సంఖ్యా వ్య‌వ‌స్థ‌

*  x² = y అయితే √y = x అవుతుంది. అంటే
x వర్గం y అయితే y వర్గమూలం x అవుతుంది.
* n అనేది ఒక సహజ సంఖ్య అయితే n² పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య (కచ్చిత వర్గసంఖ్య) అవుతుంది. పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్యలకు ఉదాహరణ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...
గమనిక: 1.4² = 1.96, 14² = 196 లలో 1.96 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు  (Not a perfect square number).  196 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య  (Perfect square number). 
* మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కచ్చిత వర్గసంఖ్య అవుతుంది.
1 + 3 + 5 + 7 + ...... (n సంఖ్యలు) = n²

మాదిరి సమస్యలు
1. కిందివాటిలో పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కానిది ఏది?
1) 144       2) 169         3) 324            4) 0.25 
సాధన: 144 = 12², 12 సహజ సంఖ్య కాబట్టి 144 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య అవుతుంది.
169 = 13², 13 సహజ సంఖ్య కాబట్టి 169 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది.
324 = 18², 18 సహజ సంఖ్య కాబట్టి 324 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది
0.25 = 0.5², 0.5 సహజ సంఖ్య కాదు. కాబట్టి 0.25 పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.    
సమాధానం: 4

2. మొదటి 25 బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
1) 576         2) 625         3) 676          4) 500 
సాధన: 1 + 3 + 5 + 7 + .....+ (n సంఖ్యలు) = n²
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (25 సంఖ్యలు) = 25²
                         = 25 x 25 = 625     
సమాధానం: 2

గమనిక: ఒక అంకె సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య = 1 (1²)
రెండంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 16 (4²)
మూడంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 100 (10²)
నాలుగంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 1024 (32²)
అయిదంకెల సంఖ్యల్లో అతిచిన్న పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 10,000 (100²)
ఒక అంకె సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య  = 9 (3²)
రెండంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 81(9²)
మూడంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 961 (31²)
నాలుగంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 9801 (99²)
అయిదంకెల సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య = 99856 (316²)
 

3. 12², 13² మధ్య ఉన్న పూర్ణాంకాల సంఖ్య?
1) 24      2) 25            3) 26            4) 27
సాధన: n², (n + 1)² (n ఒక సహజ సంఖ్య్శ మధ్య ఉన్న పూర్ణాంకాల సంఖ్య = 2n
12², 13² మధ్య ఉన్న పూర్ణాంకాల సంఖ్య 
    = 2 x 12 = 24     
సమాధానం: 1
 

4. 92 + 402 = x² అయితే x విలువ ఎంత?
1) 51 2) 49          3) 41         4) 59
సాధన: 9² + 40² = x²
⇒ 81 + 1600 = x²
⇒ 1681 = x² ⇒ x = √1681  
⇒ = √412  = 41
∴ x = 41 
సమాధానం: 3

గమనిక:  a² + b² = c² (a, b, c లు సహజ సంఖ్యలు) అయితే (a, b, c) ని పైథాగరియన్‌ త్రికం అంటారు.
ఉదా: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17) మొదలైనవి.

7. మూడు వరుస పూర్ణాంకాల వర్గాల మొత్తం 434 అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?  
1) 45           2) 42          3) 39            4) 36 
సాధన: మూడు వరుస పూర్ణాంకాలు = x, x + 1, x + 2 అనుకోండి.
x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 434
⇒ x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = 434
⇒ 3x² + 6x + 5 = 434
⇒ 3x² + 6x + 5 - 434 = 0
⇒ 3x² + 6x - 429 = 0
⇒ x² + 2x -143 = 0
⇒ x² + 13x - 11x - 143 = 0
⇒ x(x + 13) - 11(x + 13) = 0
⇒ (x + 13) (x - 11) = 0
⇒ x + 13 = 0 లేదా x - 11 = 0
⇒ x = -13 లేదా x = 11
⇒ x = 11 (x = 13 పూర్ణ సంఖ్య కాదు)
∴ x = 11
x + 1 = 11 + 1 = 12
x + 2 = 11 + 2 = 13 
వరుస పూర్ణాంకాల మొత్తం = x + (x + 1)(x + 2) = 11 + 12 + 13 = 36 
సమాధానం: 4

సమాధానం: 2

 

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1.

