వర్గ సమీకరణాలు

సాధన విలువలే మూలాలు!
 

రాకెట్‌ను ప్రయోగించినప్పుడు అది రకరకాల విన్యాసాలు చేస్తూ చివరకు లక్ష్యాన్ని చేరుకుంటుంది. బంతిని విసిరినప్పుడు అది కొంత దూరం పైకి వెళ్లి కిందకు పడిపోతుంది. రాకెట్‌ లేదా బంతి ప్రయాణ మార్గాలను గమనిస్తే ఒక వక్రం ఏర్పడుతుంది. అలాంటి వక్రాలను అర్థం చేసుకోవాలంటే గణితంలోని వర్గ సమీకరణాలు తెలియాలి.  చతుర్భుజ సమీకరణాల ఆధారంగా వర్గ సమీకరణాలను రూపొందించి వక్రాల సంబంధిత సమస్యలను పరిష్కరిస్తారు. గణితంతోపాటు, ఫిజిక్స్, ఇంజినీరింగ్, ఎకనామిక్స్, కంప్యూటర్‌ సైన్స్‌ తదితర రంగాల్లో వీటి అవసరం ఉంటుంది.  వర్గ సమీకరణాల ప్రాథమిక అంశాలపై పోటీ పరీక్షార్థులు అవగాహన పెంచుకోవాలి. సమీకరణ సాధన విలువలైన మూలాలు, సాధనల గురించి అర్థం చేసుకోవాలి. 

వర్గ సమీకరణం: 

a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలై  అయినప్పుడు ax² + bx + c = 0 రూపంలో ఉన్న సమీకరణాన్ని చలరాశి X లలో వర్గ సమీకరణం అంటారు. 

* సమీకరణం సాధన విలువలను ‘మూలాలు’ లేదా ‘సాధనలు’ అంటారు.

* వర్గ సమీకరణం సున్నాలే దాని మూలాలు అవుతాయి.

*  వర్గ సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి. (పరిమాణం ఆధారంగా నిర్ణయిస్తారు.)

*  ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాలు 

* b² - 4ac ని ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క ‘విచక్షణి’ అంటారు. దీన్ని  గుర్తుతో సూచిస్తారు.

= b² - 4ac

వర్గ సమీకరణ మూలాల స్వభావం:

నియమం (1): a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలైతే

i)  = 0 అయితే మూలాలు వాస్తవాలు, సమానాలు.

ii)   > 0 అయితే మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.

iii)   <  0 అయితే మూలాలు వాస్తవేతర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు. 

నియమం (2): a, b, c లు అకరణీయ సంఖ్యలైతే

i)  = 0 అయితే  మూలాలు అకరణీయ సంఖ్యలు, సమానం. 

ii) (a) > 0, కచ్చిత వర్గమైతే   లు విభిన్న అకరణీయ సంఖ్యలు.

(b) > 0, కచ్చిత వర్గం కాకపోతే లు సంయుగ్మ కరణులు.

iii)  > 0, అయితే  లు వాస్తవేతర పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

*  ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాలు లు అయితే

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.  x² - 5x + 6= 0 సమీకరణం మూలాలు తెలపండి.

1) 2, -3    2) -2, -3   3) 3, 2    4) -2, 3

జ: 3

2. 3, 5 మూలాలున్న వర్గ సమీకరణం తెలపండి.

1) x² + 8x + 15 = 0    2) x² - 8x + 15 = 0

3) x² - 8x - 15 = 0    4) x²+ 8x - 15 = 0

వివరణ: ∝ , β మూలాలున్న వర్గ సమీకరణం

జ: 2

3. 4x² + 3x + 7 = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు  అయితే   విలువ ఎంత?

వివరణ:

4x² + 3x + 7 = 0

a = 4, b = 3, c = 7

జ: 2

4.  x² - Kx + 27 = 0 వర్గ సమీకరణం ఒక మూలం ‘3’ అయితే K విలువ ఎంత?

1) 10    2) 12   3) -12    4) 16

వివరణ: x² - Kx + 27 = 0 ఒక మూలం 3 కాబట్టి x = 3 విలువ ప్రతిక్షేపిస్తే 

జ: 2

5.  (a² + b²)x² - 2(bc + ad)x + (c² + d²) = 0  వర్గ సమీకరణం మూలాలు సమానమైతే

1) ab=cd   2) ac=bd   3) ad+bc=0   4) ఏదీకాదు

వివరణ: మూలాలు సమానం ⇔ b² - 4ac = 0

(- 2(bc + ad))² - 4(a² + b²)(c² + d²)

6.  మూలాలున్న వర్గ సమీకరణం x²+ x - 1 అయితే    తెలపండి.

1) 9x² - 3x -1 = 0     2) 9x² + 3x + 1 = 0

3) 9x² + 3x - 1 = 0    4) 9x² - 3x + 1 = 0

వివరణ:

f(x) = x² + x - 1 = 0

f(3x) = (3x)² + (3x) - 1 = 0

= 9x² + 3x - 1 = 0              

జ: 3

7. ఒక మూలం ఉన్న వర్గ సమీకరణాన్ని తెలపండి.

1) x² - 4x + 1 = 0   2) x² - 4x - 1 = 0

3) x² + 2x - 1 = 0   4) x² - 2x - 1 = 0

వివరణ: 

జ: 1

8. మూలాల మొత్తం 1 గా, మూలాల వర్గాల మొత్తం 13 గా ఉండే వర్గ సమీకరణం తెలపండి.

1) x² - x + 6 = 0    2) x² - x - 6 = 0

3) x² + x - 6 = 0    4) x² + x + 6 = 0

జ: 2

9.  x² - bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు రెండు వరుస పూర్ణాంకాలు అయితే b² - 4= ........

1) -2    2) 3    3) 2    4) 1

జ: 4

ప్రాక్టీస్‌  బిట్స్‌

1. x² - px + q = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాల మధ్య భేదం 2 అయితే p, q ల మధ్య సంబంధం ........

1) p = 4(q + 1)2   2) p² = (q + 1)

3) p² = 4(q + 1)   4) p = 4(q + 1)

2. x² - 9x + K = 0 సమీకరణం ఒక మూలం రెండో మూలానికి రెట్టింపు అయితే K =

1) 18    2) 16    3) 12   4) 9

3. మూలాల మొత్తం ‘1’, మూలాల లబ్ధం -20 అయితే వర్గ సమీకరణం ఎంత?

1) x² - x - 20 = 0    2) x² + x + 20 = 0

3) x² + x - 20 = 0    4) x² - x + 20

4.  -3, -5 మూలాలుగా ఉన్న వర్గసమీకరణం ...

1) x² - 8x + 15 = 0   2) x² - 8x - 15 = 0

3) x² + 8x + 15 = 0   4) x² + 8x - 15 = 0

5.  x² - 5x + 6 = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు   లు అయితే మూలాలుగా ఉన్న వర్గ సమీకరణం 

1) 6x² - 6x + 1 = 0   2) 6x² + 5x + 1 = 0

3) 6x² - 5x + 1 = 0    4) 6x² + 6x + 1 = 0

6. 2x² - 3x + 5 = 0 కు మూలాలు

1) అకరణీయాలు, సమానం  

2) అకరణీయాలు, విభిన్నాలు  

3) కరణీయాలు  

4) అవాస్తవాలు

7.  ax² + bx + c = 0 కు మూలాలు అయితే  = ........

8.  Kx² + (K - 1)x + (K - 1) = 0 కు మూలాలు సమానం అయితే K = ........

9.  x² - 4x + 3 = 0, x² - 5x + K = 0 లకు ఒక ఉమ్మడి మూలం ఉంటే  K = ........

1) 1, 3    2) 4, 6    3) 1, 4   4) 3, 6

10.  x² + 7x - 9 = 0కు మూలాల భేదం...

11.  ax² + bx + c = 0  కు మూలాలు అయితే = ........

12. ax² + bx + c = 0 ఒక మూలం అయితే ‘ = ........

1) 0    2) 1    3) a    4) b

13. Kx² + x - 6 యొక్క మూలాల మొత్తం ‘1’ అయితే K విలువ?

1) 1   2) -1    3) 6    4) -6

14. 5x² - 7x + 13 = 0మూలాలకు విలోమాలయ్యే సమీకరణం ........

1) 13x² + 7x + 5 = 0    2) 13x² - 7x + 5 = 0

3) 5x² + 7x + 13 = 0    4) 5x² + 7x - 13 = 0

15. x² + px + 12 = 0 కు మూలాలు 1 : 3 నిష్పత్తిలో ఉంటే p = ........

1) 8    2) -8    3) ±8    4) ఏదీకాదు

16. 4x² - 2x + 8 = 0 కు మూలాలు 

1) వాస్తవాలు, సమానం   2) వాస్తవాలు, విభిన్నాలు  

3) వాస్తవాలు     4) అవాస్తవాలు

17.(b - 3) x² + (c -1)x + (a - 2) = 0  కు మూలాలు సమానమైతే a + b + c = ........

1) 0    2) b    3) 2b    4) 3b

18. x² - 2x - 1వర్గ సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం

19. 8x² - 14x - 15 = 0 కు మూలాలు ........

సమాధానాలు

1-3, 2-1, 3-1, 4-3, 5-3, 6-4, 7-1, 8-2, 9-3, 10-4, 11-2, 12-1, 13-1, 14-2, 15-2, 16-3, 17-4, 18-4, 19-1, 20-2.
 

రచయిత: రాంబాబు