ఎన్ని రెట్లు.. ఎన్నో వంతు!
జీతం రాగానే దేనికి ఎంత ఖర్చు పెడితే నెల సాఫీగా సాగిపోతుందో లెక్కలు కట్టేస్తారు. క్రికెట్‌ చూస్తూ ఎన్ని ఓవర్లకు ఎన్ని పరుగులు తీస్తే విజయం వరిస్తుందో రన్‌ రేటు గుణించి చెప్పేస్తారు. వంట చేసేటప్పుడు ఏ కూరలో ఏ దినుసులు ఎంత అవసరమో అంత వేసేస్తారు. అయిదు కిలోమీటర్ల దూరంలో ఉన్న ఆఫీసుకి ఎంత వేగంతో వెళితే సమయానికి చేరుకోవచ్చో అర క్షణంలో అంచనా వేస్తారు. ఇవన్నీ నిత్యజీవితంలో చేసే అరిథ్‌మెటిక్‌ నిష్పత్తి లెక్కలే. కాబట్టి, కొన్ని మౌలికాంశాలను తెలుసుకుని కాస్త పదునుపెడితే పరీక్షల్లో మార్కులు తేలిగ్గా సంపాదించుకోవచ్చు.
నిష్పత్తి: ఒకే ప్రమాణాల్లో వ్యక్తపరిచే రాశుల పోలికలను నిష్పత్తి అంటారు. దీన్ని a : b రూపంలో సూచిస్తారు. a ను పూర్వపదం b ను పరపదం అంటారు.
రాశుల నిష్పత్తి: ఒకే ప్రమాణాలు ఉన్న రెండు రాశులను భాగాహారం చేసి పోలిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ఆ రాశుల నిష్పత్తి అంటారు.
నిష్పత్తి అనేది మొదటి రాశికి రెండో రాశి ఎన్ని రెట్లు లేదా ఎన్నో వంతు అనే సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది.
కనిష్ఠ రూపం: నిష్పత్తిలో పదాలకు ఒకటి (1) తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం లేకపోతే ఆ నిష్పత్తిని కనిష్ఠ రూపంలో లేదా సామాన్య రూపంలో ఉందని అంటారు.
ఉదా: * 5 : 7
11 : 15
గమనిక: * నిష్పత్తిలో ఉండే రెండు పదాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ నిష్పత్తిలో ఎలాంటి మార్పు ఉండదు.
* నిష్పత్తిలో ఉండే రెండు పదాలకు ఒకే సంఖ్యను కలపడం లేదా తీసివేయడం వల్ల ఆ నిష్పత్తిలో మార్పు వస్తుంది.
నిష్పత్తులు - రకాలు: a : b అనేది ఒక నిష్పత్తి అయితే
వర్గ నిష్పత్తి 
వర్గమూల నిష్పత్తి 
ఘన నిష్పత్తి 
ఘనమూల నిష్పత్తి 
విలోమ నిష్పత్తి
* a : b అనేది ఒక నిష్పత్తి అయితే
లేదా b : a ని విలోమ నిష్పత్తి అంటారు.
* a : b : c అనేది ఒక నిష్పత్తి అయితే 
లేదా bc : ca : ab ని విలోమ నిష్పత్తి అంటారు.
బహుళ నిష్పత్తి: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నిష్పత్తుల్లో పూర్వపదాల లబ్ధానికి, పరపదాల లబ్ధానికి ఉండే నిష్పత్తిని బహుళ నిష్పత్తి లేదా మిశ్రమ నిష్పత్తి లేదా సంకీర్ణ నిష్పత్తి అంటారు.
* a : b, c : d ల బహుళ నిష్పత్తి ac : bd
* a : b, c : d, e : f ల బహుళ నిష్పత్తి ace : bdf
దివ్య నిష్పత్తి (గోల్డెన్‌ రేషియో)
ఈ నిష్పత్తిని ఉపయోగించి పూర్వకాలంలో అద్భుతమైన కట్టడాలను నిర్మించారు.
* దివ్య నిష్పత్తి = 1 : 1.615
ఉదా: తాజ్‌మహల్, పార్దెరాన్‌ లాంటి చరిత్రాత్మక కట్టడాలను ఈ నిష్పత్తిని ఉపయోగించే నిర్మించారు.