2. కిందివాటిని జతపరచండి.
i) 6² + 8² = ?             a) 625
ii) 8² + 15² = ?          b) 169
iii) 7² + 24² = ?         c) 100
iv) 5² + 12² = ?         d) 289
1) i-c, ii-d, iii-a, iv-b         2) i-c, ii-b, iii-a, iv-d
3) i-c, ii-b, iii-a, iv-d         4) i-d, ii-c, iii-b, iv-a 
 

6. కిందివాటిలో పైథాగరియన్‌ త్రికం కానిది ఏది?
1) (3, 4, 5)                2) (10, 12, 13)
3) (10, 24, 26)            4) (9, 12, 15) 
 

7. మూడు వరుస పూర్ణాంకాల మొత్తం 110. అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
1) 15           2) 21         3) 18         4) 24 

8. నాలుగు అంకెల అతి పెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్యకు, మూడంకెల అతి పెద్ద పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్యకు మధ్య భేదమెంత?
1) 8840       2) 8904        3) 8841         4) 8740


సమాధానాలు: 1-4;  2-1; 3-2; 4-3; 5-2; 6-2; 7-3; 8-1.

మాదిరి సమస్యలు

1. 51తో నిశ్శేషంగా భాగించగల 5 అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?

1) 10,037   2)10,047   3) 10,027   4) 10,017

కావాల్సిన సంఖ్య = 10000 + (51 - 4)

                     = 10000 + 47 = 10,047

                                                        సమాధానం: 2

2. 89తో నిశ్శేషంగా భాగించగల 5 అంకెల గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?

1) 99947    2) 99957    3) 99967    4) 99977

కావాల్సిన సంఖ్య = 99999 - 52 = 99947

                                                         సమాధానం: 1

3. 12, 15, 18 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?

1) 120    2) 160    3) 180    4) 240

సాధన: 12, 15, 18 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య = 12, 15, 18 ల క.సా.గు

క.సా.గు = 2 x 3 x 2 x 5 x 3

            = 180

 కావాల్సిన సంఖ్య = 180

                                          సమాధానం: 3

4. 14, 21, 28 లతో ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను భాగిస్తే శేషం 5 వస్తుంది?

1) 89      2) 94      3)  95       4) 98

సాధన: 14, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య = 14, 21, 28 ల క.సా.గు

క.సా.గు = 2 x 7 x 3 x 2 = 84

కావాల్సిన సంఖ్య = క.సా.గు + శేషం

= 84 + 5 = 89     

                                            సమాధానం: 1

5. ఒక పాఠశాలలోని విద్యార్థులను ప్రార్థనా సమయంలో వరుసకు 16 మంది చొప్పున లేదా 20 మంది చొప్పున లేదా 28 మంది చొప్పున నిల్చోబెట్టారు. ప్రతిసారీ చివరి వరుసలో ఇద్దరు విద్యార్థులు తగ్గుతున్నారు. అయితే ఆ పాఠశాలలో ఉండాల్సిన కనీస విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?

1) 548    2) 558    3) 560    4) 562

సాధన: విద్యార్థులను 16, 20, 28 మంది చొప్పున నిల్చోబెట్టడానికి ఉండాల్సిన కనీస విద్యార్థుల సంఖ్య = 16, 20, 28 ల క.సా.గు

క.సా.గు = 2 x 2 x 4 x 5 x 7 = 560

ప్రతిసారీ చివరి వరుసలో తగ్గిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 2

పాఠశాలలో ఉండాల్సిన కనీస విద్యార్థుల సంఖ్య 

= 560 - 2 = 558     

                                          సమాధానం: 2

6. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను 35, 45, 55 లతో భాగిస్తే, శేషాలు వరుసగా 17, 27, 37 వస్తాయి?

