కనిష్ఠ గుణిజం.. కచ్చితమైన భాజ్యం!
ఉత్సవాల సందర్భంగా లైట్లతో అలంకరణలు చేస్తుంటారు. అవి వెలుగుతూ, ఆరిపోతూ ఉంటాయి. అవన్నీ ఒకేసారి ఎప్పుడు వెలుగుతాయి, మళ్లీ ఒకేసారి ఎప్పుడు ఆరిపోతాయో కసాగు కట్టి చెప్పేయవచ్చు. ఇలా నిత్య జీవితంలోనూ, ఇతర శాస్త్రాల్లోనూ ఈ గణిత ప్రక్రియ ఎంతగానో ఉపయోగపడుతుంది. కసాగు చేసినప్పుడు వచ్చే ఫలితం గుణిజం (మల్టిపుల్‌) గా చిన్నదైనా... కచ్చితమైన భాజ్యం (డివిడెండ్‌) అవుతుంది. దీన్ని నేర్చుకుంటే పరీక్షల్లో లెక్కలు వేగంగా చేయవచ్చు.
రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల కారణాంకాల్లో మిక్కిలి చిన్నదాన్ని క.సా.గు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం) అంటారు.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. 
ల కసాగు ఎంత?
జవాబు: 1
సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం లవాల కసాగు
లవాల కసాగు = 2 x 2 x 5 = 20
హారాల గసాభా = 3 (3, 6, 9 ల ఉమ్మ‌డి కారణాంకం 3 కాబట్టి గసాభా 3)
∴ కసాగు = 
2. 25, 30, 45లతో భాగించబడే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
1) 5 2) 450 3) 900 4) 2250
జవాబు: 2
సాధన: కసాగును లెక్కించేటప్పుడు ప్రధాన సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తే కచ్చితమైన జవాబు వస్తుంది.
దత్తాంశం ప్రకారం
కసాగు = 5 x 3 x 5 x 2 x 3 = 450
3. 12, 15, 20, 25లతో భాగించబడుతూ ప్రతిదానిలో 7 శేషంగా వచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
1) 300 2) 293 3) 307 4) 600
జవాబు: 3
సాధన: ప్రశ్నలో కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే కసాగు చేయాలి.
కసాగు = 5 x 3 x 2 x 2 x 5 = 300
ప్రతిదానిలో శేషం 7 అంటే కసాగుకు 7 కలపాలి
అప్పుడు మనకు కావాల్సిన సంఖ్య = 300 + 7 = 307
4. కిందివాటిలో 4, 5, 8, 9లతో భాగించబడుతూ వరుసగా 3, 4, 7, 8 శేషాలు ఇచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
1) 119 2) 319 3) 359 4) 719
జవాబు: 3
సాధన: లెక్కలో కనిష్ఠ సంఖ్య అని ఉంది కాబట్టి కసాగు చేయాలి.
కసాగు = 2 x 2 3 x 5 x 2 x 3 = 360
కావాల్సిన సంఖ్య = 360 - 1 = 359
5. కింది ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యకు 5 కలిపితే 4, 5, 6, 7లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది?
1) 415 2) 425 3) 420 4) 845
జవాబు: 1
సాధన: కనిష్ఠ అంటే కసాగు చేయాలి
కసాగు = 2 x 2 x 5 x 3 x 7 = 420
కావాల్సిన సంఖ్య = 420 - 5 = 415
కలపాలన్నా లేదా పెంచాలన్నా తీసివేత (-) చేయాలి.
6. కింది ఏ కనిష్ఠ సంఖ్య నుంచి 7 తీసివేస్తే 12, 16, 18, 21, 28లు కారణాంకాలు అవుతాయి?
1) 1008 2) 1015 3) 1022 4) 1032
జవాబు: 2
సాధన: ప్రశ్నలో కనిష్ఠ సంఖ్య అని ఉంది కాబట్టి ముందుగా కసాగు చేయాలి.
కసాగు = 2 x 2 x 3 x 7 x 4 x 3 = 1008
తీసివేయాలన్నా లేదా తగ్గించాలన్నా సంకలనం (+) చేయాలి
కాబట్టి కావాల్సిన సంఖ్య = 1008 + 7 = 1015
7. కింది సంఖ్యల్లో కచ్చితమైన వర్గం అవుతూ 16, 20, 24లలో ప్రతిదీ కారణాంకం అయ్యే కనిష్ఠ సంఖ్య?
1) 1600 2) 3600 3) 6400 4) 14400
జవాబు: 2
సాధన: కనిష్ఠ అంటే కసాగు చేయాలి.
కసాగు = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 3 = 240
కనిష్ఠ వర్గం అంటే కసాగు తర్వాత జతలు లేని గుణిజాలను కసాగుకు గుణించాలి.
అప్పుడు కావాల్సిన సంఖ్య = 240 x 5 x 3 = 3600
8. కింది ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను రెట్టింపు చేస్తే 12, 18, 21, 30లతో కచ్చితంగా భాగించబడుతుంది?
1) 196 2) 630 3) 1260 4) 2520
జవాబు: 2
సాధన: కనిష్ఠ అంటే కసాగు చేయాలి.
కసాగు = 2 x 3 x 2 x 3 x 7 x 5 = 1260
రెట్టింపు అంటే వచ్చిన కసాగును 2తో భాగించాలి.
కావాల్సిన సంఖ్య =
= 630
9. మూడు విభిన్న రోడ్ల కూడళ్లలో ట్రాఫిక్‌ లైట్లు ప్రతి 48 సెకన్లు, 72 సెకన్లు, 108 సెకన్లకు వరుసగా మారుతూ ఉంటాయి. 8:20:00 గంటలకు అవన్నీ ఒకేసారి మారితే, మళ్లీ అవి ఏ సమయానికి ఒకేసారి మారుతాయి?
1) 8 గంటల 27 నిమిషాల 12 సెకన్లు
2) 8 గంటల 46 నిమిషాల 12 సెకన్లు
3) 8 గంటల 23 నిమిషాల 10 సెకన్లు
4) 8 గంటల 42 నిమిషాల 10 సెకన్లు
జవాబు: 1
సాధన: ముందుగా కసాగు చేయాలి.
కసాగు = 2 x 2 x 3 x 3 x 2 x 2 x 3 = 432 సెకన్లు
432 సెకన్లను నిమిషాల్లోకి మారిస్తే 7 నిమిషాల 12 సెకన్లు అవుతుంది. అంటే ప్రతి 7 నిమిషాల 12 సెకన్లకు అన్ని లైట్లు ఒకేసారి మారుతాయి. తర్వాత లైట్లు ఒకేసారి మారే సమయం 8 గంటల 27 నిమిషాల 12 సెకన్లు.
10. రెండు సంఖ్యల కసాగు 48, సంఖ్యల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం?
1) 28 2) 32 3) 40 4) 64
జవాబు: 3
సాధన: ముందుగా ఇచ్చిన నిష్పత్తి కసాగు కనుక్కోవాలి
2, 3ల కసాగు 6 అవుతుంది.
ప్రశ్నలో ఇచ్చిన కసాగు 48 ని మనకు వచ్చిన కసాగు 6తో భాగించాలి. అప్పుడు 
= 8
కావాల్సిన సంఖ్యలు:
మొదటి సంఖ్య = 2 x 8 = 16
రెండో సంఖ్య = 3 x 8 = 24
∴ సంఖ్యల మొత్తం 16 + 24 = 40 అవుతుంది.
11. A, B, C అనే ముగ్గురు వ్యక్తులు ఒక వృత్తాకార బాట చుట్టూ తిరిగిరావడానికి వరుసగా 30, 45, 60 సెకన్లు పడుతుంది. వారందరూ P బిందువు నుంచి ఒకే సమయం, ఒకే మార్గంలో బయలుదేరారు. మళ్లీ ఆ ముగ్గురూ P బిందువు వద్ద కలవాలంటే ఒక్కొక్కరు ఎన్నిసార్లు వృత్తాకార బాటను చుట్టిరావాలి?
కిందివాటిని జతపరచండి.
జవాబు: 2
సాధన: ముందుగా 30, 45, 60 ల కసాగు చేయాలి.
కసాగు = 5 x 3 x 2 x 3 x 2 = 180
A, B, C లు కావాలి అంటే కసాగును వారి కాలాలతో భాగించాలి.
రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి
మరిన్ని అంశాలు ... మీ కోసం!
‣ ఆల్ఫా న్యూమరిక్‌ సీక్వెన్స్‌ పజిల్‌