* మానవ శరీరంలో కూడా దివ్య నిష్పత్తి ఒక భాగమై ఉంది.
ఉదా: బీ చేతి వేళ్ల చివరి నుంచి మోచేతి వరకు ఉండే దూరం : మణికట్టు నుంచి మోచేతి వరకు ఉండే దూరం
* నాభి నుంచి మోకాళ్ల వరకు ఉండే దూరం : మోకాళ్ల నుంచి పాదాల వరకు ఉండే దూరం
* భుజ రేఖ పొడవు : తల పొడవు
నిష్పత్తి ధర్మాలు
* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు ఉండవు.
* రెండు రాశుల నిష్పత్తిని కనుక్కోవడానికి ఆ రెండు రాశులను ఒకే ప్రమాణాల్లోకి మార్చాలి.
* నిష్పత్తిలో పూర్వ, పర పదాలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలైతే ఈ నిష్పత్తి కనిష్ఠ పదాల్లో ఉందని లేదా సూక్ష్మరూపంలో ఉందని అంటారు.
* నిష్పత్తిలో పదాలను ఎల్లప్పుడూ పూర్ణాంకాలుగా సూచించాలి.
* రెండు నిష్పత్తులను పోల్చాల్సి వచ్చినప్పుడు పూర్వ లేదా పర పదాలను సమానం చేసుకోవాలి. దీన్నే తుల్య నిష్పత్తి అంటారు.
* నిష్పత్తిని భిన్న రూపంలో కూడా రాయవచ్చు. కాబట్టి భిన్నాలకు వర్తించే ధర్మాలన్నీ నిష్పత్తులకు కూడా వర్తిస్తాయి.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. A : B = 2 : 3, B : C = 6 : 7 అయితే A : B : C విలువను కనుక్కోండి.
1) 7 : 6 : 4 2) 4 : 6 : 7 3) 7 : 4 : 6 4) 6 : 4 : 7
వివరణ:
కనిష్ఠ రూపంలో రాయగా 4 : 6 : 7
జ: 2
2. కొంత సొమ్మును A, B, C లకు 3 : 4 : 5 నిష్పత్తిలో పంచినప్పుడు ది కు తి కంటే రూ.1000 ఎక్కువ వస్తే, తీ వాటా ఎంత?
1) రూ.2000 2) రూ.1000
3) రూ.2500 4) రూ.1500
వివరణ: A : B : C
3 : 4 : 5
C కు A కంటే రూ.1000 కంటే ఎక్కువ వచ్చాయి.
అయితే C, A మధ్య భేదం 5x - 3x = 2x
2x = 1000
x = 500
B వాటా = 4X
= 4 x 500
= రూ.2000
జ: 1
3. A, B, C లు రూ.675 పంచుకోగా ప్రతి ఒక్కరూ రూ.5 తక్కువగా పొందినప్పుడు వారి వాటా 1 : 2 : 3 నిష్పత్తిలో ఉంది. అయితే తీ పొందిన మొత్తం ఎంత?
1) రూ.400 2) రూ.225 3) రూ.206 4) రూ.220
వివరణ: A, B, C లు రూ.675 ను పంచుకోగా ప్రతి ఒక్కరూ రూ.5 తక్కువ పొందినప్పుడు ముగ్గురూ కలిసి రూ.15 తక్కువగా పంచుకున్నారు. అప్పుడు వారి నిష్పత్తి 1 : 2 : 3
మొత్తం 6 భాగాలు ........... రూ.660 కు సమానం
జ: 4
4. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 12 : 13. ఒక్కో సంఖ్యను 2 పెంచితే అప్పుడు ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 13 : 14. అయితే మొదటి సంఖ్య ఎంత?
1) 24 2) 36 3) 48 4) 37
వివరణ: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 12 : 13
ఆ సంఖ్యలు 12x, 13x
ఒక్కో సంఖ్యను 2 పెంచితే అప్పుడు వాటి నిష్పత్తి 13 : 14
కావాల్సిన సంఖ్యలు 12x, 13x
మొదటి సంఖ్య 24
సంక్షిప్త పద్ధతి: 
భేదం 1 
2 కు సమానం
మొదటి సంఖ్య = 12 x 2 = 24
జ: 1
5. ఒక గ్రూపులో 48 మంది సభ్యులు ఉన్నారు. వారిలో పురుషులు, స్త్రీల నిష్పత్తి 3 : 1. అయితే ఆ గ్రూప్‌నకు ఎంత మంది స్త్రీలను చేరిస్తే వారి నిష్పత్తి 9 : 5 అవుతుంది?
