ఘాతాంకాలు

సంక్లిష్ట సంఖ్యలకు సరళ రూపం!

చంద్రుడి దూరం, కాంతి వేగం, కంప్యూటర్‌ మెమొరీ తదితరాలను చెప్పాలంటే పెద్ద పెద్ద సంఖ్యలను ఉపయోగించాల్సి వస్తుంది. అవి పలకడానికి కూడా కష్టంగా అనిపిస్తాయి. అందుకే అలాంటి వాటిని సులభంగా వ్యక్తీకరించడానికి గణితంలో ఒక మార్గం ఉంది. ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో ఎన్నిసార్లు గుణిస్తే అవసరమైన సంఖ్య వస్తుందో గుర్తిస్తారు. ఆ సంఖ్యను మూలంగా, పునరావృతాల అంకె లేదా సంఖ్యను ఘాతాంకంగా పరిగణించి, మూలసంఖ్యకు కుడివైపు పైన చిన్నగా ఘాతాంకాన్ని రాస్తారు.  దాని అర్థం మూలసంఖ్యను అదే సంఖ్యతో ఘాతాంక సంఖ్యసార్లు గుణించాలని అర్థం.  

* పెద్ద సంఖ్యలను సరళమైన రీతిలో వ్యక్తపరచడానికి ఉపయోగించే పద్ధతే ఘాతాంక రూపం.

ఉదాహరణ:

1. శూన్యంలో కాంతి వేగం సెకనుకు 30,00,00,000 మీ. = 3 × 10⁸మీ.

2. భూమికి, చంద్రుడికి మధ్య దూరం 384,000,000 మీ. =384 × 10⁶ మీ.

*  సాధారణంగా 'a' ఒక వాస్తవ సంఖ్య, 'n' ఏదో ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య అయితే 

aⁿ = a × a × a × ...... a(n సార్లు)

  aⁿలో n  ను ఘాతాంకం,a  ను భూమి/ఆధారం అంటారు. 

ఘాతాంక న్యాయాలు: a, bలు ఏవైనా రెండు శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్యలు;m, n  పూర్ణ సంఖ్యలు.

1)   a^m × aⁿ = a^{m + n} (ఒకే ఆధారం ఉన్న పదాల గుణకారం) 

2)    (a^m)ⁿ = a^mn(ఘాతం యొక్క ఘాతాంకం)

3)   a^m × b^m = (ab)^m(లబ్ధం యొక్క ఘాతం) 

 

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. (2⁰ - 3⁰) X 4⁰ = .......... 

1) 1      2) 0      3) 1      4) 2

వివరణ: a⁰ =1 (a ≠ 0) 

(2⁰ − 3⁰) × 4⁰ =( 1 − 1) × 1 = 0 × 1 = 0

జ: 2

  

              = x⁰ = 1
జ: 2

3.  (-1) ²⁰²³ = .........

1) -1   2) 1    3) 1   4) 2013 

వివరణ: (-1)^{సరిసంఖ్య} = 1 

(-1)^{బేసిసంఖ్య} = -1 

(−1)2023 = −1

జ: 1

4.   a^x-y x a^y-z X a^z-x = ..........

1) a     2) 10    3) 1     4) a^{x + y + z}

వివరణ: a^x-y x a^y-z X a^z-x

               a^{(x − y) + (y − z) + (z − x)}

           = a^{x − y + y − z + z − x}

             = a⁰ = 1

జ: 3

5. m = 3, n = అయితే9m² - 10n³ = ..........

1) 2      2) 0      3) 1     4) -1 

వివరణ: m = 3, n = 2లను ఇచ్చిన సమాసంలో ప్రతిక్షేపించగా 

9m² − 10n³ = 9(3)² − 10(2)³

=- 9 × 9 − 10 × 8

=- 81 − 80 = 1

జ: 3

               

7.    9^{x + 3} = 27^{x - 1} అయితే x = ..........

1) 8    2) 7    3) 9    4) ఏదీకాదు 

వివరణ: 9^{x + 3} = 27^{x − 1}

(3²)^{x + 3} = (3³)^{x − 1}

3^{2x + 6} = 3^{3x − 3}

2x + 6 = 3x − 3

3x − 2x = 6 + 3

x = 9

జ: 3

8. x = y^a, y = z^b, z = x^c అయితే abc= ..........

1) 4      2) 3      3) 2     4) 1 

వివరణ: x = y^a

x = (z^b)^a ( y = z^b)

x = ((x^c)^b)^a (z = x^c) 

x¹ = x^cba (a^m = aⁿ ⇒ m = n)

1 = abc

జ: 4

9.  a^x = b^y = c^z, b² = ac అయితే y = ..........

ప్రాక్టీస్‌ బిట్లు

1.  m, nలు పూర్ణాంకాలు;mⁿ =121 అయితే(m − 1)^{n + 1} = .......

 1) 1   2) 10   3) 121   4) 1000

        

5.     a^x = b^y = c^z, abc =  అయితేxy + yz + zx = .......

    1) 0   2) 1   3) xyz  4)2xyz

6.     కిందివాటిలో మిక్కిలి పెద్దసంఖ్య?     

 1) 2¹²   2) 3⁸   3) 9⁷   4) 8¹³ 

8.  a^x = b^y, a = b²అయితే x, y ల మధ్య సంబంధం 

1) x = y            2) x = 2y 

3) x + y = 0        4) y = 2x

సమాధానాలు: 1-4; 2-2; 3-2; 4-4; 5-1; 6-3; 7-1; 8-4; 9-1; 10-2; 11-3; 12-3; 13-4; 14-3; 15-3.

రచయిత: డి.సీహెచ్‌. రాంబాబు