1) 3467       2) 3457        3) 3447       4) 3477

సాధన: విభాజకాలకు, శేషాలకు ఉన్న భేదం 

= 35 - 17 = 18; 45 - 27 = 18; 55 - 37 = 18

కావాల్సిన కనిష్ఠ సంఖ్య = 35, 45, 55 ల క.సా.గు. -18

క.సా.గు. = 5 x 7  x 9 x 11 = 3465

కావాల్సిన సంఖ్య = 3465 - 18 = 3447

                                     సమాధానం: 3

7.  3, 5, 7, 9 లతో ఏ నాలుగంకెల గరిష్ఠ సంఖ్యను భాగిస్తే, శేషాలు వరుసగా 1, 3, 5, 7 వస్తాయి?

1) 9763   2) 9764   3) 9765   4) 9766

315 తో నిశ్శేషంగా భాగించగల 4 అంకెల గరిష్ఠ సంఖ్య 

= 9999 - 234

= 9765

3 - 1 = 2, 5 - 3 = 2, 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2

కావాల్సిన సంఖ్య = 9765 - 2 = 9763

                                                    సమాధానం: 1

8. రెండు సంఖ్యలు 3 : 4 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వాటి క.సా.గు. 84 అయితే ఆ సంఖ్యల్లో పెద్ద సంఖ్య ఏది? 

1) 24       2) 28       3) 32       4) 36 

సాధన: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి = 3 : 4 

ఆ సంఖ్యలు వరుసగా 3x, 4x అనుకోండి. 

ఆ సంఖ్యలు, 3x = 3 X 7 = 21

                4x = 4 X 7 = 28 

 ఆ సంఖ్యల్లో పెద్ద సంఖ్య = 28

                                            సమాధానం: 2

 

10. నలుగురు రన్నర్స్‌ వృత్తాకార మార్గంలో ఒక స్థానం నుంచి పరుగెత్తడం ప్రారంభించారు. వారు ఆ వృత్తాకార మార్గాన్ని వరుసగా 200 సె., 300 సె., 360 సె., 450 సె.లలో ఒకసారి చుట్టి రాగలరు. అయితే వారందరూ బయలుదేరిన స్థానానికి ఒకేసారి చేరాలంటే ఎంత సమయం పడుతుంది?

1) 25 ని.        2) 30 ని.          3) 35 ని.         4) 40 ని.

సాధన: నలుగురు రన్నర్స్‌ బయలుదేరిన స్థానం వద్ద ఒకేసారి కలుసుకోవడానికి పట్టే సమయం

= 200 సె., 300 సె., 360 సె., 450 సె.ల క.సా.గు.

 

11. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 45. వాటి భేదం విలువ ఆ సంఖ్యల మొత్తంలో 1/9 వ భాగం ఉంది. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల క.సా.గు. ఎంత?

1) 180    2) 120    3) 100    4) 80

 

12. 26, 74, 98లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషం 2 వస్తుంది?

1) 24        2) 12        3) 18       4) 16

సాధన: కావాల్సిన గరిష్ఠ సంఖ్య =  (26 - 2), (74 - 2), (98 - 2) ల గ.సా.భా

= 24, 72, 96ల గ.సా.భా.

 

13. 988, 1328లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషాలు వరుసగా 4, 8 వస్తాయి?

1) 28        2) 24        3) 32       4) 36

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. 41తో నిశ్శేషంగా భాగితమయ్యే 4 అంకెల గరిష్ఠ సంఖ్య?

జ‌: 9963

2. 29తో నిశ్శేషంగా భాగితమయ్యే 4 అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్య?

జ‌:​​​​​​​ 1015     

3. 210, 315, 147, 168లను నిశ్శేషంగా భాగించే గరిష్ఠ సంఖ్య....

జ‌:​​​​​​​ 21