నిష్పత్తి - అనుపాతం

రెండు రాశులు ఒకే ప్రమాణాలు కలిగి ఉండి మొదటి దాన్ని రెండోది భాగిస్తే దాన్ని నిష్పత్తి అంటారు.
* a, b లు ఏవైనా రెండు రాశులు ఒకే ప్రమాణాలతో ఉంటే వాటి మధ్య నిష్పత్తిని a/b లేదా a : b గా రాస్తారు.
*  a : b నిష్పత్తిలో a ని పూర్వపదం (Antecedent) అని, b ని పరపదం(Consequent) అంటారు.  

 రెండు నిష్పత్తులు సమానమైతే వాటిని అనుపాతం అంటారు.
  a : b = c : d లో a, d ని అంత్యాలు అని b, c లను మధ్యమాలు అని అంటారు.
  అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యమాల లబ్ధం.
                         ad = bc

1. a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5 అయితే a : b : c ఎంత?
జ. 8 : 12 : 15
సాధన : ఇందులో రెండింటిలో ఉమ్మడిగా b ఉంది. కాబట్టి మొదటి నిష్పత్తిని 4 తో, రెండో నిష్పత్తిని 3 తో గుణించాలి.

2. A : B = 3 : 4, B : C = 8 : 10, C : D = 15 : 17 అయితే A : B : C : D ఎంత?
జ. 9 : 12 : 15 : 17
సాధన : A : B = 3 : 4
            B : C = 8 : 10
            C : D = 15 : 17
A : B : C : D 
  = 3 × 8 × 15 : 4 × 8 × 15 : 4 × 10 × 15 : 4 × 10 × 17
  = 9 : 12 : 15 : 17
 

3. A : B = 3 : 4, B : C = 8 : 9 అయితే A : C ఎంత?
జ. 2 : 3
సాధన : మొదటి, చివరి విలువను అడిగినప్పుడు 
            

4. a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5, c : d = 6 : 7 అయితే a : d ఎంత?
జ. 16 : 35
సాధన : మొదటి, చివరి విలువలను అడిగినప్పుడు
          

5. 6, 9, 20 ల నాలుగో అనుపాతం ఎంత?
జ. 30
సాధన: నాలుగో అనుపాతం x అనుకుందాం. అప్పుడు 6 : 9 = 20 : x (అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యమాల లబ్ధం)
                                                                                6 x = 9 × 20
                                                                       
                                                                                  
6. 16, 4 ల మూడో అనుపాతం ఎంత?
జ. 1
సాధన: మూడో అనుపాతం x అనుకుందాం.  అప్పుడు 16 : 4 = 4 : x

           

7. 32, 2 ల మధ్య అనుపాతం ఎంత?
జ. 8
సాధన: మధ్య అనుపాతం x అనుకుందాం. అప్పుడు 32 : x = x : 2
                                                                       
                                                                               
8. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 5 : 3 ప్రతి సంఖ్యకు 3 కలిపితే వాటి మధ్య నిష్పత్తి 14 : 9. అయితే అందులో చిన్న సంఖ్య ఎంత?
జ. 15
సాధన:

9. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 7:12. ప్రతి సంఖ్యలో నుంచి ఏ సంఖ్యను తీసివేస్తే వాటి మధ్య నిష్పత్తి 1:2 అవుతుంది?
జ. 2
సాధన :

10. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 30, వాటి మధ్య వ్యత్యాసం 12. అయితే రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
జ. 7:3
సాధన :

11. రూ. 735లను A, B, Cలకు పంచాలి. ప్రతి ఒక్కరూ రూ. 25 తీసుకున్నాక వారు పంచుకున్న నిష్పత్తి 1:3:2. అయితే C వాటా ఎంత?
జ. రూ.245
సాధన:

12. రూ. 2430లను A, B, Cలకు పంచాలి. వారు వరుసగా రూ.5, రూ.10, రూ.15 తీసుకున్నారు. తర్వాత వారు పంచుకున్న నిష్పత్తి 3 : 4 : 5 అయితే B వాటా ఎంత?
జ. రూ.810
సాధన :

13. ఒక వ్యక్తి వద్ద కొన్ని కోళ్లు, ఆవులు ఉన్నాయి. మొత్తం తలల సంఖ్య 50, మొత్తం కాళ్ల సంఖ్య 142. అయితే అతడి వద్ద ఎన్ని ఆవులు ఉన్నట్లు?
జ. 142
సాధన :

