• facebook
  • whatsapp
  • telegram

వైశాల్యాలు

ముఖ్యాంశాలు

* చతురస్ర వైశాల్యం = s2 చ.యూ.
* దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = l × b చ.యూ.
* వృత్త వైశాల్యం = πr2 చ.యూ.
* త్రిభుజ వైశాల్యం = 1/2  × b × h చ.యూ.
లేదా

* వృత్తం చతురస్రంలో అంతర్లిఖించి ఉంటే వృత్త, చతురస్ర వైశాల్యాల మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి = 11 : 14
* చతురస్రం వృత్తంలో అంతర్లిఖించి ఉంటే చతురస్ర, వృత్త వైశాల్యాల మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి = 7 : 11


మాదిరి సమస్యలు

1. రెండు వృత్తాల వ్యాసాలు వరుసగా ఒక చతురస్ర భుజం, కర్ణానికి సమానం. అయితే ఆ వృత్తాల్లో చిన్న, పెద్ద వృత్త వైశాల్యాల మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి?
1) 1 : 2            2) 1 : 4            3) √2 : √3              4) 1 : √2 
సాధన: రెండు వృత్తాల వ్యాసాలు వరుసగా  d1, d2 అనుకోండి.
ఒక చతురస్రం భుజం = r అనుకోండి.
ఆ చతురస్ర కర్ణం = √2 r

సమాధానం: 1


2. 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక వృత్త పరిధికి, వైశాల్యానికి మధ్య గల నిష్పత్తి?
1) 1 : 3           2) 2 : 3            3) 2 : 9             4) 3 : 2 
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 3 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి : వైశాల్యం  = 2πr : πr2
                         = 2 : r  ⇒   2 : 3

సమాధానం: 2


3. A వృత్త వ్యాసార్ధం B వృత్త వ్యాసార్ధానికి రెట్టింపు, B వృత్త వ్యాసార్ధం C వృత్త వ్యాసార్ధానికి రెట్టింపు ఉంది. అయితే వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత?
1)  1 : 4 : 16             2) 4 : 2 : 1             3) 1 : 2 : 4             4) 16 : 4 : 1 
సాధన: A, B వృత్త వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి = r1 : r2  = 2 : 1
B, C వృత్త వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి = r1 : r2 : r3 = 4 : 2 : 1
A, B, C వృత్త వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి 

సమాధానం: 4


4. ఒక చతురస్ర కర్ణంపై సమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించారు. అయితే  ఆ సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యానికి, చతురస్ర వైశాల్యానికి మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి ఎంత? 


5. పటంలో  ∆ABC ఒక త్రిభుజం. D, నిలు వరుసగా AB, ACల మధ్య బిందువులు. పటంలో షేడ్‌ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం మొత్తం త్రిభుజ వైశాల్యంలో ఎంత శాతం? 

1) 50%        2) 60%       3) 75%       4) 25% 


6. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలోని సమాన భుజాల పొడవు, 3వ భుజం పొడవు మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి 3 : 4. దాని వైశాల్యం 8√5 చ.యూ. అయితే ఆ త్రిభుజ భుజాల్లో అతి చిన్న భుజం పొడవు ఎంత? (యూనిట్లలో)

1) 3             2) 2√5           3) 6            4) 12 
సాధన: ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల పొడవు, 3వ భుజం పొడవు మధ్య ఉన్న నిష్పత్తి = 3 : 4 

అతిచిన్న భుజం పొడవు = 3 x = 3 × 2 =  6 యూ. 
సమాధానం: 3


7. ఒక చతురస్రంలో ఒక వృత్తం అంతర్లిఖించి ఉంది. చతురస్ర వైశాల్యం 2m2 చ.యూ. అయితే ఆ వృత్త వైశాల్యం ఎంత? (చ.యూ.)

సాధన: ఒక చతురస్రంలో వృత్తం అంతర్లిఖించి ఉంటే చతురస్ర భుజం (s) = 2 × వృత్త వ్యాసార్ధం (r) 
⇒ s = 2r 


8. 4 సెం.మీ., 6 సెం.మీ, 8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలుగా ఉన్న మూడు వృత్తాలు ఒకదాన్ని మరొకటి బాహ్యంగా స్పృశించుకున్నాయి. ఆ మూడు వృత్తకేంద్రాలను కలిపితే ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 12√6       2) 18√6        3) 24√6         4) 32√6 
సాధన: మూడు వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా r1 = 4 సెం.మీ.,   r2 = 6 సెం.మీ., r3 = 8 సెం.మీ.
మూడు వృత్తాల కేంద్రాలు వరుసగా = A, B, C
AB = r1 + r2 = 4 + 6 = 10 సెం.మీ.
BC = r2 + r3 = 6 + 8 = 14 సెం.మీ.
CA = r3 + r1 = 8 + 4 = 12 సెం.మీ.

a = 14 సెం.మీ., b = 12 సెం.మీ., c = 10 సెం.మీ. 

సంక్షిప్త పద్ధతి:

a, b, c యూనిట్ల వ్యాసార్ధాలు ఉన్న మూడు వృత్తాలు ఒకదాన్ని మరొకటి బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటే వాటి వృత్త కేంద్రాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం 

a = 4 సెం.మీ. b = 6 సెం.మీ. c = 8 సెం.మీ. 

 

9. ఒక లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు మూడు వరుస పూర్ణసంఖ్యలు. అయితే ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.యూ.లలో)
1) 9              2) 8              3) 5                4) 6
సాధన: లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు  a, b, c (c = కర్ణం) అయితే a2 + b2 = c2  అవ్వాలి.
a, b, c లు వరుస పూర్ణసంఖ్యలు కాబట్టి 32 + 42 = 52
a = 3 యూ. b = 4 యూ., c = 5 యూ.
లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణం కలిగిన భుజాలు 
a = 3 యూ., b = 4 యూ.
కర్ణం (c) = 5 యూ. 
లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం 
= 1/2 లంబకోణం కలిగిన భుజాల లబ్ధం 
= 1/2 x a x b 
= 1/2 x 3 x 4 = 6 
చ.యూ.     
సమాధానం: 4 


అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. ఒక సమబాహు త్రిభుజ భుజం పొడవు 8 సెం.మీ. అయితే ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 8√3           2) 16√3            3) 24√3            4) 48√3 


2. 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలు గల మూడు వృత్తాలు ఒకదాన్ని మరొకటి బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటే ఆ వృత్తకేంద్రాలు శీర్షాలుగా ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 12√5            2) 24√5             3) 18√5            4) 20√5


3. ఒక చతురస్రాన్ని వృత్తంలో అంతర్లిఖించారు. ఆ చతురస్ర వైశాల్యం 49 చ.సెం.మీ. అయితే, ఆ వృత్త వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 98              2) 70             3) 35               4) 77 


4. ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు ప్రధాన సంఖ్యలు, వాటి మధ్య భేదం 50 అయితే, ఆ త్రిభుజ వైశాల్యమెంత? (చ.యూ.లలో)
1) 360             2) 660               3) 330              4) 430


సమాధానాలు: 1-2, 2-1, 3-4, 4-3.

Posted Date : 20-05-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్లో వచ్చే ప్రకటనలు అనేక దేశాల నుండి, వ్యాపారస్తులు లేదా వ్యక్తుల నుండి వివిధ పద్ధతులలో సేకరించబడతాయి. ఆయా ప్రకటనకర్తల ఉత్పత్తులు లేదా సేవల గురించి ఈనాడు యాజమాన్యానికీ, ఉద్యోగస్తులకూ ఎటువంటి అవగాహనా ఉండదు. కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచిననుసరించి కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికతతో పంపబడతాయి. ఏ ప్రకటనని అయినా పాఠకులు తగినంత జాగ్రత్త వహించి, ఉత్పత్తులు లేదా సేవల గురించి తగిన విచారణ చేసి, తగిన జాగ్రత్తలు తీసుకొని కొనుగోలు చేయాలి. ఉత్పత్తులు / సేవలపై ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎటువంటి నియంత్రణ ఉండదు. కనుక ఉత్పత్తులు లేదా సేవల నాణ్యత లేదా లోపాల విషయంలో ఈనాడు యాజమాన్యం ఎటువంటి బాధ్యత వహించదు. ఈ విషయంలో ఎటువంటి ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకీ తావు లేదు. ఫిర్యాదులు తీసుకోబడవు.

 

జనరల్ స్టడీస్ అండ్ జనరల్ ఎబిలిటీస్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 
 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