కేంద్రీయ స్థానకొలతలు: సాధారణంగా దత్తాంశాన్ని సేకరించి, విశ్లేషించి దాని స్వరూపం గురించి ఒక నిర్ణయానికి వస్తాం. ఆ దత్తాంశాన్ని అవగాహన చేసుకోవడానికి కేంద్రీయ స్థానకొలతలు (కేంద్రీయ స్థానవిలువలు) ఉపయోగపడతాయి. అవి.
1. అంకగణిత మధ్యమం
2. మధ్యగతం
3. బాహుళకం
అంకగణిత మధ్యమం
‣ దీన్ని సరాసరి, సగటు అని కూడా అంటారు.
‣ ఒక దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల మొత్తాన్ని రాశుల సంఖ్యతో భాగిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ‘అంకగణిత మధ్యమం’ అంటారు.
ఒక దత్తాంశంలోని రాశులు x1, x2, x3..... xn అయితే
ఆ దత్తాంశపు అంకగణిత మధ్యమం
∑xi అంటే దత్తాంశంలో ఉన్న అన్ని రాశుల మొత్తం xi. i విలువలు 1 నుంచి n వరకు తీసుకుంటారు; N = రాశుల సంఖ్య)
విచలన పద్ధతి ద్వారా అంకగణిత మధ్యమం
అంకగణిత మధ్యమం = ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమం + విచలనాల సరాసరి
= ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమం + విచలనాల మొత్తం / రాశుల సంఖ్య
మధ్యగతం:
‣ అవర్గీకృత దత్తాంశంలో ఉన్న రాశులను ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో రాస్తే, మధ్యలో ఉన్న రాశి విలువను ఆ దత్తాంశం ‘మధ్యగతం’ అంటారు.
‣ దత్తాంశంలో మధ్యగతం కంటే ఎక్కువ విలువ ఉన్న రాశులు ఎన్ని ఉంటాయో, తక్కువ విలువున్న రాశులు కూడా అన్నే ఉంటాయి.
‣ n రాశులు ఉన్న దత్తాంశ విలువలను ఆరోహణ/ అవరోహణ క్రమంలో రాస్తే
మధ్యగతం = (n + 1) / 2 వ రాశి విలువ (n = బేసిసంఖ్య)
= n/2, (n/2 +1) (n = సరిసంఖ్య)
బాహుళకం:
ఒక దత్తాంశంలో ఎక్కువసార్లు పునరావృతమయ్యే రాశిని బాహుళకం అంటారు.
‣ బాహుళకం దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య లేదా రాశి విలువలపై ఆధారపడదు.
‣ కొన్ని దత్తాంశాలకు ఒకటి కంటే ఎక్కువ బాహుళకాలు ఉండొచ్చు. కొన్నింటికి ఒక్క బాహుళకం కూడా ఉండకపోవచ్చు.
మాదిరి సమస్యలు
1. ఒక తరగతిలోని ఆరుగురు బాలుర ఎత్తులు వరుసగా 145 సెం.మీ., 153 సెం.మీ., 152 సెం.మీ., 159 సెం.మీ., 156 సెం.మీ., 159 సెం.మీ. అయితే వారి సగటు ఎత్తు ఎంత?
1) 153 సెం.మీ. 2) 154 సెం.మీ. 3) 155 సెం.మీ. 4) 156 సెం.మీ.
2. 11 అంశాల సగటు 31. వాటిలో మొదటి 6 అంశాల సగటు 29, చివరి 6 అంశాల సగటు 33. అయితే ఆ దత్తాంశంలో 6వ అంశం విలువ....
1) 28 2) 32 3) 34 4) 31
సాధన: 11 అంశాల సగటు = 31
11 అంశాల మొత్తం = సగటు * రాశుల సంఖ్య
= 31* 11 = 341
మొదటి 6 అంశాల సగటు = 29
మొదటి 6 అంశాల మొత్తం = 29 * 6 = 174
చివరి 6 అంశాల సగటు = 33
చివరి 6 అంశాల మొత్తం = 33 * 6 = 198
దత్తాంశంలో 6వ అంశం = మొదటి 6 అంశాల మొత్తం + చివరి 6 అంశాల మొత్తం - 11 అంశాల మొత్తం
= 174 + 198 - 341 = 372 - 341 = 31
సమాధానం: 4
3. ఒక తరగతిలోని 27 మంది విద్యార్థుల సగటు మార్కులు 48. ఒక విద్యార్థికి వచ్చిన మార్కులు 71 కాగా పొరపాటున 17గా చూపించారు. అయితే ఆ తరగతిలో విద్యార్థుల సరైన సగటు ఎంత?
1) 50 2) 49 3) 49.5 4) 50.5
సాధన: 27 మంది విద్యార్థుల సగటు మార్కులు = 48
27 మంది విద్యార్థుల మార్కుల మొత్తం = 27 * 48 = 1296
27 మంది విద్యార్థుల సరైన మార్కులు = 1296 + 17 + 71 = 1350
విద్యార్థుల సరైన సగటు =1350/27 = 50
సమాధానం: 1
4. ఒక దత్తాంశం సగటు 14.5. ప్రతి అంశాన్ని 2తో గుణించి, 1 కలిపితే వచ్చిన కొత్త ఫలితం సగటు...
1) 17.5 2 ) 29 3) 30 4) 31
సాధన: దత్తాంశంలోని ప్రతి అంశాన్ని 2తో గుణించి, 1 కలిపితే వచ్చే ఫలితం సగటు = దత్తాంశం సగటును 2తో గుణించి, 1 కలపాలి.
2 * 14.5 + 1 = 29 + 1 = 30
సమాధానం: 3
5. మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల సగటు ఎంత?
1) 49.5 2) 50 3) 50.5 4) 51
సాధన: మొదటి n సహజ సంఖ్యల సగటు = (n+1) / 2
మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల సగటు = (100 + 1) / 2 = 50.5
సమాధానం: 3
గమనిక: మొదటి n బేసి సంఖ్యల సగటు = n
మొదటి n సరి సంఖ్యల సగటు = n +1
6. x , 1/x ల సగటు 5 అయితే x2, 1/x2 ల సగటు.....
1) 23 2) 49 3) 48 4) 98
7. 18, 48, 34, 30, 28, 44, 51, 8, 16 ల మధ్యగతం?
1) 30 2) 29 3) 28 4) 34
సాధన: దత్తాంశంలోని పరిశీలనాంశాలను ఆరోహణక్రమంలో రాస్తే, 8, 16, 18, 28, 30, 34, 44, 48, 51.
పరిశీలనాంశాల సంఖ్య( n ) = 9 కాబట్టి
మధ్యగతం =(n + 1) / 2 వ అంశం = (9+1) / 2 = 5 వ అంశం = 30
సమాధానం: 1
8. 48, 32, 28, 26, 40, 34ల మధ్యగతం
1) 34 2) 31 3్శ 32 4్శ 33
సాధన: దత్తాంశంలోని పరిశీలనాంశాలను ఆరోహణ క్రమంలో రాస్తే, = 26, 28, 32, 34, 40, 48
పరిశీలనాంశాల సంఖ్య ( n ) = 6
మధ్యగతం = n / 2 ,( n + 1 ) / 2అంశాల సరాసరి
= 6 / 2, (6 / 2 + 1)
= 3 వ, 4వ అంశాల సరాసరి
= 32, 34 ల సరాసరి
= ( 32 + 34 ) / 2 = 66 / 2 = 33
సమాధానం: 4
9. 27, 32, 37, 41, x అనే దత్తాంశం మధ్యగతం 32 అయితే x విలువ.....
1) x > 41 2) x < 32 3) 32, 37 ల మధ్య 4) ఏదీకాదు
సాధన: 27, 32, 37, 41, x అనే దత్తాంశం మధ్యగతం = 32
* పరిశీలనాంశాలు 5 కాబట్టి, మధ్యగతం 32 కంటే రెండు విలువలు ఎక్కువ, రెండు విలువలు తక్కువ ఉండాలి.
* 32 కంటే ఎక్కువైన విలువలు = 37, 41 కాబట్టి మిగిలిన రెండు విలువలు 27, x లు 32 కంటే తక్కువ విలువ కలిగి ఉండాలి. x < 32
సమాధానం: 2
10. 10, 12, 11, 10, 15, 20, 19, 21, 11, 9, 10 రాశుల బాహుళకం ఎంత?
1) 11 2) 21 3) 10 4) 15
సాధన: దత్తాంశంలోని రాశులను ఆరోహణక్రమంలో రాస్తే, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 15, 19, 20, 21
పై దత్తాంశాన్ని పరిశీలించగా 10 అనే అంశం ఎక్కువసార్లు పునరావృతం అయ్యింది. కాబట్టి దత్తాంశ బాహుళకం = 10
సమాధానం: 3
11. 1 నుంచి 100 వరకు సహజసంఖ్యలను రాయడంలో ఉపయోగించే అంకెలన్నింటి బాహుళకం....
1) 0 2) 9 3) 2 4) 1
సాధన: 1 నుంచి 100 వరకు సహజ సంఖ్యలను రాయడానికి ఉపయోగించే మొత్తం అంకెలు
= 1 అంకె సంఖ్యలు 9 + 2 అంకెల సంఖ్యలు 90 + 3 అంకెల సంఖ్య 1
= 9 * 1 + 90 * 2 + 1 * 3 = 192 అంకెలు
= 192 అంకెల్లో 1 = 21 సార్లు
= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ఒక్కొక్కటి) = 20 సార్లు
0 = 11 సార్లు వస్తాయి
∴ ఎక్కువసార్లు పునరావృతమయ్యే అంకె = 1
సమాధానం: 4
