### TRIGONOMETRY

Important questions

4 Marks Questions

1. In ΔABC and ΔPQR, If A and P are acute angles such that sin A = sin P then prove that  A = P.

Sol: Given that sin A = sin P

2. Given cot θ =  , then evaluate

3. In a right angle triangle ABC, right angle is at B. of tan A =  ,  then find the value of

i) sin A cos C + cos A sin C

ii) cos A cos C - sin A sin C

4. A chord of a circle of radius 6 cm, is making an angle 60° a the centre. Find the length of the chord.

Sol: Given radius of the circle OA = OB = 6 cm

∠AOB = 60°

OC is hight from 'O' upon AB and it is an angle

bisector then ∠COB = 30°

But the length of the chord AB = 2BC = 2 × 3 = 6 cm

∴ Length of the chord = 6 cm

5. Prove that (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2A + cot2A

Sol: L.H.S. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2

= (sin2 A + 2.sin A.cosec A + cosec2A) + (cos2A + 2.cosA.secA + sec2A)

= (sin2 A + cosec2 A + 2) + (cos2 A + sec2 A + 2)

= sin2 A + cos2 A + cosec2 A + sec2 A + 4

= 1 + cosec2 A + sec2 A + 4

6. If cosec θ + cot θ = k then prove that cos θ =

Given cosec θ + cot θ = k

(cosec θ + cot θ)2 = k2

cosec2 θ + 2 cosec θ. cot θ + cot2 θ = k2

2 Marks Questions

1. The sides of a right angle triangle are PQ = 7 cm, QR = 25 cm and ∠P = 90° respectively. Then find tan Q - tan R.

Sol: Given that PQ = 7 cm, QR = 25 cm and ∠P = 90°

2. If cos A =  then find sin A and tan A.

3. Show that i) tan 48°. tan 16°. tan 42°. tan 74° = 1

ii) cos 36°. cos 54° - sin 36°. sin 54° = 0

Sol: i) tan 48°. tan 16°. tan 42°. tan 74°

= tan 48°. tan 42°. tan 16°. tan 74°

= tan 48°. tan (90° - 48°). tan 16°. tan (90° - 16°)

= tan 48°. cot 48°. tan 16°. cot 16°

=  1

ii) cos 36°. cos 54° - sin 36°. sin 54°

= cos 36°. cos(90° -  36°) -  sin 36°. sin(90° - 36°)

= cos 36°. sin 36° - sin 36°. cos 36°

= 0

4. If A, B and C are interior angles of a traingle ABC, then show that

Sol: Given A, B and C are interior angles of a traiangle ABC,

∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠A + ∠B = 180°  - ∠C

5. Evaluate i) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ - cosec θ)

ii) (sec2 θ - 1) (cose2 θ - 1)

Sol: i) (1 + tan θ + secθ)(1 + cot θ  - cosec θ)

= 2

ii) (sec2 θ - 1)(cose2 θ - 1)

= tan2 θ. cot2 θ (∵ sec2 θ - 1 = tan2 θ and cosec2 θ - 1 = cot2 θ)

= 1

Sol: L.H.S. = (cosec θ - cot θ)2 = cosec2 θ + cot2 θ - 2 cosec θ . cot θ

9. In ΔOPQ, right angle at P, OP = 7 cm, OQ - PQ = 1 cm. Determine the values of sin Q and cos Q.

Sol: In ΔOPQ, we have

OQ2 = OP2 + PQ2

(1 + PQ)2 = OP2 + PQ2 (∵ OQ - PQ = 1 ⇒ OQ = 1 + PQ)

1 + PQ2 + 2 PQ = OP2 + PQ2

10. Prove that (1 + tan A. tan B)2 + (tan A - tan B)2 = sec2 A. sec2 B.

Sol: L.H.S. = (1 + tan A . tan B)2 + (tan A - tan B)2

= 1 + tan2 A . tan2 B + 2 tan A. tan B + tan2 A + tan2 B - 2 tan A tan B

= 1 + tan2 B + tan2 A . tan2 B + tan2 A

= sec2 B + tan2 A (tan2 B + 1)

= sec2 B + tan2 A (sec2 B)

= sec2B (1 + tan2 A)

= sec22 B. sec2 A = R.H.S.

11. In ΔABC, right angle at C and ∠A = ∠B, (i) Is cos A = cos B (ii) Is tan A = tan B?

Sol: We have ∠A = ∠B

⇒ BC = AC

Let BC = AC = x

AB2 = AC2 + BC2

= x2 + x2

= 2x2

1 Mark Questions

2. Is it right to say cos (60° + 30°) = cos 60°.cos 30° - sin 60°.sin 30°

Sol: L.H.S. = cos(60° + 30°)

= cos 90°

= 0

∴ cos(60° + 30°) = cos 60° . cos 30° - sin 60° . sin 30° is right

3. In right angle triangle ΔPQR, right angle is at Q and PQ = 6 cm, ∠RPQ = 60°. Determne the lenghts of QR and PR.

Sol: In ΔPQR, ∠Q = 90°, ∠RPQ = 60°, PQ = 6 cm,

4. In ΔXYZ, right angle is at Y, YZ = x and XZ = 2x then determine ∠YXZ and ∠YZX.

Sol: Given that In ΔXYZ, ∠Y = 90°, YZ = x; XZ = 2x

∴ Z = 60° (i.e) ∠YZX = 60°

∠X = 30° (i.e) ∠YXZ = 30°

= 1

ii) cosec 31° - sec 59° = cosec 31° -  sec(90° -  31°)

= cosec 31° - cosec 31°

= 0

6. If tan A = cot B where A and B are acute angles, prove that A + B = 90°.

Sol: Given tan A = cot B

cot (90°-  A) = cot B (∵ cot (90° -  A) = tanA))

⇒ 90° - A = B

⇒ 90° = A + B

7. Express sin 75° + cos 65° in terms of trigonometric ratios of angles between 0° and 45°.

Sol: Given sin 75° + cos 65° = sin(90° - 15°) + cos(90° - 25°)

= cos15° + sin 25°

8. Evaluate (sin θ + cos θ)2 + (sin θ - cos θ)2

Sol: (sin θ + cos θ)2 + (sin θ - cos θ)2

= (sin2 θ + cos2 θ + 2 sin θ.cos θ) + (sin2 θ + cos2 θ - 2 sin θ.cos θ)

= (1 + 2 sin θ.cos θ) + (1 - 2 sin θ.cos θ)

= 1 + 1 + 2 sin θ.cos θ - sin θ.cos θ

= 2

Writer: T.S.V.S. Suryanarayana Murthy

Posted Date : 05-06-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.