14. 2:3, 6:11, 11:2 ల బహుళ నిష్పత్తి ఎంత?
జ. 2:1
సాధన :

15. ఒక పాఠశాలలో బాలురు, బాలికల మధ్య నిష్పత్తి 8:5 అందులో బాలికల సంఖ్య 160 అయితే, మొత్తం విద్యార్దుల సంఖ్య ఎంత?
జ. 416
సాధన : బాలురు = 8x, బాలికలు = 5x
             ఇచ్చిన లెక్క ప్రకారం 5x = 160
            
             = 13 × 32 = 416
 

16. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 3:5. ప్రతి సంఖ్యలో నుంచి 9 తీసివేస్తే, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 12:23. అందులో చిన్న సంఖ్య ఎంత?
జ. 33
 

17. 5, 6, 150 ల నాలుగో అనుపాతం ఎంత?
జ. 180
 

18. ఒక పాఠశాలలో బాలురు, బాలికలు మధ్య నిష్పత్తి 2:5. మొత్తం విద్యార్థులు 350 మంది అయితే బాలికలు ఎంతమంది?
జ. 250
 

19. A : B = 3:4, B : C = 8:9 అయితే A : B : C ఎంత?
జ. 6 : 8 : 9
 

20. 2A = 3B = 4C అయితే A : B : C ఎంత?
జ. 6 : 4 : 3

21. a : b = 3 : 4, b : c = 8 : 9 అయితే a : c ఎంత?
    1) 1 : 2     2) 3 : 2     3) 1 : 3     4) 2 : 3

సమాధానం: 4

22. (a + b) : (b + c) : (c + a) = 6 : 7 : 8, (a + b + c) = 14 అయితే c విలువ ఎంత?
    1) 6     2) 7     3) 8     4) 14
సాధన: a + b + b + c + c + a = 6k + 7k + 8k
              2(a + b + c) = 21k
              2 × 14 = 21k (దత్తాంశం ప్రకారం) 
              k = 2 ×  =  
c విలువ కావాలంటే (a + b + c) నుంచి (a + b) ని తీసివేయాలి.
(a + b) = 6k  (a + b) = 6 ×  = 8
c = 14 - 8 = 6
సమాధానం: 1

23. a : b = c : d = e : f = 1 : 2 అయితే (3a + 5c + 7e) : (3b + 5d + 7f) విలువ ఎంత?
    1) 1 : 2     2) 1 : 4     3) 2 : 1     4) 8 : 7
సాధన: a = c = e = 1, b = d = f = 2
(3a + 5c + 7e) : (3b + 5d + 7f)
3(1) + 5(1) + 7(1) : 3(2) + 5(2) + 7(2)
(3 + 5 + 7) : 2(3 + 5 + 7)
1 : 2
సమాధానం: 1

24. ఒక వ్యక్తి వద్ద ఉన్న పెన్నులను A, B, C, D లకు  :  :  :

 నిష్పత్తిలో పంచితే అతడి వద్ద కనిష్ఠంగా ఎన్ని పెన్నులు ఉంటాయి?
    1) 60     2) 114     3) 57     4) 54
సాధన:  :  :  :  హారంలో ఉన్న 3, 4, 5, 6 లకు క.సా.గు. చేస్తే

క.సా.గు. = 60

ఇప్పుడు  × 60 :

 × 60 :  × 60 :  × 60
20 : 15 : 12 : 10
 అతడి వద్ద కనిష్ఠంగా ఉండాల్సిన పెన్నుల సంఖ్య: 20 + 15 + 12 + 10 = 57
సమాధానం: 3

25. ఒక సంస్థ యొక్క విద్యుత్‌ కొంత భాగం స్థిరంగా మిగిలింది. ఇది ఉపయోగించిన యూనిట్లపై ఆధారపడి మారుతుంది. ఒక నెలలో 500 యూనిట్లకు రూ.2000, మరో నెలలో 650 యూనిట్లకు రూ.2450 బిల్లు వచ్చింది. అయితే ఇంకో నెలలో 725 యూనిట్లు వాడితే ఎంత బిల్లు వస్తుంది?
    1) రూ.2750     2) రూ.2500     3) రూ.2900     4) రూ.2675
సాధన: స్థిరబిల్లు x వాడిన యూనిట్‌ ధర y అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం 

  ఒక యూనిట్‌ ధర = రూ.3
500 × 3 + x = 2000
x = 2000 − 1500
x = రూ.500 స్థిర బిల్లు
ఇప్పుడు బిల్లు 725 × 3 + 500
                      2175 + 500 = రూ.2675
సమాధానం: 4

26. 21, 38, 55, 106 ల నుంచి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేస్తే అవి అనుపాతంలో ఉంటాయి?
    1) 2     2) 4     3) 6     4) 8
సాధన: తీసివేయాల్సిన సంఖ్య x అనుకుందాం
అప్పుడు అనుపాతం అంటే అంత్యమాల లబ్ధం = మధ్యమాల లబ్ధం
(21 - x)(106 - x) = (38 - x)(55 - x)
2226 - 127x + x = 2090 - 93x + x
2226 - 2090 = 127x - 93x
34x = 136
x =  = 4

సంక్షిప్త పద్ధతి:
సమాధానం: 2

27. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 30. వాటి మధ్య భేదం 12. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
    1) 7 : 3     2) 7 : 1     3) 3 : 7     4) 1 : 7
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం

x = 
 x = 21
    y = 9

సంక్షిప్త పద్ధతి: 30 + 12 = 30 - 12
                      42 : 18
                      7 : 3
సమాధానం: 1

28. రెండు సంఖ్యల మొత్తం, వాటి భేదాల నిష్పత్తి 7 : 1 అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
    1) 4 : 3     2) 4 : 1     3) 3 : 4     4) 1 : 4
సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y
దత్తాంశం ప్రకారం

x + y = 7x - 7y
y + 7y = 7x - x
6x = 8y

 =  = 4 : 3

సంక్షిప్త పద్ధతి:
7 + 1 : 7 - 1
      8 : 6
      4 : 3
సమాధానం: 1

29.  3 : 5 నిష్పత్తికి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపితే వాటి మధ్య నిష్పత్తి 5 : 6 అవుతుంది?
    1) 6     2) 7     3) 12     4) 13
సాధన: కలపాల్సిన సంఖ్య x అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం  (అడ్డగుణకారం చేయగా)
18 + 6x = 25 + 5x
6x - 5x = 25 + 5x
6x - 5x = 25 - 18
 x = 7
సమాధానం: 2

30. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 3 : 4, ప్రతి సంఖ్యకు 6 కలిపితే వాటి నిష్పత్తి 4 : 5 అవుతుంది. అయితే వాటి మధ్య భేదం ఎంత?
    1) 1     2) 3     3) 6     4) 8
సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం
 (అడ్డగుణకారం చేయగా)
16x + 24 = 15x + 30
16x - 15x = 30 - 24
x = 6
3x, 4x ల మధ్య భేదం x = 6 అవుతుంది.
సమాధానం: 3

అదనపు సమస్యలు

1. ఒక సంస్థ కరెంటు బిల్లులో కొంత భాగం స్థిరంగా మిగిలింది. ఇది వాడిన యూనిట్లపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక నెలలో 540 యూనిట్లకు రూ.1800, మరో నెలలో 620 యూనిట్లకు రూ.2040 బిల్లు వచ్చింది. అయితే ఇంకో నెలలో 500 యూనిట్లు వాడితే ఎంత బిల్లు వస్తుంది?
       1) రూ.1560        2) రూ.1680        3) రూ.1840        4) రూ.1950

2. 54, 71, 75, 99ల నుంచి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేస్తే అవి అనుపాతంలో ఉంటాయి?
       1) 1        2) 2        3) 3        4) 6

3. రెండు సంఖ్యల మొత్తం, భేదాల మధ్య నిష్పత్తి 5 : 3 అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
       1) 5 : 3        2) 4 : 1        3) 3 : 5        4) 1 : 4
 

4. a : b = b : c అయితే a : b విలువ ఎంత?
     1) b : ac      2) c : a      3) a : c      4) ac : b

5. రూ.6400 ను A, B, C లకు  : 2 :  నిష్పత్తిలో పంచితే B వాటా ఎంత?
       1) రూ.2560        2) రూ.3000        3) రూ.3200        4) రూ.3840

సమాధానాలు: 1-2; 2-3; 3-2; 4-3; 5-2.