సంఖ్యావ్యవస్థ (చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య)

 సున్నాల లెక్క.. మార్కులు పక్కా!


 

కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకార, భాగహారాల వంటి ప్రాథమిక గణిత ప్రక్రియలపై అభ్యర్థుల సామర్థ్యాన్ని అంచనా వేసేందుకు ఫలితంలో వచ్చే సున్నాల సంఖ్యను కనిపెట్టమని ఇటీవల పరీక్షల్లో అడుగుతున్నారు. లెక్క చూడగానే కొద్దిగా కంగారుగా అనిపించవచ్చు. కానీ మౌలికాంశాలు తెలుసుకొని, ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే కంటి చూపుతోనే సమాధానం కనిపెట్టవచ్చు, లేదా ఒకటి రెండు స్టెప్పుల్లోనే జవాబు రాబట్టవచ్చు, మార్కులు సంపాదించుకోవచ్చు. పోటీలో ముందంజలో ఉండాలంటే ఇలాంటి వాటినీ తెలుసుకోవాలి.  

కూడిక, తీసివేత, లబ్ధం, భాగహారం లాంటివి చేసినప్పుడు వచ్చిన ఫలిత సంఖ్యలోని చివరి సున్నాలను లెక్కించాలి.ఈ మధ్య పరీక్షల్లో ఈ ప్రశ్నలు వస్తున్నాయి.

* ఒక సున్నా ఏర్పడాలంటే 10ⁿ రూపంలో ఉండాలి లేదా 10ⁿ తో గుణించే విధంగా ఉండాలి. 10 ఏర్పడాలంటే (2 x 5) ఒక 2, ఒక 5 ను జతగా గుణించాలి. కాబట్టి ఇచ్చిన సంఖ్యలో (2 x 5) లాంటి జతలు ఎన్ని ఉన్నాయో చూడాలి. ఎన్ని ఉంటే చివరకు అన్ని సున్నాలు ఏర్పడతాయి. అంటే 2, 5 లలో ఏవి తక్కువగా ఉంటాయో అన్ని సున్నాలు చివరిలో ఉంటాయని పరిగణిస్తాం. 

* సరిసంఖ్యల్లో 2, బేసిసంఖ్యల్లో 5 ఒక కారణాంకంగా ఉంటాయి. కాబట్టి సరిసంఖ్యలో 2 ఎక్కువసార్లు బేసిసంఖ్యలో 5 ఎక్కువసార్లు ఉంటుంది.

కూడిక: ఏ సంఖ్యలను కూడుతున్నామో ఆ సంఖ్యల్లో సున్నాలు ఉంటే వాటిలో ఏ సంఖ్యకు తక్కువ సున్నాలు ఉంటాయో అన్ని సున్నాలు ఆ కూడికలో ఉంటాయి.

ఉదా: 

    1000 లో తక్కువ సున్నాలు ఉంటాయి. కాబట్టి కూడిక చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య 3.
 

 
    కూడికలో చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య 1 

తీసివేత: ఏ సంఖ్యలను తీసివేస్తున్నామో ఆ సంఖ్యల్లో సున్నాలు ఉంటే వాటిలో ఏ సంఖ్యకు తక్కువ సున్నాలు ఉంటాయో అన్ని సున్నాలు ఆ తీసివేతలో ఉంటాయి.

ఉదా:  

        2) 2,50,000 - 520 - 68,500 = x అయితే x సంఖ్యలో చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?
 

           
భాగహారం: ఏ సంఖ్యలను భాగహారం చేస్తున్నామో, ఆ సంఖ్యల్లో చివరగా ఉన్న సున్నాల సంఖ్యలను లెక్కించి వాటిని తీసివేయాలి. వచ్చిన ఫలిత సంఖ్య/అంకె అనేది ఆ భాగహారంలో వచ్చిన ఫలిత సంఖ్యలోని చివరి సున్నాలను సూచిస్తుంది.

గుణకారం: ఏ సంఖ్యలను గుణిస్తున్నామో ఆ సంఖ్యల్లోని చివరి సున్నాలను కలపాలి. ఫలిత సంఖ్య అనేది ఆ గుణకారంలో వచ్చే ఫలిత సంఖ్య చివరి సున్నాలను తెలియజేస్తుంది.
 

గమనిక: చివరలో వచ్చే సున్నాలను కనుక్కోవడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యలను కారణాంకాలుగా విడగొట్టడం లేదా కసాగు కట్టడం చేయవచ్చు.

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1.    15! లో సున్నాల సంఖ్య?

1) 3    2) 4    3) 1   4) 5

వివరణ:  15! ను కారణాంకాలుగా రాస్తే
 

 5 → 3 సార్లు,     2 → 11 సార్లు  

తక్కువ సంఖ్యలో 5 → 3 సార్లు వచ్చింది కాబట్టి 15! లో సున్నాల సంఖ్య = 3     

పై విధంగా చిన్న సంఖ్యలను రాయగలం కానీ పెద్ద సంఖ్యలను విస్తరించి రాయడానికి సమయం వృథా అవుతుంది. కాబట్టి కింది పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాం.
 

⇒ 7 + 3 + 1 = 11      5 → 3 సార్లు

2 → 11 సార్లు    

15! లో సున్నాల సంఖ్య = 3

జ: 1

 

1) 23     2) 24     3) 34     4) 44

వివరణ: 2, 5 లలో తక్కువ సంఖ్యలో ఏవి ఉంటే అన్ని సున్నాలు ఉంటాయి. 2 ఎక్కువ సంఖ్యలో, 5 తక్కువ సంఖ్యలో ఉంటాయి. కాబట్టి కేవలం 5 చూసుకుంటే సరిపోతుంది.

⇒ 20 + 4 = 24

 5 → 24 సార్లు

100! లో చివరగా వచ్చే సున్నాలు = 24

జ: 2

3.    2²²² X 5⁵⁵⁵ లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య ఎంత?

1) 224    2) 555    3) 222    4) 200

వివరణ: 2, 5 లలో తక్కువ సంఖ్యలో ఏవి ఉంటే ఆ లబ్ధం చివర్లో అన్ని సున్నాలు ఉంటాయి.

2²²² X 5⁵⁵⁵ లబ్ధం చివర్లో 222 సున్నాలు ఉంటాయి.

జ: 3
 

4.     8 X 16 X 25 X 35 X 62 X 84 X 85 లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

1) 4    2) 3    3) 5    4) 6

    చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య = 4

    (ఈ లబ్ధంలో 2 అనే అంకె ఎక్కువసార్లు వస్తుంది కాబట్టి 5 చూసుకుంటే సరిపోతుంది)

జ: 1

5.     1 X 3 X 5 X 7 X 9 X 11 X 13 X 15 X ....... X 99 X 64 లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

1) 5     2) 6     3) 4     4) 3  

   

    పరిశీలనలో 5 అధిక సంఖ్యలో ఉంటుందని తెలుస్తుంది. కాబట్టి 2 అనేవి ఎన్ని ఉంటే అన్ని సంఖ్యల్లో సున్నాలు ఉంటాయి.

2⁶ కాబట్టి లబ్ధం చివర్లో 6 సున్నాలు ఉంటాయి. 

జ: 2

6.     5 X 10 X 15 X 20 X ....... X95 X 100 లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

1) 16    2) 14    3) 4    4) 18 

వివరణ: 5 X 10 X 15 X 20 X ....... X 95 X 100

  5²⁰ [1 X 2 X 3 X 4 ....... X20]

5²⁰ [20!] 

పరిశీలనలో 5 అనేది అధిక సంఖ్యలో ఉంటుందని తెలుస్తుంది. కాబట్టి 2 → 18 సార్లు వచ్చింది. 

   చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య = 18

2 → 18 సార్లు

జ: 4

7.     10 X 20 X 30 X 40 X ....... X 100 లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

 1) 10    2) 11    3) 12    4) 14      

వివరణ: 10 X 20 X 30 X 40X .......X 100

        10¹⁰ [1 X 2X 3 X 4X ....... X10]

చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య = 10 + 2 = 12

జ: 3 
 

8.     101 X 102 X 103 X 104 X ....... X 200 లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

  1) 24    2) 12    3) 25    4) 10 

వివరణ: మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల లబ్ధం = 1 X 2 X 3 X 4 X ....... X 99 X100  = 100! 

మొదటి 200 సహజ సంఖ్యల లబ్ధం = 1 X 2 X 3 X 4 X .......X 200 = 200!  

మన లెక్కలో 1 నుంచి కాకుండా 101 X 102 X 103 X 104 X ....... X 200 గా ఇచ్చాం. దీన్ని ఫ్యాక్టర్‌గా రాయాలంటే 1 నుంచి 200 లబ్ధంగా రాసి మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల లబ్ధం తీసివేయాలి.

   = 200!  - 100! = 101 X 102 X 103 X 104 X ....... X 200

 = 40 + 8 + 1 = 49

    200!లో 49 సున్నాలు ఉంటాయి.

