ముఖ్యాంశాలు
ఎదురెదురు భుజాలు సమాంతరంగా ఉన్న చతుర్భుజాన్ని సమాంతర చతుర్భుజం(parallelogram అంటారు.
పై పటం ABCD లో AB, DC , లు సమాంతర భుజాలు, BC, AD లు సమాంతర భుజాలు. కాబట్టి ABCD పటం సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో,
i) AB = DC, BC = AD అంటే ఎదురెదురు భుజాలు సమానం.
ii) ఆసన్న కోణాల మొత్తం 180ా
∠A + ∠B = 180°
∠B + ∠C = 180°
∠C + ∠D = 180°
∠D + ∠A = 180°
iii)ఎదురెదురు కోణాలు సమానం.
∠A = ∠C
∠B = ∠D
iv) కర్ణాలు (AC, BD) పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం
= భూమి xసమాంతర భుజాల మధ్య లంబదూరం చ.యూ.
= b × h చ.యూ
1. ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ∠A = 120° అయితే ∠B, ∠C, ∠D విలువలు వరుసగా...
1) 120°, 60°, 60° 2) 60°, 120°, 60° 3) 60°, 120°, 120° -4) 60°, 60°, 120°
సాధన: ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో∠A = ∠C (ఎదురెదురు కోణాలు)
∠C = 120°
∠A + ∠B = 180° (A, B ఆసన్నకోణాలు)
120° + ∠B = 180°
∠B = 180° − 120° = 60°
∠B = ∠D (ఎదురెదురు కోణాలు సమానం)
∠D = 60°
∠B = 60°, ∠C = 120°, ∠D =
సమాధానం: 2
2. ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో AB=12 BC= 9 సెం.మీ. అయితే ఆ సమాంతర చతుర్భుజ చుట్టుకొలత ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 21 2) 36 3) 42 4) 48
సాధన: ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.
AB = DC
DC = 12సెం.మీ.
BC = AD
AD = 9సెం.మీ.
ABCDచుట్టుకొలత
= AB + BC + CD + DA
= 12 + 9 + 12 + 9
= 42 సెం.మీ.
సమాధానం:3
3. ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్నకోణాలు 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అయితే ఆ కోణాలు వరుసగా....
1) 72°, 118° 2) 96°, 64° 3) 98°, 64° 4) 108°, 72°
సాధన: ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న కోణాల నిష్పత్తి = 3 : 2.
ఆ ఆసన్న కోణాలు వరుసగా 3x:2x అనుకోండి.
3x + 2x = 180° 5x = 180° 180° x = 180° /5 = 36°
3x = 3 × 36° = 108°
2x = 2 × 36° = 72°
ఆ ఆసన్న కోణాలు = 108, 72
సమాధానం:4
4. PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న కోణాలు సమానం. అయితే ఆ చతుర్భుజాన్ని ఏమంటారు?
1) సమచతుర్భుజం 2) చతురస్రం 3) దీర్ఘచతురస్రం 4) సమలంబ చతుర్భుజం
సాధన: PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న కోణాలు సమానం
∠P = ∠Q, ∠Q = ∠R,
∠R = ∠S, ∠S = ∠P
∠P + ∠Q = 180°
∠P + ∠P = 180°
2∠P = 180°
∠P = 90°
∠P = 90° ∠Q = 90°,
∠R = 90°, ∠S = 90
సమాధానం:3
5. PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలుPR, QS ల ఖండన బిందువు ‘O’-. OR = 4 సెం.మీ. SQ, PR కంటే 5 సెం.మీ. ఎక్కువ అయితే OS ఎంత?
1) 4.5 సెం.మీ. 2) 5.5 సెం.మీ. 3) 6 సెం.మీ. 4) 6.5 సెం.మీ.
OR= 4 అయితే, OP = 4
⇒ PR = 8 సెం.మీ.
SQ = PR + 5
= 8 + 5 = 13 సెం.మీ.
∴ SQ = 13 సెం.మీ.
OS = 1/2 x SQ = 1/2x13
= 6.5 సెం.మీ
సమాధానం: 4
పటంలో MNOP ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. అయితే x, y విలువలు వరుసగా..... (సెం.మీ.లలో)
1) 6, 9 2) 6, 8 3) 5, 8 4) 5, 9
సాధన: MNOP ఒక సమాంతర చతుర్భుజం
MN = 3y -1, NO = 18 సెం.మీ.,
PO = 26 సెం.మీ. MP= 3x
సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానం కాబట్టి,
MN = PO, MP = NO
3y − 1 = 26 3x = 18
3y = 27 x =18/3
y = 9సెం.మీ. = 6 సెం.మీ.
x = 6 సెం.మీ y = 9 సెం.మీ
సమాధానం: 1
పటంలోABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అయితేX,Y,Z,విలువలు వరుసగా...
1) 28°, 104°, 28° 2) 28°, 112°, 28° 3) 25°, 108°, 25° 4) 28°, 102°, 25°
సాధన: ABCDఒక సమాంతర చతుర్భుజం
∠A + ∠B = 180° (ఆసన్నకోణాలు)
40° + z + 112° = 180°
z = 180° − 152° = 28°
∴ z = 28
∠B = ∠D
112° = y
y = 112°
∆ACDలో40° + x + y = 180°
40° + x + 112° = 180°
x = 180° − 152° = 28°
x = 28°, y = 112°, z = 28°
సమాధానం:2
పైపటం RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అయితే x విలువ ఎంత?
1) 100° 2) 40° 3) 60° 4) 80°
సాధన:RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం
∠U, x లు సదృశ్యకోణాలు అవుతాయి (∴ RU // SN)
∠U = x ⇒ 80° = x
∴ x = 80°
సమాధానం:4
పటం RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. కర్ణాలు RN, US ల ఖండన బిందువు O. OR = 16, ON = x + y,OS = 20, OU = y + 7. అయితే x, y విలువలు వరుసగా ......
1) 13 యూనిట్లు, 3 యూనిట్లు 2) 3 యూనిట్లు, 13 యూనిట్లు 3) 14 యూనిట్లు, 2 యూనిట్లు 4) 14 యూనిట్లు, 13 యూనిట్లు
సాధన:RUNS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం
సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. కాబట్టి,
OU = OS
⇒ Y + 7 = 20
⇒ y = 20 − 7
y = 13
= 13 యూ
ON = OR
⇒ x + y = 16
⇒ x + 13 = 16
⇒ x = 16 − 3 = 3యూ
సమాధానం:4
