కాలం - దూరం (పడవలు, ప్రవాహాలు)

చలనాలు తెలిస్తే.. మార్కులు ఖాయం!

 

నదిలో ప్రవాహానికి ఎదురు నడిస్తే వేగం తగ్గిపోయి కష్టం అనిపిస్తుంది. అదే ప్రవాహ దిశలో వెళితే అడుగుల వడి పెరుగుతుంది. ఈత కొట్టినా  అదే విధంగా ఉంటుంది. పడవల ప్రయాణమూ అలాగే సాగుతుంది. అంకగణితం పరిభాషలో అర్థం చేసుకోవాలంటే కాలం, వేగం, దూరాలకు సంబంధించిన ప్రాథమిక భావనలు అనుభవంలోకి వస్తాయి. సాపేక్ష చలనాల ప్రభావం తెలుస్తుంది. ఆ అవగాహనతో కొన్ని మౌలికాంశాలను నేర్చుకొని లెక్కలు ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే పోటీ పరీక్షల్లో మంచి మార్కులు సంపాదించుకోవచ్చు. రకరకాల గణిత పరిక్రియలపై కూడా పట్టు పెరుగుతుంది.

పడవ వేగం: పడవ వేగం అంటే నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం. అంటే పడవ వేగం ఇచ్చినప్పుడు ఆ నిర్దిష్ట వేగం నిశ్చల నీటిలో ఉన్న వేగం.

దిగువ చలనం: ఒక పడవ (లేదా ఈతగాడు) కదలిక ప్రవాహ దిశలో ఉంటే అలాంటి కదలికను దిగువ చలనం (Down Stream Motion) అంటారు.

ఎగువ చలనం: ఒక పడవ (లేదా ఈతగాడు) కదలిక ప్రవాహ దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉంటే అలాంటి కదలికను ఎగువ చలనం  (Up Stream Motion) అంటారు.

ముఖ్యమైన సూత్రాలు:

*  నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం x, ప్రవాహ వేగం y అనుకుంటే 

1) దిగువ చలనం వేగం = x + y 

2)  ఎగువ చలనం వేగం = x − y

3)  నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం = 1/2

(దిగువ చలనం వేగం + ఎగువ చలనం వేగం)

4) ప్రవాహ వేగం = 1/2 (దిగువ చలనం వేగం  ఎగువ చలనం వేగం)

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.    పడవ వేగం 20 కి.మీ./గం. ప్రవాహ వేగం 30 కి.మీ./గం. అయితే  

ఎ)    ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం ఎంత?

1)  43 కి.మీ./గం.    2)  50 కి.మీ./గం.    3) 45 కి.మీ./గం.    4) ఏదీకాదు

వివరణ: ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం = (20 + 30) కి.మీ./గం.

                                                         = 50 కి.మీ./గం.      

జ: 2

బి)    పడవ వేగం 40 కి.మీ./గం., ప్రవాహ వేగం 20 కి.మీ./గం. అయితే ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో పడవ వేగం ఎంత?

1) 20 కి.మీ./గం.    2) 26 కి.మీ./గం.    3) 34 కి.మీ./గం.    4) 10 కి.మీ./గం.

వివరణ: వ్యతిరేక దిశలో పడవ వేగం = (40 - 20) కి.మీ./గం.

                                                          = 20 కి.మీ./గం.    

జ: 1

సి)    ప్రవాహ దిశలో మనిషి వేగం 40 కి.మీ./గం., ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో మనిషి వేగం 30 కి.మీ./గం. అయితే నిశ్చల నీటిలో మనిషి వేగం ఎంత?

1) 30 కి.మీ./గం.    2)  33 కి.మీ./గం.    3) 35 కి.మీ./గం.    4) 40 కి.మీ./గం.

వివరణ: నిశ్చల నీటిలో మనిషి వేగం = 1/2 (40+ 30) =1/2 (70)

                                                        = 35 కి.మీ./గం.

జ: 3

డి)    ప్రవాహ దిశలో మనిషి వేగం 50 కి.మీ./గం., ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో 40 కి.మీ./గం. అయితే ప్రవాహ వేగం ఎంత?

1) 5 కి.మీ./గం.     2) 10 కి.మీ./గం.   3) 9 కి.మీ./గం.    4)  8 కి.మీ./గం.

వివరణ: ప్రవాహ వేగం = 1/2 (50 - 40)

                                     = 1/2  (10) = 5 కి.మీ./గం.    

  జ: 1

2.    4 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రవహించే నదిలో ఒక మనిషి 8 కి.మీ./గం. వేగంతో A అనే స్థానం నుంచి బయలుదేరి B స్థానాన్ని చేరుకున్నాడు. మళ్లీ B నుంచి బయలుదేరి ప్రారంభ స్థానానికి చేరుకుంటే, మొత్తం ప్రయాణంలో అతడి సగటు వేగం ఎంత?

1) 3 కి.మీ./గం.   2) 4 కి.మీ./గం.     3) 2 కి.మీ./గం.     4)  6 కి.మీ./గం.

వివరణ: ప్రవాహ వేగం = 4+ 8 = 12 కి.మీ./గం.

ప్రవాహ వ్యతిరేక వేగం = 8 - 4 = 4 కి.మీ./గం.

A నుంచి B వరకు ఉన్న దూరం x అనుకుంటే

అతడు ప్రయాణం చేసిన మొత్తం దూరం = 2x 

 జ: 4

3.     2.4 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రవహిస్తున్న ఒక నదిలో 12 కి.మీ./గం. వేగంతో ఒక మనిషి ప్రయాణిస్తున్నాడు.  అతడు ఒక ప్రదేశానికి వెళ్లి, తిరిగి రావడానికి ఒక గంట సమయం తీసుకుంటే అతడు ప్రయాణించిన దూరం ఎంత?

1)  6.76 కి.మీ.      2) 5.76 కి.మీ.     3) 4.76 కి.మీ.      4) 1.76 కి.మీ.

వివరణ: ప్రవాహ దిశలో మనిషి వేగం = (12 + 2.4) కి.మీ./గం.

                                                           = 14.4 కి.మీ./గం.

వ్యతిరేక దిశలో మనిషి వేగం = (12 + 2.4)  కి.మీ./గం. 

                                             = 9.6 కి.మీ./గం.

అతడు ప్రయాణించిన దూరం = x కి.మీ.

 9.6x + 14.4x =- 14.4 × 9.6 ⇒ 24x =138.24 

జ: 2

 

4.    ప్రవాహ వేగంతో మనిషి వేగం 24 కి.మీ./గం.; ప్రవాహ వేగం 3 కి.మీ./గం. అయితే ప్రవాహానికి వ్యతిరేకంగా మనిషి వేగం ఎంత?

1)  55 కి.మీ.    2) 33 కి.మీ.    3) 32.5 కి.మీ.    4) 18 కి.మీ.

వివరణ: ప్రవాహ వేగంతో మనిషి వేగం = 24 కి.మీ./గం. 

మనిషి వేగం = 24 - 3 = 21 కి.మీ./గం.

ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో మనిషి వేగం = 21 - 3 = 18 కి.మీ./గం.

జ: 4

5.    ఒక వ్యక్తి పడవను నడుపుతూ కొంత దూరం ప్రయాణించాడు. అతడు ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణించడానికి పట్టిన సమయం, ప్రవాహ దిశలో ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయంలో సగానికి సమానం. అయితే నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం, నీటి వేగాల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.

1) 2 : 1       2) 5 : 1     3) 7 : 1      4) 3 : 1

వివరణ: పడవ వేగం = x,  నీటి వేగం = yఅనుకుంటే

    ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం =  x + y 

  ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో పడవ వేగం = x − y 

ప్రవాహ దిశలో పడవ ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయం = a

జ: 4

6.    నీటి ప్రవాహం వేగం, పడవ వేగాల నిష్పత్తి 36 : 5. ఆ పడవ నీటి ప్రవాహంతో 5 గంటల పది నిమిషాలు ప్రయాణిస్తే ప్రారంభ స్థానానికి రావడానికి దానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?

1) 5 గం. 50 ని.    2) 6 గంటలు     3) 6 గం. 50 ని.     4) 12 గంటలు 

వివరణ: పడవ వేగం = 36x, ప్రవాహ వేగం =  5x 

ప్రవాహంతో పడవ వేగం =  36x + 5x = 41x 

ప్రవాహానికి వ్యతిరేకంగా పడవ వేగం = 36x − 5x = 31x 

ఆ పడవ ప్రవాహంతో కొంత దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయం 

ప్రవాహ వ్యతిరేక దిశలో అంతే దూరాన్ని ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయం 

 జ: 3

7. ఒక తరగతిలోని విద్యార్థులు కొన్ని వరుసల్లో నిల్చున్నారు. అన్ని వరుసల్లో సమాన సంఖ్యలో విద్యార్థులు ఉన్నారు. ప్రతి వరుసకు ముగ్గురు విద్యార్థులను పెంచితే ఒక వరుస తగ్గుతుంది. ప్రతి వరుసకు ముగ్గురు విద్యార్థులను తగ్గిస్తే రెండు వరుసలు పెరుగుతాయి. ఆ తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత? 

 1) 36       2) 48      3) 25     4) 20 

వివరణ: మొత్తం వరుసల సంఖ్య = x  

ఒక్కో వరుసలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = y 

మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = x × y = xy 

మొదటి నియమం ద్వారా 

xy = (x − 1)(y + 3)

xy = xy + 3x − y − 3 

3x − y = 3 ....... (1) 

రెండో నియమం ద్వారా 

xy = (x + 2)(y − 3)

xy = xy − 3x + 2y − 6 

3x − 2y = −6 ....... (2) 

సమీకరణం (1), (2) లను సాధించగా 

3x − 2y = −6

సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా 

3x − 9 = 3

3x = 12 

x = 4

మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 4 × 9 = 36 

జ: 1

రచయిత: దొర కంచుమర్తి