    20 + 4 = 24

100! లో 24 సున్నాలు ఉంటాయి

⇒ 200! - 100! = 101 X 102 X 103 X 104 X ....... X 200

⇒ 49 - 24 = 25 సున్నాలు ఉంటాయి

జ: 3

9.     25¹¹ X 15¹⁸ X 72³ X 46³¹ లబ్ధంలో చివరగా వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

1) 40   2) 41    3) 50    4) 70 

వివరణ: 25¹¹ X 15¹⁸ X 72³ X 46³¹

⇒ 5 → 22 + 18 = 40 సార్లు

   2 → 9 + 31 = 40 సార్లు       

లబ్ధంలో చివరిగా వచ్చే సున్నాల సంఖ్య = 40

జ: 1
 

10.     1¹ X 2² X 3³ X 4⁴ X 5⁵ ....... X 100¹⁰⁰ లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

 1) 1200   2) 1300   4) 1400   4) 1000

వివరణ: 1¹ X 2² X 3³ X 4⁴ X 5⁵ ....... X 100¹⁰⁰

  పరిశీలనలో 2 అనేది అధిక సంఖ్యలో ఉంటుంది, కాబట్టి  

5⁵ లో 5 లు 5 ఉంటాయి.

25²⁵ = (5 × 5)²⁵ = 5²⁵ × 5²⁵ = 25 + 25 = 50 ఉంటాయి

50⁵⁰ = (5 × 5 × 2)⁵⁰ = 5⁵⁰ × 5⁵⁰ × 2⁵⁰ = 50 + 50 = 100 ఉంటాయి

75⁷⁵= (5 × 5 × 3)⁷⁵ = 5⁷⁵ × 5⁷⁵ × 3⁷⁵ = 75 + 75 = 150 ఉంటాయి

ఈ విధంగా కింది విస్తరణలో లు మొదటగా వచ్చినవి ఒకసారి రెండోసారి వచ్చినవి అన్ని ఒకసారి విడిగా కలపడం

⇒ (5 + 10 + 15 + 20 + ....... + 100) + (25 + 50 + 75 + 100)  ఎక్స్‌ట్రాగా ఉంటాయి. 

⇒ 10(105) + 250 = 1050 + 250 = 1300 

లబ్ధం చివర్లో 1300 సున్నాలు ఉంటాయి. 

జ: 2

11.     1³ X 3⁵ X 7⁹ X 9¹¹X ....... X 97⁹⁹ X 99¹⁰¹ లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

1) 4    2) 3    3) 2    4) ఏదీకాదు 

వివరణ: అన్నీ బేసి సంఖ్యలే కాబట్టి 2 అనేది లేదు అందుకే సున్నాలు ఏర్పడవు

జ: 4

12. 80! X 67!  లబ్ధం చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

 1) 34     2) 22     3) 24    4) 35

80! ⇒ 16 + 3 = 19 సున్నాలు         67! ⇒ 13 + 2 = 15సున్నాలు

80! × 67! = 19 + 15 = 34  సున్నాలు ఉంటాయి

జ: 1

13.     (3¹²³ - 3¹²² - 3¹²¹) (2¹²¹ - 2¹²⁰ - 2¹¹⁹ )లబ్ధంలో చివరగా వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

 1) 5     2) 3     3) 9     4) 1

వివరణ: (3¹²³ − 3¹²² − 3¹²¹)(2¹²¹ − 2¹²⁰ − 2¹¹⁹) 

               = 3¹²¹ (3² − 3¹ − 1) 2¹¹⁹ (2² − 2¹ − 1) 

              = 3¹²¹ (9 − 3 − 1) 2¹¹⁹ (4 − 2 − 1) 

              = 3¹²¹ (5) 2¹¹⁹(1)  

            5 → 1 సార్లు

            2 → 119 సార్లు

          లబ్ధంలో సున్నాల సంఖ్య = 1

జ: 4

14.    15! + 20! + 30! + 35! లో చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

          1) 1     2)     3) 3     4) 0

వివరణ: కలుపుతున్నాం కాబట్టి తక్కువ సంఖ్యలో ఏ సంఖ్యకు అయితే చివర్లో సున్నాలు ఉంటాయో అన్ని సున్నాలు మాత్రమే ఫలిత సంఖ్యలో ఉంటాయి. 

15! లో తక్కువ సంఖ్యలో సున్నాలు ఉంటాయి.

    

 చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య = 3

జ: 3

15.     1!^1! + 2!^2! + 3!^3! + 4!^4! + 5!^5! ....... + 100!^100! లో చివర్లో వచ్చే సున్నాల సంఖ్య?

     1) 10    2) 100    3) 5    4) సున్నాలు ఉండవు

వివరణ:(1!)^1! = 1

            (2!)^2! = 4

            (3!)^3! = 6

           (4!)^4! = 6

          (5!)^5! = 0

         (6!)^6! = 0

         (7!)^7! = 0 .

           -

           - 

           -

  ఈ కూడికలో చివర్లో అంకె 7 వస్తుంది కాబట్టి చివర్లో సున్నాలు ఉండవు\

జ: 4

రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు