సంయోగాలు

ఎంపిక విధానాలు ఎన్నో రకాలు!

పాఠశాల ఆటస్థలాన్ని శుభ్రం చేయాలి. ఇరవైమంది విద్యార్థుల నుంచి రోజుకి నలుగురు చొప్పున బృందాలను ఎంపిక చేయాలి. పది కంపెనీల చాక్లెట్లు తెచ్చారు. తరగతిలో ఒక్కొక్కరికి మూడు రకాల చాక్లెట్లు పంచాలి. ఆ బృందాలను, ఈ చాక్లెట్లను క్రమంతో సంబంధం లేకుండా ఎన్ని విధాలుగా విభజించవచ్చో ఆలోచిస్తే లెక్క కష్టం అనిపిస్తుంది. సంఖ్యలు పెరిగిన కొద్దీ అది మరింత క్లిష్టంగా మారుతుంది. కానీ గణితంలో ‘సంయోగాలు’ అధ్యాయాన్ని తెలుసుకుంటే కొన్ని సూత్రాల సాయంతో సమస్యను తేలిగ్గా పరిష్కరించవచ్చు. పలు రకాల పోటీ పరీక్షల్లో ఇలాంటి ప్రశ్నలు అడుగుతున్నారు. అభ్యర్థులు మౌలికాంశాలపై తగిన అవగాహన పెంచుకోవడం అవసరం. 

*    సంయోగం(combination) అంటే ఎన్నుకునే విధానాల సంఖ్య. 

ఉదా: nవిభిన్న వస్తువుల నుంచి 'r'వస్తువులను ఎన్నుకునే విధానాల సంఖ్య =ⁿC_r

*  ⁿC_n = ⁿC₀ = 1

* ⁿC_r = ⁿC_{n - r}

 

*ⁿC₁ = n   

* ⁿC_r = ⁿC_s అయితే  n = r + s లేదా r = s

*ఒక ఫంక్షన్‌ హాలులో - మంది వ్యక్తులున్నారు. ప్రతి వ్యక్తి తన తోటి వ్యక్తితో కరచాలనం చేసినప్పుడు ఏర్పడే మొత్తం కరచాలనాల సంఖ్య = ⁿC₂

 

*   ఒక వ్యక్తికి n మంది స్నేహితులున్నారు. వారిలో కనీసం ఒక్కరిని పార్టీకి ఆహ్వానించే విధానాల సంఖ్య = 2ⁿ - 1

ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + ..... + ⁿC_n = 2ⁿ - 1

*    ఒక తలంపై 'n' బిందువులున్నాయి. వీటిని ఉపయోగించి ( వాటిలో ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు) ఏర్పరిచే ..

    ఎ) సరళ రేఖల సంఖ్య = ⁿC₂

    బి) త్రిభుజాల సంఖ్య = ⁿC₃

*    ఒక తలంపై n బిందువులున్నాయి. వాటిలో k బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే...

    ఎ) సరళ రేఖల సంఖ్య = ⁿC₂ - ^kC₂ + 1
    బి) త్రిభుజాల సంఖ్య = ⁿC₃ - ^kC₃

*    ఒక తలంపై మొదటి రకం m సమాంతర రేఖలు, రెండో రకం n సమాంతర రేఖలున్నాయి. ఈ రేఖలను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సమాంతర చతుర్భుజాల సంఖ్య = ^mC₂ X ⁿC₂

 

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.     ఒక సంచిలో 5 మామిడి పండ్లు ఉన్నాయి. వాటి నుంచి మూడింటిని ఎన్ని విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు?

1) 20      2) 15      3) 10      4) 24 

జ: 3

2.     ఒక సంచిలో 8 గోళీలున్నాయి. ఆ సంచి నుంచి 5 గోళీలు ఎంపిక చేసే విధానాల సంఖ్య? 

1)  60      2) 56      3) 45    4) 120 

జ: 2

3. ఒక తరగతిలో ఆరుగురు బాలురు, నలుగురు బాలికలున్నారు. ఆ తరగతి గది నుంచి నలుగురు విద్యార్థులను ఎన్నుకునే విధానాల సంఖ్య?

1) 210     2) 120    3) 360    4) 720 

జ: 1

4.     ఒక కుటుంబంలో ఏడుగురు స్త్రీలు, అయిదుగురు పురుషులున్నారు. ఆ కుటుంబం నుంచి ఇద్దరు పురుషులు, నలుగురు స్త్రీలను ఎన్ని విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు? 

1) 300     2) 350  3) 360    4) 530 

వివరణ: ఏడుగురు స్త్రీల నుంచి నలుగురు స్త్రీలను, అయిదుగురు పురుషుల నుంచి ఇద్దరు పురుషులను ఎన్నుకునే విధానాలు 

= 35 x10 = 350

జ: 2

5.     ఒక సంచిలో 5 పువ్వులున్నాయి. వాటి నుంచి కనీసం 3 పువ్వులను ఎన్ని విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు? 

1) 15       2) 21       3) 16     4) 19 

వివరణ: ఒక సంచిలో 5 పువ్వుల నుంచి కనీసం 3 పువ్వులు ఎన్నుకోవడం అంటే 5 నుంచి 3 లేదా 4 లేదా 5 ఎన్నుకోవచ్చు. 

⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅

= 10 + 5 + 1

= 16

జ: 3

6.     ఒక తరగతిలో 10 మంది విద్యార్థులున్నారు. ప్రతి విద్యార్థి తన తోటి విద్యార్థితో కరచాలనం చేస్తే అక్కడ ఏర్పడే మొత్తం కరచాలనాల సంఖ్య ఎంత? 

1) 50      2) 45       3)10       4) 20

జ: 2

 

7.    ఒక వ్యక్తికి ఆరుగురు స్నేహితులున్నారు. వారిలో కనీసం ఒక్కరిని పార్టీకి ఆహ్వానించే విధానాల సంఖ్య?

1) 63    2) 1023   3) 64   4) 1024 

వివరణ: కనీసం ఒకరు అంటే 1 లేదా 2 లేదా 3 ...... 6 మందిని ఎంపిక చేయడం అని అర్థం. 

⁶C₁ + ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆

= ²6 - 1 = 64 - 1 = 63

జ: 1

8.     ఒక తరగతిలో ప్రతి విద్యార్థి మిగిలిన విద్యార్థులతో కరచాలనం చేస్తే అక్కడ మొత్తం 127 కరచాలనాలు అవుతాయి. అయితే ఆ తరగతిలో మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య?

1) 8        2) 7         3) 6      4) 5 

వివరణ: విద్యార్థుల సంఖ్య n అనుకుంటే 

2ⁿ -1 = 127

2ⁿ = 128

2ⁿ = 2⁷

విద్యార్థుల సంఖ్య = n = 7

జ: 2

9.    ఒక తలంలో 5 బిందువులున్నాయి. ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు. అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సరళ రేఖల సంఖ్య? 

1) 15     2) 24      3) 120   4) 10 

జ: 4

 

10. ఒక తలంలో 10 బిందువులున్నాయి. ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు. అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే త్రిభుజాల సంఖ్య? 

1) 210      2) 120      3) 145      4) 136 

త్రిభుజాల సంఖ్య = 30 x 4 = 120

జ: 2

11. ఒక తలంపై మొదటి రకం సమాంతర రేఖలు 5, రెండో రకం సమాంతర రేఖలు 4 ఉన్నాయి. అయితే ఆ రేఖలు ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సమాంతర చతుర్భుజాల సంఖ్య? 

1) 45        2) 60       3) 80     4) 40 

వివరణ:  ⁵C₂ X ⁴C₂ = 10 X 6 = 60

జ: 2

12. 15_Cr+4 = 15_{C2r -3}అయితే 'r'= .......

1) 7      2) 8      3) 10     4) 6 

వివరణ:ⁿC_r = ⁿC_s

n = r + s లేదా = r = s

 15 = (r + 4) + (2r - 3)
        

15 = 3r + 1 ⇒ r = 14/3

 లేదా 

r + 4 = 2r - 3

r = 7

జ: 1

                 

  
  1) 60     2) 252     3) 70  4) 90 

వివరణ: n = 3 + 5 = 8

జ: 3

*   ఒక తలంలో 10 బిందువులున్నాయి. అందులో 5 బిందువులు సరేఖీయాలు. అయితే ఆ బిందువులను ఉపయోగించి ఏర్పరిచే సరళ రేఖలు, త్రిభుజాల సంఖ్య వరుసగా తెలపండి.

1) 36, 120          2) 24, 120    3) 25, 110         4) 36, 110 

జ: 4

 

*    18 వస్తువులను ఇద్దరు వ్యక్తులకు సమానంగా విభజించే విధానాల సంఖ్య? 

      
జ: 2

రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు