గుణిజ భాజకాలపై పెరగాలి పట్టు!
ఇద్దరు స్నేహితుల్లో ఒకరు నాలుగు నిమిషాలు, మరొకరు ఆరు నిమిషాలు రోజూ స్కూలుకు ఆలస్యంగా వస్తారు. ఇద్దరూ కలిసి ఆలస్యంగా ఎప్పుడు వస్తారు అని గణితం ఉపాధ్యాయుడు తరగతిలో ప్రశ్న వేశారు. తెలివైన విద్యార్థి కసాగు కట్టి వెంటనే జవాబు చెప్పేశాడు. పాఠశాల వార్షికోత్సవానికి మూడు రకాల చాక్లెట్లు తెచ్చారు. అందరికీ ప్రతి రకం సమాన సంఖ్యలో వచ్చే విధంగా మిగలకుండా పంచమని ప్రధానోపాధ్యాయుడు ఆదేశించాడు. తెలుగు టీచర్‌ తలపట్టుకున్నాడు. లెక్కల మాస్టారు చాక్లెట్ల సంఖ్యలకు గసాభా కట్టి చకచకా పంచేశాడు. కసాగు, గసాభా అనేవి ప్రాథమిక గణిత పరిక్రియలు. వాటిపై పట్టు పెంచుకుంటే గుణించడానికి, విభజించడానికి అనుకూలమైన గుణకాలను, భాజకాలను కనిపెట్టడంలో సాయపడతాయి. అన్ని రకాల లెక్కలను తేలిగ్గా చేయడానికి ఉపయోగపడతాయి.
క.సా.గు., గ.సా.భా.ల గురించి తెలుసుకోవడానికి ముందు కొన్ని ముఖ్యమైన అంశాలను తెలుసుకోవాలి.
అవి: 1) కారణాంకం
2) సామాన్య కారణాంకం
3) గుణిజం
4) సామాన్య గుణిజం
కారణాంకం: దత్త సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సహజ సంఖ్యను దత్త సంఖ్యకు కారణాంకం అంటారు.
ఉదా: 16 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 4, 8, 16
గమనిక: ఒక సంఖ్యకు కారణాంకాలు పరిమిత సంఖ్యలో ఉంటాయి.
సామాన్య కారణాంకం (ఉమ్మడి కారణాంకం): రెండు లేదా అంతకు మించిన సంఖ్యల ఉమ్మడి కారణాంకం అనే సంఖ్య ప్రతి సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
ఉదా: 18, 24 ల ఉమ్మడి కారణాంకం 2
గుణిజం: ఒక సంఖ్యను 1, 2, 3 ...... లతో గుణించగా వచ్చిన లబ్ధాలను ఆ సంఖ్య యొక్క గుణిజాలు అంటారు.
ఉదా: 6 యొక్క గుణిజాలు 6, 12, 18, 24, 30, ......
ఒక సంఖ్య యొక్క గుణిజాలు అనంతంగా ఉంటాయి
ఒక సంఖ్య యొక్క ప్రతి గుణిజాన్ని ఆ సంఖ్య నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
మూడు వరుస సంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ 6 యొక్క గుణిజం అవుతుంది.
సామాన్య గుణిజం (ఉమ్మడి గుణిజం): రెండూ లేదా అంతకు మించిన సంఖ్యల ఉమ్మడి గుణిజం ప్రతి సంఖ్యతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
ఉదా: 12, 24, 36 ల ఉమ్మడి గుణిజాలు 3, 4, 6, 12
కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం: దీన్ని క.సా.గు. అని కూడా అంటారు. దత్త సంఖ్యల్లో ప్రతి దానితో నిశ్శేషంగా భాగించబడే కనిష్ఠ సంఖ్యను దత్త సంఖ్యల క.సా.గు. అంటారు. దీన్ని రెండు పద్ధతుల ద్వారా కనుక్కోవచ్చు.
1) కారణాంక విభజన పద్ధతి
2) ఉమ్మడి భాగహార పద్ధతి (సులభ పద్ధతి)
గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం: రెండు లేదా అంతకు మించిన సంఖ్యల గ.సా.కా. అనే సంఖ్య ప్రతి దాన్ని నిశ్శేషంగా భాగించే గరిష్ఠ సంఖ్య.
దీన్ని గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం లేదా గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం అంటారు. దీన్ని రెండు పద్ధతుల ద్వారా కనుక్కోవచ్చు.
1) కారణాంక విభజన పద్ధతి
2) భాగహార పద్ధతి
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. ఎ) 15, 24, 32, 45 ల క.సా.గు. ఎంత?
1) 4160 2) 930 3) 1440 4) 1080
వివరణ: 2 15, 24, 32, 45
క.సా.గు. = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ´ 5 ´ 4 ´ 3 = 1440
జ: 3
బి) 108, 360, 408 ల గ.సా.భా. ఎంత?
1) 12 2) 24 3) 36 4) 48
గ.సా.భా. = 2 ´ 2 ´ 3 = 12
జ: 1
2. 1 నుంచి 10 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో ప్రతి దానితో నిశ్శేషంగా భాగించబడే కనిష్ఠ సంఖ్య ఎంత?
1) 2250 2) 2502 3) 2052 4) 2520
వివరణ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ల క.సా.గు. = 6, 7, 8, 9, 10 ల క.సా.గు.
ఎందుకంటే చిన్న సంఖ్య యొక్క గుణిజం పెద్ద సంఖ్య అయితే చిన్న సంఖ్యను వదిలివేయవచ్చు.
కావాల్సిన సంఖ్య = 2 × 3 × 7 × 4 × 3 × 5
= 2520
జ: 4
3. 22, 35, 70 లతో భాగిస్తే వరుసగా 12, 25, 60 శేషంగా వచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్యను కనుక్కోండి.
1) 770 2) 780 3) 760 4) 750
వివరణ:
∴ 22, 35, 70 ల క.సా.గు.
= 2 × 35 × 11 = 770
ప్రతి సందర్భంలో 10 వచ్చింది కాబట్టి 770 − 10 =- 760
జ: 3
4. ఒక ఎర్ర బల్బు నిమిషానికి మూడుసార్లు, పచ్చ బల్బు 2 నిమిషాల్లో అయిదుసార్లు వెలుగుతాయి. అయితే ఒక గంట వ్యవధిలో ఆ బల్బులు ఎన్ని సార్లు కలిసి వెలుగుతాయి?
1) 30 2) 24 3) 20 4) 60
వివరణ: ఎర్ర బల్బు నిమిషానికి మూడుసార్లు వెలుగుతుంది.
ఒకసారి వెలగడానికి పట్టే సమయం
పచ్చ బల్బు 2 నిమిషాల్లో అయిదుసార్లు వెలుగుతుంది. ఒకసారి వెలగడానికి పట్టే సమయం
ఆ రెండు బల్బులు కలసి వెలిగే సమయం
క.సా.గు. =- 2 × 2 × 5 × 6 = 120 సెకన్లు లేదా 2 నిమిషాలు
ఒక గంటలో ఆ రెండు బల్బులు 60/2 = 30 సార్లు కలిసి వెలుగుతాయి.
జ: 1
5. రెండు ట్యాంకర్లలో వరుసగా 850 లీటర్లు, 680 లీటర్ల పెట్రోలు ఉంది. రెండు ట్యాంకర్లలో ఉన్న పెట్రోలును కొలవగలిగే గరిష్ఠ సామర్థ్యం ఉన్న కొలపాత్ర పరిమాణం? (లీటర్లలో)
1) 17 2) 170 3) 680 4) 850
వివరణ: గరిష్ఠ సామర్థ్యం ఉన్న కొలపాత్ర పరిమాణం
850 లీ., 680 లీ. గ.సా.భా. = 170
(లేదా)
680 = 2 ´ 2 ´ 5 ´ 17
గ.సా.భా. = 2 × 5 × 17 = 170
జ: 2
6. 2 మీ. 50 సెం.మీ. పొడవు, 1 మీ. 50 సెం.మీ. వెడల్పు ఉన్న ఒక గదిలో చతురస్ర మార్బుల్స్‌ను అమర్చితే ఆ మార్బుల్‌ భుజం, ఆ గదిలో అమర్చ గల మార్బుల్స్‌ సంఖ్యను కనుక్కోండి.
1) 25, 20 2) 30, 15 3) 55, 10 4) 50, 15
వివరణ: పొడవు = 2 మీ. 50 సెం.మీ. = 250 సెం.మీ.
వెడల్పు = 1 మీ. 50 సెం.మీ. = 150 సెం.మీ.
పొడవు, వెడల్పుల గ.సా.భా. ఆ మార్బుల్‌ యొక్క భుజం అవుతుంది.
150, 250
గ.సా.భా. = 50
∴ చతురస్ర భుజం = 50
చతురస్ర వైశాల్యం = 50 × 50
ఆ గదిలో అమర్చ గల మార్బుల్స్‌ సంఖ్య =
జ: 4
7. రెండు సంఖ్యల క.సా.గు. 280, గ.సా.భా. 35. వాటిలో ఒక సంఖ్య 28 అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత?
1) 140 2) 350 3) 245 4) 240
వివరణ: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = క.సా.గు.× గ.సా.భా. ఆ రెండు సంఖ్యలను a, b అనుకుంటే
క.సా.గు. = 280
గ.సా.భా. = 35
a = 28, b = ?
28 × b = 280 × 35
b = 350
జ: 2
8. 210 చాక్లెట్లు, 378 బిస్కెట్లు ఉన్నాయి. చాక్లెట్లు, బిస్కెట్లను కలపకుండా కనీస సంఖ్యలో సమాన సైజు ప్యాకెట్‌లలో ప్యాక్‌ చేయడానికి సాధ్యమయ్యే బిస్కెట్లు లేదా చాక్లెట్ల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
1) 21 2) 7 3) 28 4) 42
వివరణ: చాక్లెట్ల సంఖ్య = 210
బిస్కెట్ల సంఖ్య = 378
ముందుగా వీటి గ.సా.భా. కనుక్కుంటే గరిష్ఠ సంఖ్యను తెలుసుకోవచ్చు.
210, 378 ల గ.సా.భా. = 42
కానీ ప్రశ్నలో కనీస సంఖ్య అని అడిగారు కాబట్టి 42 యొక్క కారణాంకాలు
కనీస సంఖ్య 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 కావచ్చు.
ఇచ్చిన ఆప్షన్‌ల నుంచి కనిష్ఠ సంఖ్య 7 అవుతుంది.
జ: 2
రచయిత: దొర కంచుమర్తి
