వర్గాలు, వర్గమూలాలు

లబ్ధం వర్గం.. సంఖ్య మూలం!

  ఒక వ్యక్తి తాను అమ్మకానికి పెట్టిన ప్లాట్‌ 400 గజాలు అని చెప్పాడు. అప్పుడు ఆ స్థలం వైశాల్యాన్ని ఎంత ఉందో ఊహించుకోవడం కొద్దిగా కష్టం కావచ్చు. కానీ అదే 20 అడుగులు పొడవు, 20 అడుగులు వెడల్పు అంటే ఒక అంచనాకు రావచ్చు. దాన్నే గణితంలోకి మారిస్తే 20 వర్గం 400 కాగా, 400 వర్గమూలం 20 అవుతుంది.

* ఏదైనా ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గం అంటారు. ఆ సంఖ్యను వచ్చిన లబ్ధానికి వర్గమూలం అంటారు.

ఉదా: 3 x 3 = 9 (3 యొక్క వర్గం 9)

దీన్నే 3² = 9 అని రాస్తారు

* ఏ సంఖ్యనైనా రెండు సమాన రాశుల లబ్ధంగా రాయగలిగితే ఆ సంఖ్యకు ఆ కారణరాశులే వర్గమూలం అవుతాయి. ఈ విధంగా సమాన కారణాంకాల లబ్ధంగా విడిదీయగలిగే సంఖ్యను సంపూర్ణ వర్గం అంటారు.

i) 9 యొక్క వర్గమూలం అనడానికి 3 = అని రాస్తాం 

ii) 9 యొక్క వర్గమూలం 3

* ఒక సంఖ్యలో - అంకెలు ఉన్నప్పుడు వర్గంలో 2n  1 లేదా 2n అంకెలు ఉంటాయి. ఒక కచ్చిత వర్గ సంఖ్యలో - అంకెలు ఉంటే వర్గమూలంలో 

i) n సరిసంఖ్య అయితే  అంకెలు ఉంటాయి.

ii) n బేసిసంఖ్య అయితే 

 అంకెలు ఉంటాయి.

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1.

1) 5    2) 3    3) 2      4) 4

జవాబు: 2

సాధన:

2.

1) 20.22     2) 20.198  3) 20.188  4) 20.022

జవాబు: 2

సాధన: 

3.

1) 4   2) 1   3) 2   4) 3

జవాబు: 1

సాధన: 

సాధన: 1570 ఒకట్ల స్థానంలో 0 = (0)² = 0

1571 ఒకట్ల స్థానంలో 1 = (1)² = 1

1572 ఒకట్ల స్థానంలో 2 = (2)² = 4

1573 ఒకట్ల స్థానంలో 3 = (3)² = 9

అప్పుడు 0 + 1 + 4 + 9 = 14

ఒకట్ల స్థానంలో 4 ఉంటుంది.

4.  

1) 2    2) 3    3) 4    4) 5

జవాబు: 2

సాధన:

5. 120, 300 మధ్య ఎన్ని సంపూర్ణ వర్గాలు ఉంటాయి?

1) 5     2) 6    3) 7    4) 8

జవాబు: 3 

సాధన: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289

120, 300 మధ్య 7 సంపూర్ణ వర్గాలు ఉంటాయి.

6. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 20, వాటి మధ్య తేడా 8. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల వర్గాల మధ్య తేడా ఎంత?

1) 12   2) 28   3) 80   4) 160

జవాబు: 4

సాధన: దత్తాంశం ప్రకారం ఆ సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం 

7. ఒక తరగతిలో బాలురు, బాలికలు ఉన్నారు. బాలురు, బాలికల వర్గాల మధ్య తేడా 28. బాలుర కంటే బాలికలు ఇద్దరు ఎక్కువ. అయితే ఆ తరగతిలో ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు?

1) 56    2) 14    3) 10   4) 7

జవాబు: 2

సాధన: బాలురు x, బాలికలు y అనుకుందాం 

దత్తాంశం ప్రకారం x² - y² = 28.....(1)

                             x = y + 2

                            x - y = 2........(2)

8. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 24, వాటి లబ్ధం 143. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం ఎంత?

1) 296   2) 286   3) 290   4) 228

జవాబు: 3

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం 

9. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 45, వాటి మధ్య తేడా 4. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం ఎంత?

1) 135    2) 240    3) 73   4) 106

జవాబు: 4

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం 

దత్తాంశం ప్రకారం xy = 45, x - y = 4

10. 

1) 2   2) 3    3) 4   4) 6

జవాబు: 2

సాధన:

11. 

కు సమాన విలువ ఎంత?

1) 352   2) 523   3) 253  4) 532

జవాబు: 3

సాధన:

12. 2203 కు ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపితే అది సంపూర్ణ వర్గం అవుతుంది?

1) 8   2) 6   3) 3  4) 1

జవాబు: 2

సాధన:

రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి