కాలం - దూరం (రైలు సంబంధిత సమస్యలు)

వ్యతిరేక దిశల్లో కలిసే వేగాలు!

పని మీద పక్క ఊరికి వెళ్లాలి. అనుకున్న సమాయానికి చేరి, మళ్లీ వెనక్కి రావాలంటే ప్రయాణానికి తగిన ప్రణాళిక సిద్ధం చేసుకోవాలి. వెళ్లే దూరం, వచ్చే వేగం, పట్టే కాలం అన్నింటిపైనా సరైన అవగాహన ఉంటేనే ప్లాన్‌ పక్కాగా కుదురుతుంది. ఆ విధంగా కాలం, దూరాల మధ్య సంబంధాలను సరిగా అర్థం చేసుకోగలిగిన నైపుణ్యాన్ని అభ్యర్థుల్లో పరీక్షించడానికే అరిథ్‌మెటిక్‌లో రైలు సంబంధిత ప్రశ్నలు అడుగుతుంటారు. రైళ్లు, స్టేషన్లు, ప్లాట్‌ఫారాలు, వ్యక్తులు, కరెంట్‌ స్తంభాలు, వంతెనలు అంటూ నిత్యం అందరికీ పరిచయమైన పరిసరాలతో ఉండే ఈ లెక్కలు ఆసక్తికరంగా ఉండటంతోపాటు, సమస్యా పరిష్కార సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించుకోవడంలోనూ సాయపడతాయి.  

*  దూరం = వేగం X కాలం 

నోట్‌-1: ఒక రైలు, ఒక స్తంభం 

రైలు పొడవు = రైలు వేగం X స్తంభం దాటడానికి పట్టే సమయం 

నోట్‌-2: ఒక రైలు X ఒక ప్లాట్‌ఫామ్‌ 

రైలు పొడవు+ ప్లాట్‌ఫామ్‌ పొడవు = రైలు వేగం X ప్లాట్‌ఫామ్‌ దాటడానికి పట్టే సమయం 

నోట్‌-3: V₁వేగంతో ఒక రైలు V₂ వేగంతో ప్రయాణించే ఒక మనిషిని దాటుతున్నప్పుడు 

ఎ) రెండూ ఒకే దిశలో కదులుతున్నట్లయితే 

రైలు పొడవు = (రైలు వేగం - మనిషి వేగం) X మనిషిని దాటడానికి పట్టే సమయం 

బి) రెండూ వ్యతిరేక దిశలో కదులుతున్నట్లయితే

రైలు పొడవు = (రైలు వేగం + మనిషి వేగం) X మనిషిని దాటడానికి పట్టే సమయం

నోట్‌-4: రెండు రైళ్ల వేగాలు  V₁, V₂  అయితే

ఎ) రెండు రైళ్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే

 రెండు రైళ్ల పొడవుల మొత్తం = (మొదటి రైలు వేగం - రెండో రైలు వేగం) X రెండు రైళ్లు దాటడానికి పట్టే సమయం 

బి) రెండు రైళ్లు వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణిస్తే

రెండు రైళ్ల పొడవుల మొత్తం = (మొదటి రైలు వేగం + రెండో రైలు వేగం) X రెండు రైళ్లు దాటడానికి పట్టే సమయం 

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1. ఒక రైలు 48 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణించి 250 మీటర్ల ప్లాట్‌ఫామ్‌ను 30 సెకన్లలో దాటితే ఆ రైలు పొడవు ఎంత? 

1) 90 మీ.    2) 100 మీ.    3) 125 మీ.    4) 150 మీ. 

రైలు పొడవు = X మీ.

రైలు ప్రయాణించిన దూరం = x + 250 

X = 400 - 250 = 150 మీ.

జ: 4

2. 70 మీ., 90 మీ. పొడవు గల రెండు రైళ్లు 10 మీ./సె., 6 మీ./సె. వద్ద వ్యతిరేక దిశల్లో కదులుతున్నాయి. అయితే ఆ రెండు రైళ్లు ఒకదానినొకటి దాటడానికి పట్టే సమయం ఎంత? 

1) 165 సె.     2) 12 సె.    3) 8 సె.     4) 10 సె.

జ: 4

 

3.   రెండు రైళ్ల వేగం 6 : 7 నిష్పత్తిలో ఉంది. రెండో రైలు 4 గంటల్లో 364 కి.మీ. ప్రయాణిస్తే మొదటి రైలు వేగం ఎంత? 

1) 78 కి.మీ./గం.     2) 72 కి.మీ./గం.    3) 84 కి.మీ./గం.     4) 60 కి.మీ./గం.

వివరణ: రెండు రైళ్ల వేగం = 6x, 7xఅనుకుంటే 

మొదటి రైలు వేగం =6X = 6 X 13 = 78 కి.మీ./గం.

జ: 1

4.   రైలు (T) 100 మీటర్ల పొడవైన వంతెనను 21 సెకన్లలో దాటుతుంది. ఇది 220 మీటర్ల పొడవున్న మరో వంతెనను 33 సెకన్లలో దాటుతుంది. అయితే ఆ రైలు (T) వేగం ఎంత? 

 1) 10 మీ./సె.    2) 11 మీ./సె.     3) 12 మీ./సె.      4) 14 మీ./సె.

వివరణ: రైలు పొడవు = L మీటర్లు 

రైలు వేగం = S మీ./సె. 

L = 21S - 100, L = 33S - 220 

21S - 100 = 33S - 220 

120 = 12S

S = 10 మీ./సె.

జ: 1

5.   ఒక రైలు స్టేషన్‌ A నుంచి B వైపు సగటున గంటకు 60 కి.మీ. వేగంతో ఉదయం 9 గంటలకు బయలుదేరింది. 2 గంటల తర్వాత మరొక రైలు స్టేషన్‌ A నుంచి సగటున గంటకు 100 కి.మీ. వేగంతో బయలుదేరింది. అయితే ఆ రెండు రైళ్లు ఎప్పుడు కలుసుకుంటాయి?      

1) 4 PM    2) 5 PM     3) 2 PM      4) 2.30 PM

వివరణ: మొదటి రైలు 2 గంటల్లో చేరిన దూరం 2 X 60 = 120 కి.మీ.

రెండో రైలు గంటకు 100 - 60 = 40 కి.మీ./గం. తేడాతో ప్రయాణం చేస్తుంది.

కాబట్టి 9 గం.+ 2 గం.+ 3 గం. = మధ్యాహ్నం 2 గం.  

                                            = 2 PM  

జ: 3

6. ఒక రైలు గంటకు 25 కి.మీ. వేగంతో వెళుతుంది. అదే దిశలో మరొక రైలు గంటకు 49 కి.మీ. వేగంతో వెళుతూ 10 సెకన్లలో మొదటి రైలులో ఉన్న ఒక వ్యక్తిని దాటుతుంది. అయితే రెండో రైలు పొడవు ఎంత? 

1) 66.67 మీ.      2) 80 మీ.     3) 100 మీ.     4) 110 మీ. 

వివరణ: ఆ రెండు రైళ్ల మధ్య సాపేక్ష వేగం 49 - 25 = 24 కి.మీ./గం.

జ: 1

7.  గంటకు 50 కి.మీ. వేగంతో వెళుతున్న 108 మీటర్ల పొడవున్న రైలు ఎదురుగా వస్తున్న 112 మీటర్ల పొడవున్న రైలును 6 సెకన్లలో దాటుతుంది. అయితే ఆ రెండో రైలు వేగం ఎంత?

1) 82 కి.మీ./గం.     2) 54 కి.మీ./గం. 

3) 66 కి.మీ./గం.     4) 48 కి.మీ./గం. 

వివరణ: మొదటి రైలు పొడవు (L₁) = 108 మీ., వేగం (S₁) = 50 కి.మీ./గం. 

రెండో రైలు పొడవు (L₂) = 112 మీ., వేగం (S₂) = x కి.మీ./గం.

          250 + 5x = 220 × 3

         5x = 660 − 250

          5x = 410

         x = 82= 82 కి.మీ./గం.

జ: 1 

8.  రెండు రైళ్లు వరుసగా 400 మీ., 600 మీ. తో ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్నాయి. వేగవంతమైన రైలు నెమ్మదిగా ఉన్న రైలును 180 సెకన్లలో దాటగలదు. నెమ్మదిగా నడిచే రైలు వేగం గంటకు 48 కి.మీ. అయితే వేగవంతమైన రైలు వేగాన్ని కనుక్కోండి.  

1) 50 కి.మీ./గం.     2) 52 కి.మీ./గం. 

3) 68 కి.మీ./గం.     4) ఏదీకాదు 

వివరణ: వేగంగా ప్రయాణించే రైలు వేగం =X కి.మీ./గం. 

నెమ్మదిగా ప్రయాణించే రైలు వేగం = 48 కి.మీ./గం. 

వీటి సాపేక్ష వేగం =(x − 48) కి.మీ./గం. 

ఆ రెండు రైళ్లు దాటడానికి ప్రయాణం చేయాల్సిన దూరం = 400 + 600 

= 1000 మీ. = 1 కి.మీ.

దాటే సమయం = 180 సెకన్లు 

X = 68 కి.మీ./గం. 

జ: 3

రచయిత: దొర కంచుమర్తి