1) 4 2) 6 3) 8 4) 10
వివరణ: గ్రూపులో మొత్తం సభ్యులు 48
వారి నిష్పత్తి = 3 : 1 x 3
= 9 : 5 x 1
12 భాగాలు = 48 కి సమానం
1 భాగం = 4
2 భాగాలు = 8
పై వివరణ ప్రకారం పురుషుల్లో ఎలాంటి మార్పు లేదు స్త్రీలలో మాత్రమే పెరుగుదల ఉంది. కాబట్టి పురుషుల నిష్పత్తిలో ఎలాంటి మార్పు/పెరుగుదల లేదని నిరూపితమైంది.
జ: 3
6. A, B ల రాబడుల నిష్పత్తి 5 : 3; A, B, C ల ఖర్చుల నిష్పత్తి 8 : 5 : 2. C అనే వ్యక్తి రూ.2000 ఖర్చుపెడితే, B అనే వ్యక్తి రూ.700 పొదుపు చేస్తే A పొదుపు ఎంత?
1) రూ.800 2) రూ.1500 3) రూ.5600 4) రూ.9000
వివరణ: A : B : C
ఆదాయం/రాబడి 5 : 3
ఖర్చులు 8 : 5 : 2
C అనే వ్యక్తి ఖర్చు 2x = 2000
x = 1000
B అనే వ్యక్తి ఖర్చు 5x = 5000
B పొదుపు చేసిన మొత్తం = 700
B రాబడి లేదా ఆదాయం = రూ.5,700
ఇచ్చిన నిష్పత్తి ప్రకారం తీ రాబడి 3్వ = 5700
y = 1900
A రాబడి 5y = 5(1900)
= 9500
A ఖర్చు 8x = 8000
A పొదుపు = రూ.1500
జ: 2
7. X, Y, Z అనే ముగ్గురు వ్యక్తులు కొంత సొమ్మును 2 : 3 : 4 నిష్పత్తిలో పంచుకున్నారు. కానీ ఆ ముగ్గురు తప్పుగా పంచుకుంటే వారి నిష్పత్తి 7 : 2 : 5. దీని ప్రభావం వల్ల Y కి రూ.40 తక్కువగా వస్తే వారు పంచుకున్న మొత్తం ఎంత?
1) రూ.210 2) రూ.270 3) రూ.230 4) రూ.280
వివరణ: X, Y, Z లు సొమ్మును సరిగ్గా పంచుకుంటే వారి నిష్పత్తి 2 : 3 : 4 ......9
తప్పుగా పంచుకుంటే వారి నిష్పత్తి 7 : 2 : 5 .........14
దీని ప్రభావం వల్ల Y రూ.40 తక్కువగా పొందితే
దీని అర్థం 21 భాగాలకు గానూ Y అనే వ్యక్తి 4 భాగాలు తక్కువగా పొందితే
వారు పంచుకున్న మొత్తం రూ.210
జ: 1
8. ఒక కళాశాలలో గణితం, భౌతికశాస్త్రం, జీవశాస్త్రం చదువుతున్న విద్యార్థుల నిష్పత్తి 2 : 3 : 5. గణితం, భౌతికశాస్త్రం, జీవశాస్త్రం విద్యార్థుల సంఖ్యను వరుసగా 15%, 20%, 25% పెంచితే విద్యార్థుల నూతన నిష్పత్తి ఎంత?
1) 6 : 12 : 25 2) 10 : 12 : 15
3) 46 : 72 : 125 4) 3 : 4 : 5
వివరణ: గణితం, భౌతికశాస్త్రం, జీవశాస్త్రం చదువుతున్న విద్యార్థుల నిష్పత్తి 2 : 3 : 5
విద్యార్థుల సంఖ్యను వరుసగా 15%, 20%, 25% పెంచినప్పుడు ఆ విద్యార్థుల నూతన నిష్పత్తి
జ: 3
రచయిత: దొర కంచుమర్తి
