సంవర్గమానాలు

సంక్లిష్ట గణనల సరళ వ్యక్తీకరణ! 

నిర్దిష్ట సంఖ్యను పొందేందుకు ఆధార సంఖ్య లేదా స్థిరసంఖ్యను పెంచడానికి లేదా తగ్గించడానికి ఉపయోగించే ఘాతాంకమే సంవర్గమానం. దీనిని ఆధార సంఖ్యకు లాగ్‌గా వ్యక్తీకరిస్తారు. అంటే ఘాతాంకానికి, ఆధార అంకె లేదా సంఖ్యకు మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని సూచించే ప్రాథమిక గణిత భావన సంవర్గమానం. ఘాతాంక స్పష్టీకరణకు, ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి దీనిని వినియోగిస్తారు. సంక్లిష్ట గణనలను సులభంగా నిర్వహించడానికి వాడతారు. సైన్స్, ఇంజినీరింగ్, గణిత, ఆర్థిక రంగాల్లో పలు అంశాల సరళ విశ్లేషణకు ఇవి అవసరం. పలు రకాల పోటీ పరీక్షల్లో ఈ అధ్యాయం నుంచి ప్రశ్నలు అడుగుతున్నారు. అభ్యర్థులు దీనిపై కనీస అవగాహన పెంపొందించుకోవాలి. 

సంవర్గమానం: a, xలు రెండు ధన వాస్తవ సంఖ్యలై a ≠ 1 అయినప్పుడు aⁿ = x అయ్యేవిధంగా a యొక్క ఆధారానికి x యొక్క సంవర్గమాన విలువను n అంటారు. 

*    ధన వాస్తవ సంఖ్యలకు మాత్రమే సంవర్గమానాలు నిర్వచించవచ్చు.

*    సంవర్గమానాలను జాన్‌ నేపియర్‌ రూపొందించాడు. గుణకారాలకు ‘నేపియర్‌ పట్టిక’లను రూపొందించాడు. దశాంశ భిన్నాలను ప్రవేశపెట్టాడు. 

ధర్మాలు: ఎ) 1 యొక్క ఏ ఆధారానికైనా సంవర్గమాన విలువ సున్నా. 

బి) ఒక సంఖ్య యొక్క అదే ఆధారానికి సంవర్గమాన విలువ ఒకటి. 

  log^a_a = 1 

సి) ఒక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం విభిన్న ఆధారాలకు భిన్నంగా/వేర్వేరుగా ఉంటుంది.

 64 = 8²⇒ log₈⁶⁴ = 2

64 = 4³ ⇒ log₄⁶⁴ = 3

64 = 2⁶ ⇒ log₂⁶⁴ = 6

* సంవర్గమానాలను రెండు ఆధారాలతో సూచిస్తారు. 

  

సంవర్గమాన న్యాయాలు 

 

లాక్షణిక: ఒక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానంలో పూర్ణాంక భాగాన్ని లాక్షణిక అంటారు. 

ఉదా: 1) log 2= 0.3010 

లాక్షణిక = 0

2) log 16 = 1.2040

లాక్షణిక = 1

మాంటిసా (అంశ): ఒక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమాన విలువలో దశాంశ భాగాన్ని మాంటిసా అంటారు. 

ఉదా: 1) log 2 = 0.3010

మాంటిసా = .3010

* మాంటిసా ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మకం. దీని విలువ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. దీన్ని లెక్కించడానికి సంవర్గమాన పట్టికలు అవసరం.

గమనిక: ఒక సంఖ్యలో - అంకెలు ఉంటే ఆ సంఖ్య సంవర్గమాన లాక్షణిక n − 1. దీని విపర్యం కూడా నిజం. అంటే సంవర్గమాన లాక్షణిక 'n' అయితే ఆ సంఖ్యలో అంకెలు n + 1.

లాక్షణిక    సంఖ్యలో అంకెలు 

     n            n + 1

  n − 1         n

మాదిరి ప్రశ్నలు 

.

1)  2     2)  9       3)  4     4) 27 

= 4(1) = 4 

జ: 3

జ: 1

జ: 2

6.  log(a + b) = log a + log b   అయితే b విలువ ఎంత?

వివరణ: log(a + b) = log a + log b 

log(a + b) = log ab

a + b = ab 

b − ab = −a

b(1 − a) = −a

జ: 2

7.   log(a² + b²) = log 2 + log a + logb అయితే a, b ల మధ్య సంబంధం  

1) a² = b      2) a = b²     3) a = b    4) a = 2b

వివరణ: log(a² + b²) = log 2 + log a + log b

log(a² + b²) = log 2ab

a² + b² = 2ab

a² + b² − 2ab = 0

(a − b)² = 0

a − b = 0

a = b

జ: 3

 

log(1 + x²) = log 2x²

(1 + x²) = 2x²

x² = 1

x = ±1

జ: 3

10.  x = 1 + log_a^bc , y = 1 + log_b^ca, z = 1 + log_c^ab అయితే xy + yz + zx = 

xy + yz + zx = xyz

జ: 1

11.  2 log(x + 3) = log 81అయితే x = ?

1) 6       2) −12     3) 1, 2    4) ఏదీకాదు

వివరణ: 2 log(x + 3) = log 81

log(x + 3)² = log 81

(x + 3)² = 9²

x + 3 = ±9

x = 6 లేదా -12

కానీ x = 12 వద్ద log(−12 + 3) = log (−9)  

రుణ విలువలకు సంవర్గమానం వివరించలేం. కాబట్టి x = 6మాత్రమే సమాధానం అవుతుంది.

జ: 1

 

12. log 2 = 0.3010 అయితే 8²⁵ లో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి?

1) 22    2) 23    3) 24    4) 25

వివరణ: log₈²⁵ = 25 log 8

= 25 log 2³

= 75 log 2 

= 75 (0.3010) = 22.5750

లాక్షణిక = 22

అంకెలు =  22 + 1 = 23

జ: 2

13.  log₁₀³ = 0.4771 అయితే 3⁴⁰ లో ఉండే అంకెల సంఖ్య

1) 19       2) 21      3) 20      4) 40

వివరణ:  log 3⁴⁰

= 40 log 3

= 40(0.4771) 

= 19.0840

లాక్షణిక = 19

అంకెలు = 19 + 1 = 20

జ: 3

ప్రాక్టీస్‌ ప్రశ్నలు

1. log₃₂^x  = 0.8 అయితే x =   

1) 16   2) 10   3) 12   4) 256

1) 2   2) 3   3) 4   4) 5

3.  log 2 = 0.3010 అయితే 2⁶⁴ లో ఉండే అంకెల సంఖ్య

1) 17   2) 18   3) 19   4) 20

4.  log₂log₂log₃log₃27³ =

1) 0   2) 2   3) 64   4) 512

5.  log10^(0.0001) =    

1) 4  2) 1/4   3) −4    4) 0

9.   log 27 = 1.431 అయితే  log 9 =

 1) 0.934     2) 0.945      3) 0.954     4) 0.958

1) a + b = 1   2) a − b = 1   3) a = b   4) a² − b² = 1
 

1) 2     2) 8     3) 64     4) 512 

14.  log₉²⁷ + log₈³² =

1) 3   2) 25   3) 6  4) 19

సమాధానాలు: 1-1; 2-3; 3-4; 4-1; 5-3; 6-1; 7-1; 8-3; 9-3; 10-1; 11-1; 12-3; 13-4; 14-2; 15-1; 16-2; 17-2.

రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు