నడిచి వెళ్లి వస్తే పది గంటలు!
ప్రతి ఒక్కరూ ఉదయం లేచింది మొదలు రాత్రి నిద్రపోయే వరకు ఏదో ఒక విధంగా ప్రయాణాలు చేస్తూనే ఉంటారు. స్కూలుకి, ఆఫీసులకు వెళ్లడం, పక్క ఊరికి పనిమీద పయనం కావడం తదితరాలన్నీ రోజూ జరుగుతూనే ఉంటాయి. ఆ సందర్భంలో వెళ్లాల్సిన దూరాలను, చేరాల్సిన సమయాలను లెక్కలేస్తుంటారు. అవే ప్రశ్నలుగా పోటీ పరీక్షల్లో వస్తుంటాయి. వీటిని ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే ప్రాథమిక గణిత ప్రక్రియలపై పట్టు పెరుగుతుంది. సమస్యలను పరిష్కరించే సామర్థ్యం పదునెక్కుతుంది. విమర్శనాత్మకంగా ఆలోచించే శక్తి పెంపొందుతుంది.
కాలం దూరం పాఠ్యాంశంలో నేల, గాలి, కమ్మీ, నీటిలో ప్రయాణించడంపై ప్రశ్నలు వస్తుంటాయి.
1) బస్సు, విమానం, నడకకు సంబంధించిన సమస్యలు (సాధారణమైనవి).
2) రైలు ఒకే దిశ, ఎదురెదురు దిశలకు సంబంధించిన సమస్యలు.
3) బోటు ప్రవాహ దిశ, ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశకు సంబంధించిన సమస్యలు
సాధారణ సూత్రాలు:
దూరం = వేగం x కాలం
* వేగానికి ప్రమాణాలు = మీ./సె. (లేదా) కి.మీ./గం.
* దూరానికి ప్రమాణాలు = మీటరు లేదా కిలోమీటరు.
సరాసరి వేగం
1. ఒక వ్యక్తి x కి.మీ./గం. వేగంతో తన గమ్యస్థానాన్ని చేరాడు. తిరుగు ప్రయాణంలో y కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రారంభ స్థానాన్ని చేరాడు.
అయితే ఆ వ్యక్తి సరాసరి వేగం 
2. ఒక వ్యక్తి తన గమ్యస్థానాన్ని 3 సమాన భాగాలుగా చేసుకుని మొదటి భాగాన్ని x కి.మీ./గం., రెండో భాగాన్ని y కి.మీ./గం. వేగంతో, మూడో భాగాన్ని z కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే ఆ వ్యక్తి సరాసరి వేగం
3. ఒక వ్యక్తి తన గమ్యస్థానాలను వేర్వేరు దూరాలుగా నిర్ణయించి, వేర్వేరు వేగాలతో ప్రయాణిస్తే ఆ వ్యక్తి సరాసరి వేగం
గమనిక:
* దూరం, కాలం రాశులు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. 
* దూరం, వేగం రాశులు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. 
* కాలం, వేగం రాశులు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి. 
1. A, B ల మధ్య వేగాల నిష్పత్తి 4 : 7. అయితే వారి గమ్యస్థానాలను చేరడానికి పట్టే కాలాల నిష్పత్తి ఎంత?
1) 1 : 6 2) 8 : 7 3) 8 : 14 4) 7 : 4
వివరణ: వేగాల నిష్పత్తి, కాలాల నిష్పత్తికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
కాలాల నిష్పత్తి 7 : 4
జ: 4
2. A వేగం B వేగానికి 3 రెట్లు. A తన గమ్యస్థానాన్ని చేరడానికి 15 నిమిషాల సమయం పడితే B కు ఎంత సమయం పడుతుంది?
1) 45 నిమిషాలు 2) 52 నిమిషాలు 3) 90 నిమిషాలు 4) ఏదీకాదు
వివరణ: లెక్క ప్రకారం A వేగం B వేగానికి 3 రెట్లు.
