క్షేత్రగణితం

1. ఒక సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం 400  చ.మీ. అయితే దాని చుట్టుకొలత ఎంత?
1) 120 మీ.       2) 150 మీ.      3) 90 మీ.     4) 135 మీ.
సాధన: ఒక సమబాహు త్రిభుజ భుజం a అయితే
వైశాల్యం = కానీ, సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం = 400 

చుట్టుకొలత = 3a = 3 × 40 = 120 మీ.
జవాబు: 1
 

2. రెండు త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 4 : 3, వాటి ఎత్తుల నిష్పత్తి 3 : 4 అయితే వాటి భూముల నిష్పత్తి ఎంత?
1) 16 : 9       2) 9 : 16       3) 9 : 12       4) 16 : 12                                                                                
సాధన: మొదటి త్రిభుజం భూమి, ఎత్తు, వైశాల్యాలు వరుసగా b₁, h₁, A₁ అనుకుందాం.
A₁ =  b₁ × h₁
రెండో త్రిభుజం భూమి, ఎత్తు, వైశాల్యాలు వరుసగా b₂, h₂, A₂ అనుకుందాం. కా
A₂ =

 b₂ × h₂

సంక్షిప్త పద్ధతి: b₁ : b₂ =  = 16 : 9
జవాబు: 1
గమనిక: రెండు త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తి a : b, వాటి ఎత్తుల నిష్పత్తి x : y అయితే వాటి భూముల
               నిష్పత్తి =  
 

3. ఒక త్రిభుజం మూడు భుజాల నిష్పత్తి 3 : 4 : 5, ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం 216 సెం.మీ.2 అయితే ఆ త్రిభుజం చుట్టుకొలత ఎంత?
 1) 6 సెం.మీ.     2) 12 సెం.మీ.     3) 36 సెం.మీ.       4) 72 సెం.మీ.
సాధన: ఒక త్రిభుజ భుజాల నిష్పత్తి = 3 : 4 : 5
(త్రిభుజ భుజాలు 3 : 4 : 5 లో ఉంటే అది లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది)
త్రిభుజ వైశాల్యం =

 × 3x × 4x  = 216

x =  = 6 సెం. మీ.
ఆ త్రిభుజ భుజాలు = 3 × 6 సెం.మీ., 4 × 6 సెం.మీ., 5 × 6 సెం.మీ.
= 18 సెం.మీ., 24 సెం.మీ., 30 సెం.మీ.
త్రిభుజం చుట్టుకొలత = 18 + 24 + 30 = 72 సెం.మీ.
జవాబు: 4
 

4. ఒక చతురస్ర కర్ణం పొడవు 20 సెం.మీ. అయితే దాని చుట్టుకొలత ఎంత?
1) 10  సెం.మీ.     2) 20 సెం.మీ.     3) 40 సెం.మీ.   4) 80 సెం.మీ

సాధన: చతురస్ర భుజం s, దాని కర్ణం d అయితే 
            d =  s అవుతుంది.
           s = 20 సెం.మీ.
  
                 = 10 సెం. మీ.
∴ s = 10 సెం. మీ.
చతురస్రం చుట్టుకొలత = 4 × s = 4 × 10 = 40 సెం.మీ.
జవాబు: 3

5. ఒక చతురస్రం భుజాన్ని 10% పెంచితే, దాని వైశాల్యం ఎంత శాతం పెరుగుతుంది?
1) 10%    2) 20%      3) 21%     4) 16%
సాధన: చతురస్రం భుజాన్ని x% పెంచితే దాని వైశాల్యంలో పెరుగుదల శాతం

వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని 10% పెంచితే దాని వైశాల్యం కూడా 21% పెరుగుతుంది.
జవాబు: 3
 

6. 784 చ.సెం.మీ. ఉన్న ఒక చతురస్రాకారపు కాగితాన్ని నాలుగు వీలైనంత వృత్తాకారపు ముక్కలుగా కత్తిరిస్తే, ఒక వృత్తాకార ముక్క చుట్టుకొలత ఎంత?
1) 22 సెం.మీ     2) 44 సెం.మీ       3) 66 సెం.మీ    4) 88 సెం.మీ

సాధన: చతురస్ర వైశాల్యం = 784 చ.సెం.మీ
చతురస్ర భుజం =  = 28 సెం.మీ.
ఒక్కొక్క వృత్త వ్యాసార్ధం =   = 7 సెం.మీ.
ఒక్కొక్క వృత్తం చుట్టుకొలత  = 7 సెం.మీ. = 44 సెం.మీ.
జవాబు: 2
 

7. కిందివాటిలో లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు కాని వాటిని గుర్తించండి.
1) 3, 4, 5     2) 1, 1,

      3) 1,  , 2        4) 
జ: 4 () 

8. ఒక వృత్తవ్యాసం 20 మీ. ఆ వృత్త వ్యాసం నుంచి 16 సెం.మీ. పొడవున్న జ్యాకు ఉన్న దూరమెంత?
జ: 6 సెం.మీ.
 

9. ఒక చతురస్ర కర్ణం 4 సెం.మీ. ఈ చతురస్రం కంటే రెట్టింపు వైశాల్యం ఉన్న మరొక చతురస్ర కర్ణం పొడవు ఎంత?
జ: 8 సెం.మీ.
 

10. 5 చతురస్రాల చుట్టుకొలతలు వరుసగా 24 సెం.మీ., 32 సెం.మీ., 40 సెం.మీ., 76 సెం.మీ., 80 సెం.మీ. ఈ చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానమైన మరొక చతురస్రం చుట్టుకొలత ఎంత?
జ: 124 సెం.మీ.
 

11. ఒక దీర్ఘచతురస్రం పొడవును 30% పెంచారు. దాని వెడల్పును ఎంత శాతం తగ్గిస్తే వైశాల్యంలో మార్పు ఉండదు?
జ: 23

%
 

12. 6 సెం.మీ. భుజంగా ఉన్న సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?
జ: 9  సెం.మీ.²

13. ఒక చతురస్రాకార పొలం వైశాల్యం 6050 చ.మీ. అయితే దాని కర్ణం పొడవు ఎంత?
జ: 110 మీ.
 

14. ఒక దీర్ఘచతురస్రం 14 సెం.మీ. పొడవు, 10 సెం.మీ. వెడల్పు ఉంది. పొడవును K సెం.మీ. తగ్గించి, వెడల్పును K సెం.మీ. పెంచి, దాన్ని చతురస్రంగా మారిస్తే వైశాల్యంలో ఎంత మార్పు ఉంటుంది?
జ: 4 చ.సెం.మీ.
 

15. వృత్తం వ్యాసార్ధాన్ని 20% పెంచితే, వైశాల్యం ఎంత శాతం పెరుగుతుంది?
జ: 44%
 

16. ఒక దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత 60 మీ. దాని పొడవు వెడల్పునకు రెట్టింపైతే దాని వైశాల్యం ఎంత?
జ: 200 మీ.²
 

17. ఒక లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం 4.5 చ.మీ. దాని చుట్టుకొలత ఎంత? (మీటర్లలో)
జ: 6 + 3

18. ఒక లంబకోణ త్రిభుజం భుజాలు మూడు వరుస సంఖ్యలను కలిగి అవి సెం.మీ.ల్లో ఉన్నాయి. అయితే ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?
జ: 6 సెం.మీ.²
 

19. ఒక త్రిభుజ భుజాలు వరుసగా 15 యూ., 25 యూ., x యూనిట్లు అయితే కిందివాటిలో ఏది సత్యం?
1) 10 < x < 40    2) 10 ≤ x ≤ 40    3) 10 ≤ x < 40    4) 10 < x ≤ 40
జ: 1 (10 < x < 40)
 

20. 144 సెం.మీ.2 వైశాల్యమున్న ఒక దీర్ఘ చతురస్రం పొడవు, వెడల్పులు 4 : 9 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అయితే ఆ దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత ఎంత?
జ: 52 సెం.మీ.
 

21. 7 సెం.మీ., 24 సెం.మీ., 25 సెం.మీ. భుజాలున్న ఒక లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యానికి సమాన వైశాల్యం కలిగిన వృత్తం ఉంది. అయితే ఆ వృత్త వైశాల్యం ఎంత?
జ: 84 సెం.మీ.²     

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. కిందివాటిలో ఏ పటాన్ని నిర్మించేందుకు 2 స్వతంత్ర కొలతలు అవసరం?

1) సమలంబ చతుర్భుజం    2) దీర్ఘచతురస్రం     3) చతురస్రం            4)  సమ చతుర్భుజం

2. ఒక చతుర్భుజంలో 3 కోణాలు వరుసగా 54⁰, 67⁰, 123⁰ అయితే నాలుగో కోణం విలువ ఎంత?

1) 116⁰   2) 106⁰  3) 108⁰    4) 112⁰

3. ఒక చతుర్భుజంలో 4 కోణాలు వరుసగా x+30⁰, , 2x - 10⁰, 3x-40⁰, x+30⁰ అయితే ఆ కోణాల్లో అతిపెద్ద కోణం విలువ ఎంత?

1)  120⁰      2) 110⁰     3) 115⁰     4)  125⁰

4. చతుర్భుజంలోని కోణాలు 2 : 4 : 5 : 7 నిష్పత్తిలో ఉంటే ఆ నాలుగు కోణాలు వరుసగా?

1) 30⁰, 60⁰, 120⁰, 140⁰       2) 60⁰, 80⁰, 100⁰, 140⁰

3) 50⁰, 100⁰, 75⁰, 140⁰       4) 40⁰, 80⁰, 100⁰, 140⁰

5. ఒక చతుర్భుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం విలువ 4వ కోణానికి 8 రెట్లు అయితే ఆ నాలుగో కోణం విలువ?

1 ) 40⁰   2)45⁰    3) 50⁰   4) 60⁰

6. కిందివాటిలో ఏది సరైంది?

1)  ఆసన్న భుజాలు సమానంగా ఉండే చతుర్భుజం సమలంబ చతుర్భుజం.

2) సమాంతర చతుర్భుజంలో ప్రతి కోణం విలువ ఎల్లప్పుడూ 90ా కి సమానం

3) సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న భుజాలు సమానమైతే అది సమచతుర్భుజం అవుతుంది.

4) సమలంబ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు ఎల్లప్పుడూ సమానం.

7. చతుర్భుజంలో మూడు కోణాల మొత్తం విలువకు నాలుగో కోణానికి మధ్యగల నిష్పత్తి 5 : 1 అయితే నాలుగో కోణం విలువ? 

1)  45⁰        2) 50⁰        3) 60⁰       4) 75⁰

8. చతుర్భుజంలో 4వ కోణం మూడు కోణాల మొత్తంలో

ఉంటే ఆ మూడు కోణాల మొత్తం?

1)  324⁰     2)  314⁰    3) 316⁰    4) 328⁰ 

జవాబులు 

1) 4    2) 1    3) 2    4) 4    5) 1    6) 3   7) 3    8) 1

మాదిరి సమస్యలు

1. చతుర్భుజంలోని 3 కోణాలు వరుసగా 45⁰ , 65⁰ ,  100⁰  అయితే నాలుగో కోణం విలువ?

1) 120⁰      2)  150⁰      3) 160⁰      4)  170⁰ 

సాధన: చతుర్భుజంలో 4 కోణాల మొత్తం = 360⁰ 

    45⁰ + 65⁰ + 100⁰ +x = 360⁰    => 210⁰ +x= 360⁰    => x= 360⁰- 210⁰ = 150⁰

                                                    సమాధానం: 2

2. చతుర్భుజంలో రెండు కోణాలు 75ా, 113ా. మిగతా రెండు కోణాలు సమానం అయితే సమాన కోణాల విలువ?

1) 92⁰     2)  87⁰     3) 84⁰     4) 86⁰

సాధన: సమాన కోణాల విలువ = x అనుకుంటే,

=> 75⁰ + 113⁰+ x+x = 360⁰  => 188⁰ + 2x= 360⁰  =  86⁰

ప్రతి సమాన కోణం విలువ = 86⁰

                                      సమాధానం:  4

3. ఒక చతుర్భుజంలో 3 కోణాల మొత్తం విలువ నాలుగో కోణానికి 5 రెట్లు ఉంటే, నాలుగో కోణం విలువ?

1)  60⁰       2)75⁰      3) 90⁰       4) 105⁰

సాధన: చతుర్భుజంలో 4 కోణాలు వరుసగా a, b, c, dఅనుకుంటే... 

a+b+c = 5d  =>

a+b+c+d = 360⁰    => 5d+d = 360⁰  =>  6d = 360⁰   => d= 60⁰

                                                          సమాధానం: 1

4. ఒక చతుర్భుజంలో నాలుగో కోణం విలువ మొదటి మూడు కోణాల మొత్తంలో 25% ఉంటే, నాలుగో కోణం విలువ?

1)  52⁰    2) 62⁰    3) 72⁰   4)  82⁰

సాధన: చతుర్భుజంలో 4 కోణాలు వరుసగా a, b, c, d అనుకుంటే...

d= a+b+c  లో 25%

d=( a+b+c )1/4

 => a+b+c = 4d

చతుర్భుజంలో 4 కోణాల మొత్తం = 360⁰

a+b+c+d = 360⁰ 

 =>   4d+d = 360⁰   => d=   360⁰/5  = 72⁰ 

                                                 సమాధానం: 3

5. ఒక చతుర్భుజంలో రెండు కోణాలు లంబకోణాలు మిగిలిన రెండు కోణాల్లో ఒక కోణం 75⁰  అయితే, మరొక కోణం విలువ?

1) 95⁰     2)  105⁰    3) 115⁰    4) 125⁰ 

సాధన: చతుర్భుజంలో నాలుగు కోణాలు = 90⁰  , 90⁰  , 75⁰  , x⁰ 

 =>  90⁰ + 90⁰  + 75⁰ +  x⁰   = 360⁰

=>  255⁰ + x = 360⁰   => x = 105⁰

                                              సమాధానం: 2

6. చతుర్భుజ కోణాలు 1 : 2 : 5 : 7 నిష్పత్తిలో ఉంటే ఆ కోణాలు వరుసగా

1) 24⁰,   48⁰ , 120⁰, 168⁰

2) 15⁰, 30⁰, 75⁰, 105⁰

3)  16⁰ , 32⁰, 80⁰, 112⁰

4)  18⁰, 36⁰, 90⁰, 126⁰

సాధన: చతుర్భుజంలోని కోణాల నిష్పత్తి= 1 : 2 : 5 : 7

ఆ కోణాలు = 1x, 2x, 5x, 7x అనుకుంటే,

1x+2x+5x+7x= 360⁰

x = 24⁰

1*24, 2*24, 5*24, 7*24   =>  24⁰,   48⁰ , 120⁰, 168⁰

                                                         సమాధానం: 1