సంఖ్యలు

సంఖ్యలు: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అనే పది అంకెలను ఉపయోగించి ఏ సంఖ్యనైనా రాయొచ్చు.
సహజ సంఖ్యలు: మనం లెక్కించే సంఖ్యలను 'సహజ సంఖ్యలు' అంటారు.1, 2, 3, .......n
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం: 
 

సరి సంఖ్యలు: లెక్కించే సంఖ్యలు 2 తో నిశ్శేషంగా భాగితమైతే వాటిని సరి సంఖ్యలు అంటారు.
2, 4, 6... 2n
* మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం = n (n + 1)
 

బేసి సంఖ్యలు: లెక్కించే సంఖ్యలు 2 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవకపోతే వాటిని బేసి సంఖ్యలు అంటారు. 
1, 3, 5, .... 2n - 1
* మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n²
 

ప్రధాన సంఖ్యలు: కనిష్ఠం, గరిష్ఠంగా రెండు కారణాంకాలు మాత్రమే ఉంటే వాటిని ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
100 లోపున్న ప్రధాన సంఖ్యలు: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
పూర్ణాంకాలు: లెక్కించే సంఖ్యలు, వాటి రుణాత్మక సంఖ్యలు, 0 వీటన్నింటినీ కలిపి పూర్ణాంకాలు అంటారు.
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... పూర్ణాంకాలు
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = 
                                                         
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం = 
                                                          
* మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం = 
                                            
* మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = 
 

భాజనీయత సూత్రాలు

2 తో: ఏదైనా సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో ఉండే అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయితే, ఆ సంఖ్య తప్పక 2 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
           ఉదా: 86594
 

3 తో: ఏదైనా సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 తో నిశ్శేషంగా భాగితమైతే, ఆ మొత్తం సంఖ్య కూడా 3 తో భాగితమవుతుంది.
           ఉదా: 596412   5 + 9 + 6 + 4 + 1 + 2 = 27
 

4 తో: ఏదైనా ఒక సంఖ్యలోని చివరి రెండు స్థానాలు 4 తో నిశ్శేషంగా భాగితమైనా లేదా చివరి రెండు స్థానాల్లో రెండు సున్నాలు ఉన్నా ఆ సంఖ్య 4 తో భాగితమవుతుంది.
           ఉదా: 123456
 

6 తో: 6 = 2 × 3 అంటే 2, 3 నియమాలను తృప్తిపరిస్తే... ఆ సంఖ్య తప్పక 6 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
            ఉదా: 732   7 + 3 + 2 = 12 (3 తో)
* ఒకట్ల స్థానంలో 2 ఉంది కాబట్టి 6 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
 

7 తో: ఏదైనా సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న అంకెను రెట్టింపు చేసి, మిగతా సంఖ్య నుంచి తీసివేస్తే వచ్చిన సంఖ్య 7 తో భాగితమైతే... మొత్తం సంఖ్య 7 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
           ఉదా: 819  9 × 2 = 18
       81 - 18 = 63   7 తో భాగితమవుతుంది. కాబట్టి మొత్తం సంఖ్య 7 తో భాగితమవుతుంది.

8 తో: ఏదైనా ఒక సంఖ్యలోని చివరి మూడు స్థానాలు 8 తో భాగితమైనా లేదా 3 సున్నాలు ఉన్నా ఆ సంఖ్య 8 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
           ఉదా: 7819352
 

9 తో: ఏదైనా ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9 తో భాగితమైతే, మొత్తం సంఖ్య 9 తో భాగితమవుతుంది.
           ఉదా: 195624  1 + 9 + 5 + 6 + 2 + 4 = 27

11 తో: ఏదైనా ఒక సంఖ్యలోని బేసి స్థానాల మొత్తం, సరి స్థానాల మొత్తాల మధ్య భేదం 0 లేదా 11 తో భాగితమైతే ఆ సంఖ్య తప్పక 11 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
          ఉదా: 29435417
* సరి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం = 9 + 3 + 4 + 7 
                           = 23
* బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం = 2 + 4 + 5 + 1
                          = 12
* మధ్య భేదం = 23 - 12 = 11 కాబట్టి 11 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.

ముఖవిలువ, స్థాన విలువ:
ఉదా: 5291
                 ముఖ విలువలు
                   1  1
                   9  9
                   2  2
                   5 .0 5
                 స్థాన విలువలు
             1  1 × 1 = 1
             9

 9 × 10 = 90
             2  2 × 100 = 200
             5  5 × 1000 = 5000

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 24 వాటి మధ్య భేదం 18 అయితే అందులో పెద్ద సంఖ్య ఎంత?
       ఎ) 21        బి) 20        సి) 24        డి) 18
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశం ప్రకారం x + y = 24

           
మరొక సంఖ్య: 21 + y = 24  y = 24 - 21 = 3
 పెద్ద సంఖ్య = 21
సంక్షిప్త పద్ధతి:

జవాబు: ఎ

2. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 14, వాటి మధ్య భేదం 10 అయితే చిన్న సంఖ్య ఎంత?
       ఎ) 12        బి) 2        సి) 10        డి) 4

సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశ ప్రకారం..
x + y = 14
x - y = 10 (కూడితే)

2x = 24
x =  = 12
మరొక సంఖ్య: 12 + y = 14  y = 14 - 12 = 2
సంక్షిప్త పద్ధతి:

      
జవాబు: బి

3. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 20, వాటి మధ్య భేదం 8 అయితే వాటి వర్గాల మధ్య భేదం ఎంత?
      ఎ) 12       బి) 28       సి) 160       డి) 180
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశం ప్రకారం ....
x + y = 20
x - y = 8 (కూడితే)

2x = 28
x =  = 14

మరొక సంఖ్య: 14 + y = 20  y = 20 - 14 = 6
x వర్గం = (14) = 196
y వర్గం = (6) = 36
 వాటి మధ్య భేదం = 196 - 36 = 160
 

సంక్షిప్త పద్ధతి
20 × 8 = 160
జవాబు: సి

4. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 40, వాటి మధ్య భేదం 4 అయితే ఆ సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
       ఎ) 11 : 9        బి) 11 : 18       సి) 21 : 19        డి) 22 : 9
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశం ప్రకారం ...
x + y = 40
x - y = 4 (కూడితే)

2x = 44
x =  = 22

మరొక సంఖ్య: 22 + y = 40 
 y = 40 - 22 = 18

సంక్షిప్త పద్ధతి
40 + 4 : 40 - 4
       44 : 36
        11 : 9
జవాబు: ఎ

5. 587 × 999 = ?
     ఎ) 586413      బి) 587523     సి) 614823      డి) 615173
సాధన: 999 ని (1000 - 1) గా రాసి గుణించాలి.
587 × (1000 - 1) = 587000 - 587.
 కావాల్సిన సంఖ్య = 587000
                                     587 (-)
                                
                                     586413
జవాబు: ఎ

6. 106 × 106 - 94 × 94 = ?
      ఎ) 2400       బి) 2000       సి) 1904       డి) 1906
సాధన: (106)² - (94)²
                         [a² - b² = (a + b) (a - b)]
= (106 + 94) (106 - 94)
= 200 × 12 = 2400
జవాబు: ఎ

7. 325325 ను కిందివాటిలో దేంతో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
       ఎ) 5       బి) 7       సి) 11       డి) అన్నింటితో
సాధన: ఒకటx స్థానంలో 5 ఉంది, దాన్ని కచ్చితంగా 5తో భాగించవచ్చు.
సరి స్థానాల మొత్తం = 2 + 3 + 5 = 10
బేసి స్థానాల మొత్తం = 3 + 5 + 2 = 10
కాబట్టి 325325 ను 11 తోనూ భాగించవచ్చు. కాబట్టి అన్నింటితో అనేది జవాబు.
జవాబు: డి

8. 517*324 అనే సంఖ్యను 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించాలంటే * బదులు వచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 0       బి) 1       సి) 2       డి) ఏదీకాదు
సాధన: ఇచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని '3' తో నిశ్శేషంగా భాగించగలిగితే మొత్తం సంఖ్యను 3 తో భాగించవచ్చు.
5 + 1 + 7 + x + 3 + 2 + 4 = 22 + x
x = 2
అప్పుడు 22 + 2 = 24
24 ను 3 తో భాగించవచ్చు.
కాబట్టి * బదులు 2 రాయాలి.
జవాబు: సి

9. 4⁶¹+ 4⁶² + 4⁶³ + 4⁶⁴ ను కిందివాటిలో దేనితో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
       ఎ) 3        బి) 10        సి) 11        డి) 13
సాధన:
4⁶¹ (1 + 4¹ + 4² + 4³)
4⁶¹ (1 + 4 + 16 + 64)
4⁶¹ (85)

      4 ఘాతం సరి సంఖ్య అయితే ఒకట్ల స్థానం 6, బేసి సంఖ్య అయితే 4 ఉంటుంది.
4 × 85 = 340
ఒకటx స్థానంలో 0 ఉంది కాబట్టి 10తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
జవాబు: బి

10. ఒక సంఖ్యను 15 తో గుణిస్తే, దాని విలువ 196 పెరుగుతుంది. అయితే ఆ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 14       బి) 15       సి) 16       డి) 13
సాధన:
ఒక సంఖ్య x అనుకుందాం. దాన్ని 15 తో గుణిస్తే
15 x = x + 196
15 x - x = 196
14 x = 196
x =  = 14
 కావాల్సిన సంఖ్య = 14

సంక్షిప్త పద్ధతి:

జవాబు: ఎ

11. ఒక సంఖ్య దానిలోని నాలుగో వంతు కంటే 30 ఎక్కువ అయితే ఆ సంఖ్య ఏది? (SI - 2009)
జ: 40
12. 80, 100 మధ్యలో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలు ఎన్ని?
(SI - 2009)
జ: 3
13. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 33. వాటి వ్యత్యాసం 15, కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది? (SI-2008)
జ: 9
14. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 22. ఒక సంఖ్య 5 రెట్లు మరో సంఖ్య 6 రెట్లుకు సమానం. అయితే పెద్ద సంఖ్య ఏది? (SI-2006)
జ: 12
15. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 120. వాటి వర్గాల మొత్తం 106 అయితే ఆ సంఖ్యలు ఏవి? (RRB-2002)
జ: 5 & 9