A అనే వ్యక్తి తన గమ్యస్థానం చేరాలంటే 15 నిమిషాల సమయం పడుతుంది
జ: 1
3. ఒక వ్యక్తి 20 కి.మీ. దూరాన్ని 30 నిమిషాల్లో ప్రయాణించాడు. అతడు సగం దూరాన్ని 3/5వ వంతు కాలంలో ప్రయాణించాడు. అయితే మిగిలిన దూరాన్ని మిగిలిన కాలంలో ప్రయాణించాలంటే ఎంత వేగంతో ప్రయాణించాలి?
1) 10 కి.మీ./గం. 2) 20 కి.మీ./గం. 3) 50 కి.మీ./గం. 4) 60 కి.మీ./గం.
వివరణ: దూరం = 20 కి.మీ.
సమయం = 30 నిమిషాలు
సగం దూరం = 10 కి.మీ.
మిగిలిన సమయం = 30 -18 = 12 ని.
మిగిలిన దూరం 10 కి.మీ. 12 నిమిషాల్లో ప్రయాణించాలంటే
జ: 3
4. ఒక ఉద్యోగి 18 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే తన ఆఫీసుకు 15 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరాడు. 24 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తే 5 నిమిషాలు ముందుగా వెళ్లాడు. అయితే తన ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకు ఉన్న దూరం ఎంత?
1) 10 కి.మీ. 2) 18 కి.మీ. 3) 24 కి.మీ. 4) ఏదీకాదు
వివరణ: ఉద్యోగి 18 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణించడం వల్ల 15 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరతాడు. 24 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణించడం వల్ల 5 నిమిషాలు ముందుగా చేరతాడు. వేగం పెంచడం వల్ల ఆ ఉద్యోగికి 20 నిమిషాలు ఆదా అవుతుంది.
ఆఫీసు నుంచి ఇంటి వరకు ఉన్న దూరం = X కి.మీ. అనుకుంటే
ముందుగా చేరుకుంటే ఆ దూరం 
జ: 3
5. ఒక వ్యక్తి 60 కి.మీ./గం. వేగంతో తన గమ్యస్థానాన్ని చేరాడు. 40 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రారంభ స్థానాన్ని చేరుకున్నాడు. అయితే ఆ వ్యక్తి సరాసరి వేగం ఎంత?
1) 48 కి.మీ. 2) 39 కి.మీ./గం. 3) 31 కి.మీ/గం. 4) ఏదీకాదు
వివరణ: సరాసరి వేగం = 
జ: 3
6. ఒక బస్సు 60 కి.మీ./గం. వేగంతో స్టేషన్‌ A నుంచి Bకి చేరింది. తిరిగి 40 కి.మీ./గం. వేగంతో B నుంచి Aకు చేరింది. మొత్తం ప్రయాణించడానికి 2 గంటల సమయం పట్టినా A నుంచి B వరకు ఉన్న దూరం ఎంత?
1) 40 కి.మీ./గం. 2) 50 కి.మీ./గం. 3) 48 కి.మీ./గం. 4) 33 కి.మీ./గం.
వివరణ: దూరం = కాలం X వేగం
(లేదా)
దూరం = కాలం X సరాసరి వేగం
జ: 3
7. ఒక వ్యక్తి కాలినడకపై తన గమ్యస్థానాన్ని చేరాడు. తిరుగు ప్రయాణంలో సైకిల్‌ మీద ప్రారంభ స్థానం చేరడానికి అతడికి 8 గంటల సమయం పడుతుంది. ఒకవేళ రెండు వైపులా సైకిల్‌ మీదే ప్రయాణం చేస్తే 2 గంటల సమయం తక్కువ పడుతుంది. అయితే రెండు వైపులా కాలినడకన వస్తే ఎంత సమయం పడుతుంది?
1) 1 గం. 2) 5 గం. 3) 10 గం. 4) 20 గం.
వివరణ: లెక్క ప్రకారం
కాలినడకన + సైకిల్‌ = 8 గం. .......... (1)
సైకిల్‌ + సైకిల్‌ = 6 గం. ........... (2)
(1), (2) సమీకరణాల నుంచి కాలినడకన ప్రయాణిస్తే 5 గంటల సమయం పడుతుంది.
కాబట్టి రెండు వైపులా కాలినడకన ప్రయాణిస్తే
2 x 5 = 10 గంటల సమయం పడుతుంది.
జ: 3
రచయిత: దొర కంచుమర్తి
