిరి ప్రశ్నలు  1.    అయిదుగురు వ్యక్తులను నాలుగు ఖాళీ కుర్చీల్లో పునరావృతం కాకుండా అమర్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య?   1) 120     2) 36     3) 24      4) 720  = 5 × 4 × 3 × 2 = 120  మొదటి కుర్చీలో అయిదుగురిలో ఎవరైనా కూర్చోవచ్చు. మొదటి స్థానంలో ఒకరు కూర్చున్నారు. కాబట్టి రెండో స్థానంలో మిగిలిన నలుగురిలో ఒకరిని కూర్చోబెట్టవచ్చు. ఈ విధంగా చివరి వరకు చేస్తే ప్రస్తారాల సంఖ్య  = 5 × 4 × 3 × 2 = 120  జ: 1 2.  TIME అనే పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి పునరావృతం కాకుండా నాలుగు అక్షరాల పదాలను ఎన్ని విధాలుగా రాయవచ్చు?     1) 120    2) 360    3) 180    4) 24 వివరణ: 4P4 =4 × 3 × 2 × 1 = 24   (లేదా)  = 4 × 3 × 2 × 1 =- 24  జ: 4  3. MATHEMATICS అనే పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే ప్రస్తారాల సంఖ్య?  వివరణ: MATHEMATICS లోని మొత్తం అక్షరాలు 11  పునరావృతమయ్యే అక్షరాలు M − 2 సార్లు, T − 2 సార్లు,  A − 2 సార్లు  జ: 1  4.  PERMUTATION అనే పదంలోని అక్షరాలను ఎన్ని విభిన్న విధాలుగా అమర్చవచ్చు?  వివరణ: PERMUTATION పదంలోని మొత్తం అక్షరాలు 11  పునరావృతమయ్యే అక్షరాలు T − 2  సార్లు  జ: 1  5.   1 నుంచి 9 వరకు గల అంకెలను ఉపయోగించి నాలుగు అంకెల సంఖ్యలను పునరావృతం కాకుండా ఎన్ని రాయవచ్చు? 1) 3020     2) 3024      3) 3025      4) 2034 = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024  జ: 2  6.    2, 3, 5, 7, 9 అనే అంకెలను ఉపయోగిస్తూ, వాడిన అంకెను మళ్లీ వాడకుండా మూడు అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని రాయవచ్చు?   1) 80    2) 60    3) 24    4) 36  = 5 × 4 × 3 = 60  జ: 2 7. MOTHER అనే పదంలోని అక్షరాలను అమర్చినప్పుడు (పునరావృతం కాకుండా) M తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య?   1) 240   2) 120   3) 60   4) 180  వివరణ: 1P1 × 5P5 =1 × 5! =120  M ×  (మిగిలిన అక్షరాలు)   (లేదా) = 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 జ: 2 8.  SUCCESS  అనే పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే అయిదు అక్షరాల పదాల సంఖ్య?      1) 120     2) 360     3) 210     4) 240  S − 3  సార్లు వచ్చింది = 3!  C − 2  సార్లు వచ్చింది = 2!  = 7 × 6 × 5 =210  జ: 3 ప్రాక్టీస్‌ ప్రశ్నలు 1.  FATHER అనే పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి (పునరావృతం కాకుండా) ఏర్పరిచే ప్రస్తారాల సంఖ్య?    1) 120     2) 210     3) 720     4) 360  2.   నలుగురు వ్యక్తులను ఒక వరుసక్రమంలో అమర్చే విధానాల సంఖ్య?   1) 20     2) 120      3) 36     4) 24  3.   ఆరుగురు పురుషులను వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాల సంఖ్య?      1) 24     2) 120     3) 720     4) 5040  4.    ఏడు వేర్వేరు రంగులు ఉన్న పూసలను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే దండల సంఖ్య? 1) 720   2) 360   3) 120   4) 2520  5.   APPLE అనే పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి రాసే పదాల సంఖ్య?  1) 120   2) 60   3) 45   4) 360  6.    MOTHER  అనే పదంలోని అక్షరాలను అమర్చినప్పుడు అచ్చులు పక్కపక్కన లేకుండా ఉండే విధానాలు ఎన్ని?  1) 460     2) 490     3) 720     4) 480  7.    నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలు వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ కూర్చున్నప్పుడు బాలికలందరూ పక్కపక్కన (కలిసి) ఉండే విధానాలు ఎన్ని?     1) 24      2) 144     3) 160      4) 320  8.    3, 2, 5, 4 అంకెలను ఉపయోగించి రాయగల మూడంకెల సంఖ్యల సంఖ్య?  1) 12     2) 24     3) 60     4) 120  9.    9, 3, 0, 2, 5, 6 అంకెలను ఉపయోగించి అంకెలు పునరావృతం కాకుండా ఎన్ని నాలుగు అంకెల సంఖ్యలను రాయవచ్చు?  1) 360     2) 320     3) 300     4) 720  10.    5, 3, 0, 2, 1 అంకెలను ఉపయోగించి అంకెల పునరావృతాన్ని అనుమతిస్తూ ఎన్ని అయిదు అంకెల సంఖ్యలు రాయవచ్చు?      1) 2525     2) 2501     3) 2500      4) 2400 11. MATHEMATICS అనే పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే నూతన పదాల సంఖ్య?  సమాధానాలు: 13; 24; 32; 42; 52; 64; 72; 82; 93; 103; 112. రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు